(完整word版)2019年全国I卷理数高考卷

1、12019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:i 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3 .已知a log20.2,bJ.20.3口r2,c 0.2，则(4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯

2、”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 壬.若某人满足上述两个黄金分割比例,2度为 26cm,则其身高可能是（）A . 165 cmB. 175 cmC . 185 cmD. 190 cm1.已知集合Mx4x2,Nxx2x6 0，则M I N=A .x 4 x 3B.x 4C .x 2 x 2D.x 2 x 32 .设复数 z 满足z i2 2A.(x+1) y 1=1, z 在复平面内对应的点为2 2B .(x 1) y 1（x,丫），则（2 2C.x (y 1)D.2(y+1)1C.cabD.、选择题：本题共 12 小题，每小题51(517618,2 2且腿

3、长为 105 cm,头顶至脖子下端的长25 .函数 f(x)=sinxX2 在,的图像大致为(cosx xA .rv-7T0卄6 .我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每 阳爻“一一” 的概率是(“重卦”由从下到上排列的 和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, )6 个爻组成,则该重卦恰有爻分为3 个阳爻5A.1611B.32C.32D.11167.已知非零向量a, b 满足|a| 2|b|，且(a b)b，则 a 与 b 的夹角为(D.8.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(1A. A=2 AA=1A=-1 2AD.A=112A39记 Sn为等差数列an的前 n

4、 项和已知S40, a55，则(212A an2n 5B.an3n 10C.Sn2n 8nD. n 2n210已知椭圆C 的焦点为R(1,0),F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A, B 两点若|AF2|2 | F2B |,|AB| | BR |,则 C 的方程为()2X2A .y 1B .22 2Xy132xC .42乂13D .2 2Xy15411.关于函数f (x) sin | x|sin x |有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间(，)单调递增2f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是()A.B .C.D .12.已知三棱锥 P-AB

5、C 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC,AABC 是边长为 2 的正三角形，E, F分别是 PA, AB 的中点，/ CEF=90,则球 O 的体积为()A8、6B C 2.6D. 6二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2x13曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为 _.1214.记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若a1-, afa6,则 S5=_.315甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为

6、0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4： 1 获胜的概率是 _.2 216 .已知双曲线 C:二芯1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线a buur uuuumr unu分别交于 A, B 两点若F1A AB,F1B F2B 0，则 C 的离心率为 _.三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。417.(12 分)2 2ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b,c,设(sinBsinC

7、)sin Asin BsinC.(1)求 A;(2)若2a b 2c,求 sinC.18.(12 分)如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4 , AB=2, / BAD =60 , E, M , N 分别是 BC,BB1, A1D 的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;(2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值.19.(12 分)3已知抛物线 C: y2=3x 的焦点为 F，斜率为一的直线 I 与 C 的交点为 A, B，与 x 轴的交点为 P.2(1) 若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程；uuu uuu(2)若AP 3PB，求 AB|.20.( 12

8、分)已知函数f(x) sinx ln(1 x),f (x)为f (x)的导数.证明:(1)f (x)在区间(匕一)存在唯一极大值点；2(2)f (x)有且仅有 2 个零点.521.( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1

9、 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为a和轮试验中甲药的得分记为 X (1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，Pi(i 0,1,L ,8)表示 甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效 的概率，则p00,p81,piapi1bp cpi1(i 1,2,L ,7)，其中a P(X 1),b P(X 0),c P(X 1)假设0.5,0.8(i)证明： Pi 1Pi (i 0,1,2, L ,7)为等比数列；(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的

10、合理性.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分)1 t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为2 cos .3 sin 11 0(1) 求 C 和 I 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 I 距离的最小值.23 选修 4 5 :不等式选讲(10 分)已知a,b, c 为正数，且满足abc=1 证明(1)11 12 . 2 2a b cab c在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2，1 t2(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的4t1 t26(2)(a

11、b)3(b c)3(ca)32472019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案、选择题二、填空题三、解答题18解：(1)连结 BQ, ME .因为 M, E 分别为 BB1, BC 的中点,1所以 ME / B1C,且 ME = B1C.2又因为 N 为 A1D 的中点，所以4. B 5. D 6.A 7. B 8. A 9. A 10. B 11.12.13. y=3x12114.15. 0.1816. 2.2 -17.解：（1）由已知得sin Bsin2C2sin A sinBsinC，故由正弦定理得b2be.b2由余弦定理得cos A c2a22bc因为0A 180,所以6

12、0.(2)由(1)知B120，由题设及正弦定理得.2sinA sin 1202sin C即空23厂cosC21 .sin22sin C，可得cos C 60由于0C 120,所以sin60-，故2sin Csin C 6060sin C 60 cos60 cos60 sin 6081ND= 一 A1D.29由题设知 A1B1PDC ,可得 BiCPAiD，故 MEPND , 因此四边形 MNDE 为平行四边形， MN / ED.又 MN 平面 EDCi，所以 MN /平面 CiDE.(2)由已知可得 DE 丄 DA.以 D 为坐标原点，DT 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

13、m(x,y,z)为平面 AiMA 的法向量，则mm n cosm, nI mil n |ANJCzERA(2,0,0), Ai(2 , 0 , 4),M(1,、.3,2),UULUANuuuu(1,0, 2),MN(0,、3,0).N(1,0,2),uuJTAiA (0,0, 4)uuuur,AM(1-3, 2),所以x . 3y4z 0.2z 0,可取m(、3,1,0).(p,q,r)为平面 A1MN 的法向量，则uuurMNuuuuAN0,0.所以、3q 0, 卄M可取p 2r 0.(2,0,1).D-xyz，则uuuirA1MuurA1A232；515510所以二面角A MA1N的正弦值

14、为-I0.5,y一x t口22由2，可得9X212(t 1)X4t20,则X1X2y2x12(t 1) 57从而，得t9287所以I的方程为y x -2 8uuu uuu(2)由AP PB可得y1y2.由y2X t，可得y22y 2t 0.y2x所以y1y 2.从而y2旳22，故y 1$.1代入C的方程得x1,x21.19 .解：设直线l : yt, A Xi, yiB X2,y23(1)由题设得F ,0，故| AF |4|BF| XiX2-，由题设可得XiX22故| AB|4120.解:(1)设g(x)f(x)，则g(x)1cosx,g(x)1 Xsin x1(1 x)2当X设为1,时，g

15、(x)单调递减，而2g(0)0, g()0,可得g(x)在21,有唯一零点,2则当x ( 1,)时，g(x)0；当x三时，g(x)o.12(t 1)91112所以 g(x)在(1,)单调递增，在 ，单调递减，故 g(x)在 1-存在唯一极大值点，2 2即 f (x)在 1,存在唯一极大值点.2(2) f(x)的定义域为(1,).(i) 当 x ( 1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而 f(0)0,所以当 x ( 1,0)时，f(x)0,故 f(x)在(1,0)单调递减，又 f(0)=0，从而x 0是 f(x)在(1,0的唯一零点.(ii)当 x 0,时，由(1)知，f(x)在

16、(0,)单调递增，在，单调递减，而 f(0)=02 2 ，时，f(x)0.故 f(x)在(0,)单调递增，在又f(0)=0，f 1 ln 120，所以当x% 时，f(x) 0.从而，f(x)在0,2没有零点.(iii)当 x ,时，f(x) 0，所以 f(x)在，单调递减.而 f -0，f( ) 0，2 2 2所以 f(x)在，有唯一零点.2(iv)当 x (,)时，ln(x 1) 1，所以 f (x)0，从而 f (x)在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21 解：X 的所有可能取值为1,0,1.P(X 1) (1)，P(X 0)(1)(1)，P(X 1)(1)，f20所以存在

17、,2 使得f()0,且当 x (0,)时，f(x)0 ；当 x,单调递减.213所以X的分布列为11|514(2)因此pi 1ar(l尸)(i)由(1)得a 0.4, b 0.5,pi=0.4 pj1+0.5 Pi+0.1 p，故0.1Pi4 PiPi又因为PiP0P1(ii)P8由于P4所以Pi由（i）可得P8P7P7P8=1，故P1P4P3P634L P1-，所以1P3P2P2pi 11Pi(iP0P0P1P1Pi0.4pp10,1,2,L ,7)为公比为P8P7P7，即4,首项为p1的等比数列.P6LP1P01257P4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为常小，说明这种试验方案合理.解：（1）因为111，且1 t20.0039，481L .0.5,乙药治此时得出错误结论的概率非1 t21 t24t21 t2 21，所以 C 的直角坐标方程为2x2 y1(x1).4l的直角坐标方程为2x . 3y 110.x cos（2）由（1）可设 C 的参数方程为y 2sin为参数,n).12cos2/3 s inC 上的点到I的距离为一74cosn-1