一、古典概型

1、）一、古典概型一个随机试验，数学上是用样本空间 Q、事件域F和概率产来描述的.对一个随 机事件 AF ，如何寻求它的概率尸（工）是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类 是简单的随机试验，它具有下述特征：对于一个试验_ ,如果具有：样本空间Q的元素（即基本事件）只有有限个不妨设为n个，并记它们为 工，（2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有砌）=%）=二啊）通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位，一方面，因为它比较简单，许多概念既直观而又容 易理解，另一方面，它又包括了许多实际问题，有很广泛的应用.对上述的古典概型，它的样本空间° = 孙孙mJ ,事件域f为。的

2、所 有子集的全体，这时，连同0在内，共含有T个事件，并且从概率的有限可加性知阳）+P（的）+P（吗卜1于是产）=尸（叼）=-=尸应）=1n对任意一个随机事件 幺，如果工是上个基本事件的总和，即A=/U吗 UU%贝IJ)/月）=一=A中所含的基本事件数/基本事件总数=/中有利事件数/基本事件总数（幺中所含的基本事件数，习惯上常常称为 幺的有利事件数）.不难当证，上述的 概率E（）的确具有非负性、规范性和有限可加性.二、几个古典概型的例子例1在盒子中有十个相同的球，分别标为号码L2,0，从中任取一球，求此 球的号码为偶数的概率.解法i令=取得球的标号为i则Q = （；V,10）故基本事件总数为&q

3、uot;二10 .又令乂 =所取球的号码为偶数显然 = 2U4U6U（8）U（10）所以幺中含有5个基本事件从而上5 1P（月）=« 10 2解法2令。=44）,其中这时尸= AAM&,由从乂的对称性即得这两种解法都是正确的，但二者的样本空间0 （从而事件域）是不同的，严格地说, 两者所描述的随机试验是不同的.例如，对于第二种解法来说,8 =（所取球的号码为 4并不属于事件域，也就是说，3不是一个事件，从而也就没有概率可言.但对于第一 种解法来说，3是事件，而且户（8） = 0.因此提请读者注意，为求一个事件的概率，样本空间可以有不同的取法，但一定要认清，基本事件总数和有利事

4、件数的计算都要 在同一个样本空间中进行，否则要引起混淆并导致谬误！例2 一套五卷的选集，随机地放到书架上，求各册自左至右或自右至左恰成 1、 2、3、4、5的顺序的概率.解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号，这时一个放置的方式与一个向 量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重 复取某一个值），故这种向量数共有5! =120.因为各卷书的安放是随机的，所以这120 种放法是等可能的，这时就得到一个古典概型C = h 盯，,由12。）,而有利事件 工发生只有两种可能性：或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1, 所以

5、p L « 120 60例3设有任意n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间去 住M工,求下列事件的概率：（1）指定的力个房间各有一个人住；恰好有R个房间，其中各住一个人解：（1）因为每一个人有 个房间可供选择，所以R个人住的方式共有种，它 们是等可能的.在第一个问题中，指定的丹个房间各有一个人住，其可能总数为丹个人 的全排列汉| ,于是P-)（2）弱个房间可以在N个房间中任意选取，其总数有 品 个，对选定的n个房间, 按前述的讨论可知有 加种分配方式，所以恰好有w个房间，其中各住一个人的概率户一牛匚M2 W泗（"-砂这个例子常称为“分房问题”.如把例子中的“人”

6、理解为“粒子”，“房间”理解 为粒子所处的能级，那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中的马克斯威尔-波尔兹曼统计.如果弘个人不可分辨的，那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计； 如果粒子不可分辨的，并且每一个“房间”里最多只能放一个“粒子”，这时就得到费 米-狄拉克统计.这三种统计在物理学中有各自的适用范围.由以上的例题我们看到，求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有 利事件数，但正面求这两个数并不那么容易的，有时要研究一些技巧.要掌握这些技巧 当然需要一些艰苦的训练.例4某班级有围个人M «365）,问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？解假定一年按365天计算，

7、把365天当作365个“房间”，那么问题就可以归结 为例3,这时“为个人的生日全不相同”就相当于例 3中的（2）: “恰好有椁个房间, 其中各住一个人”.令=; 个人中至少有两个人的生日在同一天 贝I幺=在个人的生日全不相同由例3的（2）知)!于是NT产(月)=1 _-+，h = 365旷(Nf )1这个例子是历史上有名的“生日问题”，对不同的一些切值,计算得相应的P 值如下表：1020233040500.120.410.510.710.890.97上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两个人 的生日相同”这种情形发生的概率，并不如大多数人直觉想象的那么小，而是相当大.

8、 由表中可以看出，当班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生上述事情，而当 班级中的人数达到50时，竟有97%的会发生上述事件.当然,这里讲的“半数以上”、 “有97%”都是就概率而言，正如前面中所讨论的那样，只是在大数次重复下（这就要 求班级的数目相当多），才可以理解为频率.这个例子告诉了我们，“直觉”并不很可靠， 这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性 .例5袋子中有4只黑球力只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在 把球随机地一只只地摸出来，求第上（1 '上'。+力）次摸出来的一只球是黑球的概 率.解法1:把Q只黑球与6只白球都看彳是不同的（对它们进行

9、编号）,若把摸出的 球依次放在排列成一条直线的 a + b个位置上，则可能的排列相当于把 a + b个元 素进行全排列，总数为（修+如,把它们作为样本点全体.有利场合数为。（a + 8 T）! 这是因为第七次摸得黑球有d种取法，而另外（"b T.）次摸球相当于（"AD 只球进行全排列，有*力一J种构成法，故所求概率为_+ i -1)! _ a"(1十州 a +b这个结果与k无关.回想一下，就会发现这与我们平常生活经验是一致的.例如在 体育比赛中进行抽签，对各队机会均等，与抽签先后次序无关.解法2:把Q只黑球看作是没有区别的，把力只白球也看作是没有区别的.仍把摸 出

10、的球依次放在排列成一条直线的 ah个位置上，因若把a只黑球的位置固定下来 则其他位置必然是白球，而黑球的位置可以有C%种放法，以这种放法作为样本点. 这时有利场合数为C；：-1,这是由于第上次摸得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑 球可以放在（a+bT）个位置上任取（。-1）个位置，因此共有种放法.所以 所求概率为两种不同解法答案是相同的，注意考察一下两种解法的不同，就会发现主要在于 选取的空间不同.在前一种解法中把球看作是“有个性的”，而在后一种解法中则对同色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球的顺序而用排列，第二种则不注意顺序而用组合，但最后还是得到相同的答案.这种情况的产生

11、并不奇怪，这说明对于同一随机现象，可以用不同的模型来表述， 只要方法正确，结论总是一致的.在这个例子中，第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的个样本点合并而成的.这个例子告诉我们，在计算样本点总数及有利场合数时，必须对同一确定的样本 空间考虑，因此其中一个考虑顺序 另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确.既然同一个随机现象可有不同的样本空间来表述，因此同一个概率也常常有多 种不同的求法，我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题，为此熟悉同一问题的多种解法是重要的.例6 一个袋子中有N个球，其中M个是黑球，其余是白球.从袋子中任取为个 球.求取到 雄工 "）个黑球的概率.)解从

12、N个球中取月个球，样本总数是Cm .我们关心的只是黑白球的个数，不存 在球的排列问题，所以我们用组合数.在计算有利样本点时，注意到在取出 Mk4M） 个黑球的同时，也取出了片一上个白球，它们是分别从 M个黑球与N-M个白球中选出来的.因此，有利样本点个数为，所求的概率为片区% =例7 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 A:每一组有一名女生，及事件 B : 3名女生在同一组中的概率.解：（1）9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有91313131种分法.6!对于事件R,先将男生分到组里去，每组2名，这有212! 2!种，再将女生分到每一3组

13、每组一名，共有3!种，因此A的有利样本点共有212121种.所以）（2）对于事件B，先选定女生分到哪一组，这有3种,再将男生分成2组，因此B的36!有利样本点共有3!3!种.所以例8从6双不同的手套中任取 4只，求恰有一双配对的概率种选法，有C?种选解：设事件幺表示从6双不同的手套中任取4只，恰有一双配对.从6双不同的 手套中任取4只，共有 3 种选法.而先从6双不同的手套中任取1双，有把选出的一双的2只都取出的取法有种，再由剩余的5双中任取2双法，每双任取一只有 1/种选法，于是任取4只，恰有一双配对的概率为i_ 物6尸兔例9 一架升降机开始时有6位乘客，并停于十层楼的每一层.求下列事件的概 率.(1)某指定的一层有两位乘客离开；(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开；(3)恰有两位乘客在同一层离开；(4)至少有两位乘客在同一层离开；解：(1)由于每一位乘客均可能在十层楼的每一层离开 ，故所有可能结果为100种. 某指定的一层有两位乘客离开，这两人可以是6人中的任意两人，故有G?种离开方式， 其余4人可在另外的九层中按任意方式离开，共有94种，从而所求概率为0.0984(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开 ，即6位乘客必在十层中的任意 6