(完整)大一下学期解析几何考试试卷及答案(西南大学),推荐文档

1、、填空题(共 7 题，2 分/空，共 20 分)1.四点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,1),C(0,0,1)组成的四面体的体积是?2.已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),则(a b) c =_(-2,-1,0)3.点(仙)到直线 3xxzy0 的距离是_晋4.点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是_3皿 一72 25.曲线 C:x y z 0对 xoy 坐标面的射影柱面是_x2x y210z x 1对 yoz 坐标面的射影柱面是_(z 1)2y2z 0,对 xoz 坐标面的射影柱面是_ z x 1 026.曲线 C:x2y绕x轴

2、旋转后产生的曲面方程是_x44(y2z2)z 0，曲线C 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是x2z22y2 2 27.椭球面L 1的体积是9425?、计算题(共 4 题,第 1 题 10 分，第 2 题 15 分，第 3 题 20 分，第 4 题 10 分,共 55 分)1.过点P(a,b,c)作 3 个坐标平面的射影点，求过这 3 个射影点的平面方程.这里a,b,c是 3 个非零实数.解：设点P(a,b, c)在平面 z 0 上的射影点为M1(a,b,0)，在平面 x 0 上的射影点为M2(0, a,b)， 在平面ujuury 0上的射影点为M3(a,0, c)，则 MM ( a,0,c)，u

3、uuurM1M3(0, b,c)uuuuuir于是M1，M1M2uuuuuu，M1M3所确定的平面方程是,(2)3即bc(x a) ac(y b) abz 0.2.已知空间两条直线 li:X y 0, I2z 1 0uiuuuuuuuuuir(M1M2, V1,V2)h和l2间的距离d - ,-V1V22 2 2 2 2xyz 1110公垂线方程是002xyz 211000200(1)证明 li和 12是异面直线;(2)求 li和 12间的距离；(3)求公垂线方程.证明：(1)h的标准方程是f计即，h经过点M1(0A1)，方向向量V11, 1,012的标准方程是7，12经过点M2(0,0, 2

4、)，方 向向量V21,1,0，于0ujujuir(M1M2MV2)11031 060，所以 l1和 J 是异面直线1 0由(0,0, 2)， V1V223.求曲线2y绕 x 轴旋转产生的曲面方面1解：设M1(X1,y1,Z1)是母线2y上任意一点1则过M1(X1,y1, zj的纬圆方程是y zX1，(1)xx0,(2)3Zi2y11由(1)(2)消去X1,y1,2 2 24已知单叶双曲面7七251p(200)为腰椭圆上的点(1)求经过点 P 两条直母线方程及其夹角；求这两条直母线所在的平面 的方程及平面 的夹角与腰椭圆所在平面(1)设单叶双曲面两直母线方程w(-2xU(2z,5zu(1w(1t

5、(XV(f|)f)V(1肖yt(1勺把点P(2,0,0)分别代入上面两方程组，求得 wu,tv 代入直母线方程，过点P(2,0,0)的两条直母x2x2z5z5_y3_yx2x2z5z53，即y315x10y6z3015x10y6z3015x10y6z3015x10y6z30两直母线的方向向量可分别取V1(0,3,5)V2(0,3,5)，设两直母线的夹角是，则有cosV|v2vj|vj 17 8arccos.17(2)两直母线所在平面的方程是,(2)3显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是 0.四、证明题(共 2 题,第一题 10 分,第二题 15 分,共 25 分)t2_t t2,1t (,).u

6、uurc证明：设r(t) (x, y,z),则有x112)在球心为(0,- ,0),半径为-的球222.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面：双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明：(1) 双曲抛物面的 u 族直母线中任一条直母线都平行于平面八0,a bv 族直母线中任一条直母线都平行于平面-y0,a b因而结论成立.-5 分不妨取 u 族直母线来证明，任取 u 族直母线中两条直母线X工 2U1“ 2U211:9 b和 12:9 bu辿zU2(込za ba b其中 u1u2.由于的第一个方程表示的平面平行于的第一个方程表示的平面，即 11和 12在两个平行平面上，因而 11和 12不会相交.又由于直线11的方向向量为v1(a*0)(?，+1(沽書)直线 12的方向向量为V0,0)(鱼，, 1)( ,1 ,)a b a bba ab由于 u1u2,因此 11和 12不会