有关直线方程的距离及面积问题探析

1、有关直线方程的距离及面积问题探析中山市技师学院葛中海一、距离问题题目：已知直线方程y = hc + b，点p （m、n）不在该直线上，求点p到直线的最短距离？解：已知条件：直线方程y = kx + b，点p （m、n）,该点不在直线上。求解问题：点p到直线y = d +方的最短距离。根据题意，点p（m、n）到直线方程y = kxb的最短距离，就是通过点p且垂直于y = kxb 的直线上p点到垂点的长度这样问题就转化求解新直线方程了。设，通过点p且垂直于 y二也+ 的直线方程为y = k x-i-h o（1）新直线方程y = kx + b的斜率根据相互垂直的直线方程的冇关定律，可知通过点p （m

2、、n）冃垂直y = kx + h的直 线方程的斜率为y = kx + b的斜率的负倒数，即-丄。因此，新直线方程为y = -xbkk（2）新直线方程y二-丄兀+ f的f （在y轴上的纵坐标）k因为点p （m、n）在，=丄兀+ /上，把点p （m、n）代入），= 丄兀+ /,得kk解之得于是，新直线方程为n = m +bk. 1b=n+-mk1小 m、y = -x + (n + ) kk(3) 确定两直线交点坐标联立直线方程y = kx + b y = -x + (n + ),得 kkkx + b =x + (n +) kk该方程只有一个变量兀，解之得代入y = kx + b ,得k2n + k

3、m -k2b k2h + h k?n + km +b1=k2 + k2 + k2 + 即两直线交点坐标为:kn + m -kbkn + m -肋 丫k2 + l)(k2m -kn + kb'z+(n-km -b宀1丿2 + 1 丿(伙m -2+/?)2伙2 +1)v (，+l)2j伙？+l)(4) 求p点到直线y = kx + b的最短距离由平面直角坐标系的距离公式可知，最短距离为n + km k2+.二、例题题目：已知直线方程 = 3x + 2,求点p （6、2）到直线的最短距离？解：（1）确定新直线方程的斜率设，通过点p （6、2） 11垂直于y = 3兀+ 2的直线方程为y =

4、kx + b,则k =丄3于是，新直线方程为1 .y =x + b3（2）确定新直线方程的b又p （6、2）在y =+ b上，因此，得32=-x6+b 3解之得b = 4 那么，新直线方程可以表示为y =x + 43（3）求两直线方程交点坐标联立直线方程y = 3x + 2与y = _ + 4,得3x + 2 = x + 43 整理得3-x = 23解之得3x =5代入y = 3x + 2,得"3卡+ 2十即，交点坐标为：19r（4）求距离/q、2 z6+ 2 -l 5丿19、2'27(3/5, 19/5)y =x + 4 ,3（）,2）yrp(6, 2)j = -vio5三

5、、探析kn + m kb x =（1）验证坐标公式2k2 + 1n + km +b，=在（一）分析中，已知点p （m, n）,直线方程y = kx + b,在（二）分析中，已知点p（6, 2）,直线方程y = 3x + 2。根据对应关系，得m=6j n=2, k=3, b=2kn + m kb把这些参数代入公式x = z k2 + l,得k2n + km +b3x2 + 6-3x2b371 32x2 + 3x6 + 2 _ 19y该值与逐步分析计算的结果相同，因此公式的结论是正确的!（2）验证距离公式d =(k2m kn + kb、2'n-km b疋+1丿把 m=6, n=2, k=3

6、, b=2 代入上式,得w-n+b|_|3x6-2 + 2该值与逐步分析计算的结果相同，因此公式的结论也是正确的!三、面积问题题目：已知直线方程y = 3兀+ 2, p （6、2）是直线外一点。若y = 3x + 2上还有一点，ji 该点、p点与两直线的最短距离的直线包围的三角形而积为手，求该点的坐标？解：（1）根据询面的结论，垂直于y = 3x + 2的且过p （6、2）的直线方程为y = -* + 4, 两直线交点坐标为（色，）o设y = 3x + 2另一点与 冷，善）的距离为d',根据三角形面积定律，得s = -dh2因为h为p点到两直线交点的距离，即/=-v10,代入上式，并考

7、虑5 = ,得空丄/価525解z得=-vio然而，该点可能位于两直线交点（¥，¥）的左侧，也可能位于交点右侧，设其坐标为（x, y）,则(3、2(19)x+y-15丿5丿d' =2=vio因为（x, y）在直线y = 3x + 2上，则(3、2(19x+3x + 2 1 5j5 j整理得5x2-6x = 0% = 0i*把它们代入y = 3x + 2,得>1 =228-）如下图所示。也就是说，在两直线交点（？，空）的左侧和右侧均有一个点，满足3点组成的三角形 面积为艺，这两个点坐标为（），2）和（°四、推论7题目：己知冃线y = 3x + 2, a

8、（、0）是直线上一点，p （6> 2）是直线外一点。如3果直线上还有一点b,且a、b与p包围的面积为6,求b点坐标？ 解：（1）根据前面的结论，垂直于y = 3兀+ 2的且过p （6、2）的直线方程为y = -*尤+ 4, 两直线交点坐标为（丄，）,p点到y = 3x + 2的最短距离为-vloo虽然我们不知道b在a的哪一侧，但a、b与p包围的面积为6,因此根据三角形面积定律，可以求出ab的距离d刖，即s - da8h =6因为h为p点到两直线交点的距离，即h=-vio,代入上式，得丄 d x-vr（）=62 ab 5解之得设b坐标为（x, y）,则（ tv 2 /心=卜+£

9、+八因为（x, y）在直线y = 3兀+ 2上，贝ux2+-x = 03整理得解之得%! = 04 无=_t一 3把它们代入y = 3兀+ 2,得>=2l =-2也就是说，在a（-、0）的左侧和右侧均有一个点，满足3点组成的三角形面积为？価，24a这两个点坐标为（o, 2）和（巧，-2）如下图所示。五、标准化大家知道，数学冇它的美学特性，前而讲述中已知直线方程y = kxb,不是直线方程的 一般表达式，所以距离公式比较复杂。若用直线方程的一般表达式ax + by + c = 0 （a、b、 c都为常数，且a、b不同时为0）,则距离公式就简单的多，其美学特性也相应呈现了，推 导过程如下：llii ax + by + c = 0,转化成 y =+ b 时'，得acxbb即kn + m kb-疋 + 1 km-n-hj伙 si)代入k'nkm +h宀1b2m - abn -acfn - abm - bca2+lam + bn + c对比直线方程ax + by + c =