北师大版八下数学《一元一次不等式和一元一次不等式组》复习指导

1、一元一次不等式和一元一次不等式组复习指导不等式是现实世界中不等关系的一种数学表达形式，它不仅是现阶段学习的重点内容之一，而且是以后继续学习的基础，在本章中，我们己经从具体的实例中建立了不等式的概念，探索了不等式的基本性质，研究了不等式的基本性质，研究了一元一次不等式（组）的解、解集和解集在数轴上的表示等。为帮助同学们构建本章知识体系，现归纳总结如下：一、复习目标：1、了解不等式、不等式的解集的概念，会在数轴上表示出不等式的解集。2、掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式。3、了解一元一次不等式解集的概念，会利用数轴解一元一次不等式组4、理解一次函数与一元一次不等式的关系，会利用不

2、等式解决有关函数问题。二、知识结构网络三、重点难点考点1、重点：不等式的基本性质及一元一次不等式（组）的解法、应用。2、难点：一元一次不等式（组）的应用。3、考点：不等式的性质、不等式（组）的解集及在数轴上表示法，不等式组的解法，不等式（组）的应用。四、知识点梳理1、不等式（组）有关概念（1） 不等式：用不等号“>”，“<”“ ³ ”“ £ ”“ ¹ ”表示不相等关系的式子。1（2） 不等式的解：能使不等式成立的末知数的值。（3） 不等式的解集：一个不等式的所有解

3、的组成。（4） 解不等式：求出不等式的解集或确定不等式无解的过程。（5） 一元一次不等式：只含有一个末知数且末知数的次数是 1 的不等式叫一元一次不等式“其标准形式为 ax 一 b>0，或 ax 一 b<0（a ¹ 0）”（6） 一元一次不等式组：两个或两个以上含有相同末知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组。（7） 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集。（8） 

4、;解不等式组：求出不等式组的解集的过程叫解不等组，其步骤： i）先求出各个不等式的解集（ ii）取各个解集的公共部分（ iii）利用数轴直观显示，并确定其特殊解。四种基本类型（如下表）不 等 式 组 类 型 解集（a>b）数轴显示                 语言描述ìx > a（I）

5、0;íîx > bx > a                               两大选取大ìx < a（II） íîx <&#

6、160;bìx < a（III） íîx > bìx > a（IV） íîx < bx < bb<x<a无解两小应选小大小小大中间找小小大大无处挑2、不等式的基本性质（如下表）性质（I）文字叙述               数学

7、语言不等式的两边加（或减） 若 a>b 则 a 土 c>b 土 c同一个数或（式子），不等号的方向不变2（II）不等式的两边乘以（或除 若 a>b 且 c>0 则 ac>bc 或以）同一个正数，不等号的方向不变a  b>c  c（III）不等式的两边乘以（或除 若 a>b 且 c<0 则 ac<

8、bc 或以）同一个负数，不等号的方向改变a  b<c  c（4）  若 a>b>0，0<c<d，则  a3、运算性质（1） 若 a>b，c>d，则 a 十 c>b 十 d（同向不等式相加）（2） 若 a>b，c<d，则 a 一 c>b 一 d（异向不等式相减）（3） 若 a

9、>b>0，c>d>0，ac>bdb>cd（5）  若 a>b>0，n 为正整数，则 a  > bnn（7）  若 a>b>0，则  1（6） 若 a>b>0，n 为不小于 2 的整数则 n a > n b1<ab4、解不等式的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类

10、项（5）未知数的系数化为 1。要注意把系数化为 1 时，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选择解题步骤。5、一元一次不等式（组）的应用（1） 注意设未知数的方法，找出问题中量与量之间的不等关系，抽象出不等式（组），求出不等式（组）的解集后，要注意验证解的合理性。（2） 正确理解列不等式（组）的关键词。如不少于、不超过、大于、小于、至少、至多、不足、不空、不满等。其中，不少于就是大于或等于表示为 ³

11、; ，不超过、至多都是不大于的意思，不大于就是小于或等于，表示为£ ，非负数就是正数和零等。五、 思想方法总结1.应用类比的方法：与等式的性质相比较学习一元一次不等式的性质，与一元一3x £ m错解：由题意得x - 3x £ 4 即 -x £ 4 系数化为 1 得 x ³ -当 x ³ -  

12、60;时，x 的一半与 x 的 3 倍的差至少为 4。    例 2、关于 x 的不等式组 í无解，则 m 的取值范围（）次方程的解法相对照学习一元一次不等式的解法，进而归纳出二者的相同和不同之外，从而夯实基础知识。2.应用数形结合的思想：充分利用数轴的直观性，简捷性，生动形象地理解不等式和一次函授的有关知识，真正掌握基本技能。3.转化的思想方法：不等与相等之间可以相互转化，有时将不等问题转化为相等问题来解决，有时又可以将相等

13、问题转化为不等问题来解决。4.构建的思想方法：列不等式（组）解决实际问题，实际上是应用构建的思想方法。所谓构建的思想方法是建立起解决实际问题的数学模型，如方程（组）、不等式（组）等，然后用数学模型解决实际问题，这种思想方法在今后应用广泛。5.要有用数学的意识。要对自然界及日常生活的现象具有强烈的好奇心并勤于思考，提高解决实际问题的能力。六、 易错题分析例 1、若 a>b，b，c 为实数，则下列正确的是（）Aac>bc，Bac<bc，Cac2>bc2Dac2 ³ bc2错解：选 C剖析：根据不

14、等式组的解集的取法：同大取大，容易漏掉两个不等式解集相同的情况，应选 Dìx ³ mîAm>3Bm ³ 3Cm £ 3Dm<3错解：C剖析：不等式无解，是指几个不等式的解集不存在公共部分，当 m £ 3 时，关于ìx ³ mx 的不等式 í存在公共部分 x=3。î x £ m正解：D。例

15、 3、x 取何值时，x 的一半与 x 的 3 倍的差至少是 4？15822585剖析：由于对至少不理解导致不等式列错了，至少就是不少于即大于或等于，4用符号“ ³ ”表示，由题意列不等式时，要注意将不大于不少于等语言正确地转化为不等式表示。x - 3x ³ 4 即 -x ³ 4 系数化为  1，得 x £ - 

16、;  故当 x £ -   时，x正解：由题意得 125 8         82 5         5的一半与 x 的 3 倍的差至少是 4。例 4、（1）解不等式 2 - 5x ³&#

17、160;8 - 2 x错解：移项得 - 5x + 2x ³ 8 - 2合并同类项得 - 3x ³ 6系数化成 1 得 x ³ -2-（2）解不等式1 - x £ x1 (x + 1)并把解集在数轴上表示出来36错解：去分母得 6 - 6 x 

18、;£ 2 x - (x + 1) x ³ 1把解集在数轴上表示为错解：由题意得 í      解得1 £ a £ 49 - 2a ³ 1（剖析： 1）不等式两边除以同一个不等于 0 的数时，应考虑数的符号和不等号的方向，原不等式的解集为 x 

19、3; -2（2）本题的解法是正确的，在数轴上表示的解集是错误的，在数轴上表示不等式的解集时，解集含有等号的应画实心圆点，不含有等号的应画虚心圆点。例 5、一辆公共汽车上有（5a 一 4）名乘客，在某一车站有（9 一 2a）名乘客下车，车上原来有多少名乘客？ì5a - 4 ³ 1î取整数得 a=1,2,3,4把 a 的值分别代入 5a 一 4，得 5a 一 4=1，6，11，16

20、。答：车上原来有 1 人，6 人，11 人，或 16 人。剖析：错解忽视了 5a - 4 ³ 9 - 2a 这一条件正解：由题意得5í5a - 4 ³ 0ï9 - 2a ³ 0ì5a - 4 ³ 9 - 2aïî化简得a 

21、;³ía ³a £ìïïïïïïî1374592所以  139£ a £72a 取整数得 a=2，3，4当 a=2 时，5a 一 4=6，当 a=3 时，5a 一 4=11，当 a=4 时，5a 一 4=16。答：原来车上有乘客 6 人，1

22、1 人，或 16 人。七、应注意的问题1、搞请不等号与一些词语含义的对应关系：如“>”表示大于、高出、多于、超选，“<”表示小于、低于、不足、合算， “ ³ ”表示大于或等于、不少于、不低于、至少“ £ ” 表示小于或等于、不大于、不超是、至多。2、弄请连词“或”与“且”：“或”两者居其一即可。如 3 ³ 2, - 2 ³ 2 都是正确的，前者不等号成立，后者等号成立；且两者

23、必须同时符合，缺一不可，如一些并列条件，不等式组、方程组中的花括号“  ”的情况。3、数轴表示解集时注意：（1）方向：向左、向右表示小于，大于（2）“极点”：空心点、实心点（表示不包括这个数与包含这个数）4、“变形”时，注意：“移项”法则：去分母时分数线的双重意义（括号及运箅作用）去括号的法则，去分母时不能漏乘整式（数）项，别忘了不等号的“改号”。遇参数时注意分类讨论，特殊解的选取、范围的选取注意不等号的准确性。八、典型考点扫描考点一：用不等式表示数量关系：例 1、用不等式表示下列数量关系：（1） x 与 3 的和是非负数6

24、（2） a 与 b 的差是非正数分析：用不等式表示数量关系，关键是能用代数式准确地表示有关的数量，并掌握不大于不超过是非负（非正）等词语的正确含义。解：（1） x + 3 ³ 0 （2） a - b £ 0考点二：考查不等式（组）基础知识例 2：不等式 2 x > 3 - x 的解集是（）A、 x < 2B

25、、 x > 2C、 x > 1D、 x < 1解析: 解不等式 2 x > 3 - x ,移项,得 2x+x3合并,得 3x3系数化 1,得 x1.故选 C.例 2:不等式 2 x + 13 的解集在数轴上表示正确的是()解析:不等式 2 x + 13&#

26、160;的解集为 x1,在数轴上表示为 1(包括 1)为端点的右边的射线,故选 D.例 3：如图 1，小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板三人的体重一共为 150 千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地那么小明的体重应小于（） 49 千克 50 千克 24 千克图 1 25 千克ì x + 15ïï 2A&

27、#160;- 5 £ a £ -  14解析:设小明的体重为 x 千克,则妈妈体重为 2x 千克,爸爸体重为 150-(x+2x),由图可知,爸爸一端仍然偏重,所以得不等式 150-(x+2x) x+2x,解得:x25,故选.> x - 3例 4（江苏江阴）关于 x 的不等式组 í只有 4 个整数解，则 a 的取

28、ï 2 x + 2 < x + aïî3值范围是（）141414-B - 5 £ a < -C - 5 < a £ -D - 5 < a < -3333分析：本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题，基本思路为先解关于&

29、#160;x 的一元一次不等式组的解集然后7确定此解集包含四个整数解，由这些整数解可推断字母 a 的取值范围。解：解原不等式组得 2 - 3a < x < 21由题设条件可知 2 - 3a < x < 21包含四个整数解，这四个整数解为 17，18，19，20，这时 2 - 3a 应满足16 £ 2 - 

30、3a < 17 解得 - 5 £ a < - 14 ，故选 B。3考点三、求不等式中字母的值例 4：如果关于的不等式（a+1）xa+1 解集为 x1，则 a 的取值范围是（）A. a0B.a0C. a-1D.a-1解析: 不等式的解集为 x1，不等号的方向发生了变化，隐含条件为 a+10, 所以 a-1,故选 D.例 

31、;5：关于 x 的不等式 3x-2a-2 的解集如图 2,则 a 的值是_.解析: 考查不等式解法和同解不等式的知识 ,由数轴得-1   0图 21到 3x-2a-2 的解集为 x-1,不等式 3x-2a-2 的解集为 x2a - 23,由题意，得方程= -1 ，解得 a= - ，故填 - .2a -

32、0;211322考点四、考查一元一次不等式与一次函数例 6、己知 y = - x + 2, y = x + 4 当 x 取何值时 y > y ？1212分析：方法一：可将函数或方程转化为不等式，即有 - x + 2 > x + 4 求得自变量 x的范图为 x<一 1。方法

33、二：可作出两个函数的图象如图，所示：两直线相交于点（1，3）依推上面的图象比下面的图象函数值大，求得自变量的范围。考点四、考查利用不等式（组）解实际8应用问题例 7、(2006 深圳市)初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80 元，洗一张相片需要 0.35 元在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 0.5 元，那么参加合影的同学人数（）至多人至少人至多人至少人解析：设参加合影的同学有 x 人. 在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，需要付款

34、 0.80+0.35x,假如每人分摊 0.5 元,则共集资 0.5x,由此得到不等式0.80+0.35x0.5x,解得:x 5 1 .所以参加合影的同学至少 6 人,故选3例 8:(2006 四川自贡)甲,乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价 10%,乙超市一次降价 20%,在哪家超市购买此种商品更合算()A. 甲B 乙C.同样D.与商品价格无关解析：设此商品的价格为，在甲超市购买需付款:x(1-10%)(1-10%)=0.81

35、x; 在乙超市购买需付款:x(1-20%)=0.8x,由于 0.81x0.8x,所以在乙超市购买更合算.例 9:(2006 四川南充)学校计划购买 40 支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10 元/支，笔记本 2 元/支，甲店的优惠方式是钢笔打 9 折，笔记本打 8 折，乙店的优惠方式是每买 5 支送 1 本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打 7.5 折，试问购买笔记本

36、在什么范围内到甲店更合算？析解：此题重点找出不等关系，购买同等数量的笔记本，到甲店购买应付款<到乙店购买应付款，故可设购购买笔记本数x （x>40 ）这时到甲店购买应付款10 ´ 0.9 ´ 40 + 2 ´ 0.8x 到乙店购买 40 支钢笔可获赠 8 本笔记本，实际应付款10 ´ 40 + 2 ´ 0.75(x - 8)可列不等式10 ´ 0.9 ´ 40 + 2 ´ 0.8x < 10