解读07考纲展谈基础能力

1、解读07考纲畏淡基础能力苏州市教育科学研屯院陈兆华一、认识命题的指导思想高考命题的指导思想，可用以下八个字概括：三基四能，一新二高.（d三基：即基础知识、基本技能和基本数学思想方法对基础知识和基本技能的考査，贴近教学实际，既注意全面又突汕重点，试题中每种题型的 起始部分均设有一定量的基础题，对支撑数学学科知识体系的主i：知识，考肖时保证较高的比例.加强对屮学数学知识屮所蕴涵的数学思想方法的考查，具体要求主要体现在通性通法的运用 上.分析2006年高考江苏卷，基础知识题占有较大比例，分值近100分：选择题中的基础知识题有：第1题函数奇偶性、第2题圆的切线、第3题统计中的平均数与 方差、第4题三角

2、函数图象的伸缩与平移、第5题二项式定理的展开、第6题向量运算求轨迹、 第7题集合、第8题不等式.（40分）填空题中的基础知识题有：第11题三角函数中的正弦定理、第12题解几的线性规划、第13 题排列（相同元素问题）、第14题三角恒等变形、第15题导数中的切线与数列、第16题解不等 式（30分）解答题中的基础知识题有：第17题解析几何用其他有关问题等.（30分）以上这些问题，主要就是考查了考生的三基.（2）四能：思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.思维能力是数学能力的核心，其考杳耍求是：会观察、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、 演绎和类比进行推理，会用简明准确的数学语言

3、阐述自己的思想与观点.运算能力是思维能力与运算技能的结合，其考查的要求是：对数字的计算、估算和近似计算, 对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何暈的计算求解以及分析运算条件、探究运算方 向、选择运算公式、确定运算程序等.空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其考杳要求是：会根据题设条件想象和画出图形, 会将复杂图形分解为简单图形，能对图形进行纟r合、变形，能在基本图形中确定基本元素及相互 位置关系.分析问题和解决问题的能力是对数学能力的综合考查，要求考生对试题所提供的问题，通过 阅读、理解，运用己有的知识和方法，尝试解决新问题.06年高考卷在四大能力上都体现了较高要求.思维能力要求以最后

4、两题尤为突出；运算能力体现在对整卷的运算量上，它是近几年高考中最大的一次，包括以上的部分基础知 识题，很多题都有较大的运算量，如：小题中的第3、5、6、8、11、14、15、16题，大题中的所 有解答题，都对考生的运算能力提出了前所未有的要求.尤其是第14、15、16题，有些题目已 相当于上世纪八、九十年代高考卷中的解答题.如14小题，运算环节较多，要想得到正确答案, 并非易事，若平时的训练不足，就会使学生产生心理准备不够，从而产生紧张情绪，因此扎实加 强运算能力的培养是非常重要的，而这项工作是贯穿在平时的教与学的各个微小细节中的.由于有2道解答题中有立体几何问题，加上图形的非常规性，给考生空

5、间想象能力作出了非 常高的要求.而第9题、第10题具有较强的生活背景，又因为有些问题的综合性较强，因此，06高考在 分析问题和解决问题的考查上也体现了较高要求.（3）一新：即一个创新注重创新，加强试题的开放性、探究性.以所学数学知识为基础，对某些数学问题进行深入探讨，或从数学角度对某些实际问题进行 探究，以体现研究性学习的要求.每年一般在小题中的排列组合问题上“出新”，在大题上的概率问题上“出新”或其他应用 问题上“出新”.（4）二高：即两个高度.整体的高度和思维价值的高度注垂从整体的高度和思维价值的高度设计问题.注重学科的内在联系和知识的综合性，使考 查达到必要的深度.二、研究考试的内容要求

6、对知识的考查要求分三个层次：a级：了解；b级：理解和掌握；c级：灵活和综合运用.（1）a级要求有13个.（2）b级要求冇71个.（3）c级要求有14个：“不等式”中有两个：“基本不等式”和“不等式的综合运用”；“函数”中有两个：“函数的基本性质”和“函数的综合运用”；“平面向量”中有一个：“平面向量的数量积”；“三角函数”中有两个：“同角三角函数的关系式”和“两角和与差的正弦、余弦、正切”；“数列”中有三个：“等差数列”、“等比数列”和“数列的综合运用”；“解析几何”中有三个：“椭圆的标准方程和几何性质”、“双曲线的标准方程和几何性质” 和“抛物线的标准方程和几何性质”；“立体几何”中有一个：

7、“直线和平面垂直的判定与性质”.由于容易题、中等题、难题在试题中所山的比例大致为3 ： 5 ： 2,又上述三个层次中3级要 求的知识点有71个，占总数的72%,因此重视中等题的复习与研究尤为重要.三、基础问题的有效训练高三下学期，各学校的高三数学复习逐步进入第二轮与第三轮（综合练习为主），其中第二 轮的复习要定位成“高瞻远嵋巩固基础、立足思想注重方法”.在第二轮复习中，建议用知识板块为主线，贯穿数学思想方法，并以部分数学思想方法为专 题，再对一些重点基础问题作回顾与训练.基础问题的再认识，要在高一、高二已学习、高三一轮已复习的基础上有更大的提高，即要 站在一定的高度再次认识基础问题，而不是简单

8、的、机械的重复练习，要有目的、有方向、有重 点的回顾一些基础问题.使学生能从根本上认清问题的本质，能在轻松愉快、眼明心知的心境中 得以解决.1. 画龙点睛，用“心”解题対于第一轮复习小的重要基础问题，要抓住问题的要点，使学生“心领神会”.例1已知sin二巴三，cos。二上凹，0已（乞,龙），则加的取值范围是.m + 5tn + 52例2 （2005年）在zkabc中，o为中线am上的一个动点，若am = 2,则oa （ob + oc）的最小值是 .例3关和的方程，和+ “。®）的四个根组成首项吋的等差数列，则" b的值是（）a. bc. d8242472例4等差数列$, 加

9、的前n项和分別为s”，t”若对任意的自然数n,都冇也=心，则tn 4/?-3 + :=厲+妇如+切例5求下列函数的值域：(1) y = 3sina + 4cosa, «e0, ； y = 3simx-4cosa, gwo, .例6求下列函数的值域：®y = 2x + 丁9-兀$ ； y = 2x-9-x2 例7已知实数a, b, c满足：a + h + c = 3f a2 + b2c2 =则a的取值范围是 .2例8设sina + sin/?=丄，则sin« - cos2的最大值为4411?a. b. c.d.39123例9正方形abcd的所有顶点在平面a的同侧，点

10、a, b, c到平面a的距离分别为3cm, 4cm, 7cm,则点d到平面a的距离为例10有四张卡片，止反面分别为0和1, 2和3, 4和5, 6和7,用它们拼成一个三位数，可拼 成个三位数.2. 抓住核心，注重算理例11已知a, b > 0, k ab - 2a - b = 1,求a + b的最小值.例12已知a（l, 3）, b（3, 4）,直线ab交直线/： 2x - 5），+ 6 = 0于点p，贝ijp分ab的比为例13已知0为aabc所在平面内的一点，j1满足0a2 + bc2 = 0b2 + ca2 = 0c2 + ab2 ,则0 定是/xabc的（）a.外心b.内心 c.垂

11、心 d.重心2 2例14 （2000全国理）椭岡冷 +专-=1的焦点f,甩 点p为其上的动点，当zflpf2为钝角时,点p横坐标的取值范围是.例15已知平面弘0, y两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为0,过。引一条射线0p,若 0p与三条交线屮的两条所成的角都是60。，则0p与第三条交线所成的和为（）a. 30°b. 45。c 60°d 75°例6已知数列為满足:a】=1, 2an+lan + 3如+冷+ 2 = 0, （ i ）求证: 是等差数列；（ii ）5 +1求an 例17 n2 (/7>4)个正数排成n行n列：其中每一行的数都成等差数列，每一列

12、的数都成等比数列,13.且所有公比相等.已知血4=1，。42二一，«43 =，求011+022 + 433+% 的值.8163. 利用特殊，化繁为简例18己知定义域、值域均为r的函数y = f(x + 2)为奇函数，且函数y =f(x)存在反函数，函数y = g(x)的图象与函数y = f(x)的图象关于直线y = x对称，则g(x) + g(兀)=例19(2006年全国卷ii)设s“是等差数列/的前/7项和*若芸t哈()例203“1a. b 103将y = sin(lr+兰)的图象向右平移1d.-91c.8单位可得y = sin(2x-兰)的图象.6例21己知a, b, c三点不共

13、线，a , “，y er,则2 ab + /j bc+y ca = 0成立的充要条件是()d. = / = /= 0a. iai = i/1 = 1/1 b. 2 = / =/ c. 2 + /+/= 0例22 在厶abc 中，化简 tz2(cos2 一 cos2c) + b2 (cos2c - cos2>4) + c2 (cos2a 一 cos25) =四、思想方法的宏观串联由于数学思维是数学教育的核心，因此高考把数学思维的考查放在一个十分重要的位置“多 考点想的，少考点算的”，“全卷充满思辨性”，“证中有算，算中有证”，“加大对代数推理论证的 考查”等命题指导思想足以说明高考对数学思

14、维考查的重视程度(2007年教育部考试中心高考 数学测量理论与实践).数学思想和方法可划分为三人类，它们是：数学思想方法，数学思维方法和数学方法.其屮数学思想方法：(1)函数与方程的思想；(2)数形结合的思想；(3)分类与整介的思想;(4) 化归与转化的思想；(5)特殊与一般的思想；(6)有限与无限的思想；(7)或然与必然的 思想.数学思维方法，是指数学思维过程中运用的基本方法，主要包括：观察与实验的方法；比较 与分类的方法，归纳与演绎的方法；分析与综合的方法，抽象与概括的方法，一燉化与特殊化的 方法等.数学方法主要指配方法，换元法，待定系数法等一些具体方法.1. 小题不能大做“在高考命题时，

15、以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查，而选择题与 填空题则鼓励考生积极思维，选择最佳思维方法，优化解答过程，减少解答时间，并以此指导中 学数学加强思维方法的教学，提高考生的思维水平”(2007年教育部考试中心高考数学测量理论与实践).例24函数y =厶+ 1 + 的值域为例25两个等差数列：2, 5, 8,197和2, 7, 12,197中，相同的项共有项.100 例26 己知数列為满足：d=l, a2 = 2, an+2 = an+i - an （nen*）,则工线二k-例27己知向量a = （3, -2）, b / a y且h 1 = 5,则向量b.2 2例28 （2006

16、年四川卷）如图,把椭圆+ - = 1的长轴佔分成8等2516份，过每个分点作x轴的垂线交椭恻的上半部分于巴，p2,巴，p4, p5, p6,戸7七个点，尸是椭岡的一个焦点，则1戶1尸1 +丨戶2尸1 +i p3f + i p4f + i p5f + i p6f +1 p1f =.2. 大题先得小做关于解答题，一般笫一问难度并不大，要正确理解问题，作出初步分析，设计解题方案.例29 （2000 年全国）设函数 f（x） = yjx2 -l-ax （d>0）.（i）解不等式/«<!； （ii）求d的取值范围，使函数/（兀）在区间0, +oo）上是单调函数.例30 在厶abc

17、中，ac = 4f bc = 2, zc = 60°, cd 为 zc 的 平分线，将图形沿cd折起，使二面角b-cd-a的大小 为120°.求:（i）折起fad与bc所成的角；（ii ）折起后所得的线段43的长度.3. 加强分析，寻找数学思想方法平时的复习过程中，若善于加强解题前的分析，揭示可能用到的数学思想方法，解后再反思, 是什么数学思想起到了关键作川，必会使复习工作成效更人.例31已知数列“与数列%满足：加二乞空土空二二叫（gn*）,1 + 2 + 3 + 求证：数列知成等差数列的充要条件是数列九成等差数列.例32设数列 an的前兀项和为s”,已知°1 =

18、 1,他=6, °3=11， .n（5n-8）s;；d-（5/?+2）szj = a/? + b, /? = 1, 2, 3,，其中 a、b 为常数.（1 ）求a与3的值；（ii）证明数列外为等差数列；（iii）证明不等式何二-师；>1对任何止梏数加、"都成立.例33 （2006安徽）已知函数于（兀）在r上有定义，对任何实数d0和任何实数x,都有(i )证明/(o)= o； (ii )证明 /(x) =,，"c其中r和力均为常数； hx,x <0(iii)当(ii)中的k0 时，设 g(x) = - + /(%)(兀 >0),讨论 g(兀)在(0

19、,4-00)内的jx)单调性并求极值.五、对07年高考的展望1. 关于函数问题小题仍耍以函数基本性质为重点，尤其是函数的值域、单调性及函数的对称性难点为抽彖函数的对称性问题.如例34 (l)y =/(l+x)与y=f(-x)的图象关于对称.(2) /(l+x)=/(l-x),贝ljy=/(x)的图彖关于对称.(3) y = f(2+3x)有对称轴为x = |,则y=f(x)有对称轴为大题要注意函数与数列、不等式的综合问题.如 例35已知./u)是定义在r上的不恒为0的函数，且对任意的°, /疋r,都满足f(a-b)=af(b)+bf(a). ( i )求/(0), /(i)的值；(i

20、i)判断/u)的奇偶性,并证明你的结论;(iii)若/(2) = 2,心=(hgn *),求数列仏的前项和.例36 已知函数 f(x) = xx-a +2x-3 .(i) 当d=4, 20w5时，问x分別取何值时，函数,y = f(x)取得最大值和最小值，并求 iii相应的最大值和最小值：(ii) 求a的取值范围，使得函数y = f(x)在r上恒为增函数；(iii) 己知0=4,烫咧满足色+ = ")+ 3 (nen*).试探求坷的值,使得数列 anan(nn*)成等差数列.2. 关于数列问题数列问题的核心是等差数列与等比数列，尤以等差数列为重点，主要考查方向为：(1)数列 的“单调

21、性”;(2)等差数列;(3)等比数列;(4) “项”与“和”之间的关系；(5)递推关系式 与通项公式.主要数学思想有“函数与方程的思想”，主要思维方法有“特殊化与一般化的方法”.小题以函数的对称思想、数列的“单调性”问题及等差、等比数列的基础知识为重点，如 例37在数列 "中,最大的项的序号为.n2 +609&n = 50,啟例38若数列禺满足色=逅则xa> =i, 7? h 50. i=lln-50大题要关注“和”及“递推关系式”的问题，要学会用“分类与整合的思想”，如例39已知正数数列冷的前斤项的和s“满足s = -(an+) (nwn*),求2° “例4

22、0 已知数列 a” 满足：aj = l a“+i + a“+2/? + 3 = 0, ( i )求 a”；(id 求 s“.3. 关于三角函数问题三角函数主要还是应用“两角和与差的三角函数”作出一些计算问题；三角函数的图象与性 质问题；以及三角形中的有关问题.仍以中等题为主.7t例41 (2006 年天津卷)已知函数/(x) = cisinx-bcosx (a、/?为常数，aho, xer)在x =处取得最小值，则函数y=fg-x)是()43兀a.偶函数且它的图象关于点仗，0)对称b.偶函数且它的图象关于点(,0)对称23/rc.奇函数且它的图象关于点(，0)对称d.奇函数且它的图彖关于点加0

23、)对称2例42 己知 xw0, j,则 y = cos( - x) - cos( + x)的值域.2 12 12例43 在abc 中,sina(cosb + cosc) = sinb + sinc,若 ab = 3cm, ac = 4cm,求abc 的面积.例44 已知向ft/w = (cosx + sinx, v3 sinx), n = (cosx-sinx,2cosx), /(x) = m n .()求/(兀)的解析式和它的单调递增区间；(ii) 若函数/(兀)在x = x()处取得最人值，且0 vx()vl,求兀()的值.4. 有关向量问题注意它与三角函数、解析几何结合的问题，主要是数暈

24、积的运算，向量的他标运算，向量的 几何意义等.例45已知点o为aabc所在平面内一定点，点p满足op = oa + aab网 sin 3 、ac+ ac sin c当2在0,+oo)变化时，动点p的轨迹一定通过abc的a.夕卜心b.垂心c.内心d.重心5. 有关不等式问题小题中常有基本不等式的有关问题，大题中若在最后两题中有不等式证明问题，常用放缩法,要求较高.,2 例46已知d>0, b>0, jw+牛=1,贝hy = a tn7的最人值为例47已知x, y>0,且丄+ = 1,贝！jx + y的最小值为解不等式中注意含绝对值不等式的分类求解问题，如解丨21丨“+ 1等小题.关于与数列相关的不等式问题，常用以下放缩法求和:6. 关于圆锥曲线大题常利用向量等条件得曲线方程，进一步研究直线与曲线的关系.由于椭圆多了一个3级耍求的参数方程问题，所以也耍适当训练一些含参问题，如2 2例48已知p为+ = 1±的一个动点，a