毕业设计-一个条件不等式的探究,再探究

1、一个条件不等式的探究.再探究问题：已豊m出丁二i世.力血松江四中(201601)高吉全上述简单的条件不等式，源于课木的擁，°我们将从以下多方血对此作些广泛的探 究：探究本题的证题思路；利川归纳、类比、联想的数学方法对本题作些推广与拓 展(3)在条件不变的情况卞，开放性地寻求本题的多重等价性结论，借此进一步作些 探究.点拨1从下述儿方面探索本题的证题思路：(1)分析探路，寻找解题突破口；(2)换元着 手，伺机利用熟悉的公式、结论；(3)利用函数思想探求函数的值域.严2疝二临驾"于i 点拨2对原的题辂出推广与拓展.首先注意到原问题的结论表明:两个和为1的正数，它们的 倒数和大或

2、等于4;那么三个和为1的止数，它们的倒数和会冇怎样的结果呢？四个和为 1的正数呢？进一步，加个和为1的正数呢？探究21已知a、b、c>0且a + b + c = l,则丄+ - + ->?,这个“？” 一下子不易 佔计，注意到在解决原问题时，探究1-1与探究彳-2轴利和了两个正数和的均值不等式, 那么类比地/本例是否可尝试利用三个正数和的均值不等式呢？a + b + ci 、o.丄+ - + ->3-3/5其中a = b = c =-时，等号成立于是得劉结蹇：结°、艸纟>0,a + b + c = l，则- + - + ->9探究2-2设q >0

3、(沱丫*),由原问题与探究2-1的给论纟明f若 a】+ 勺=1，则 1 4 = 22(1)若aa2+a3=a)贝 + + >9 = 32(2)由(1)、(2)类比猜测，得 偽若+。2+。3+。4 =1，贝 u '114 16(3)由(1) .(2).(3)归纳猜测，得：® 曾為若 d + +=1，则1(4)-其中猜测(3)、(4)正确，事失上$25蔦时,等号成立）.2°若d,0仃=1、2、加）且4 + d少+。加=145+幽1% = a211 m 1、v | 厂h+> in - :勺=包=1帥，等号融严2mmd 一 =>/= > m傑5(5点

4、拨3探究21、探究21,用类比、归纳、论证的思路，对原问题的结论进行了推广 与拓展，从元素个数变动的背景下，得到了一个一般性的结论；我们还可从元素次数 变动的背景下，开拓另一个探究的思路：既然两个和为1的正数，它们倒数的一次式 的和大或等于4,那么它们倒数的二次式的和会有怎样的结果呢？倒数的三次式的和 呢?进一步，倒数的加次式的和呢？探究31已知q q >0且6+0=1,则（丄尸+（丄）2 >?,这个“？”利用均值a a不等式易获解.（_）2 +（一）2 > 2匕? 2/ 1 - ax +£哙 2 jax,呂咚牛=>!>4=>->81 9 1

5、 9于是得到華论:若、偽>0且。1+勺=1，贝u（）+（）28,其中 cl =禺=时等号成立.® 如 2探究平宫d、。2°且。1+。2=1，由原问题与探究31的结论表明：+ >4 = 22 阻）2作（丄）2= 2彳 由&） .（2艄平猜测，得：（丄）"+（丄）?，> 2/,+1(1)(2)n2二丄时，等号成立2点拨4探究21、22的着眼点是变动元素的个数，探究31、32的着眼点是变动元素 的次数，山此分别得到了原问题的推广结论.在此基础上，我们着眼于更大胆的探 究思路：同步变动元素的个数和次数.探究方法是特例摸索、再归纳猜想、最后论证真伪

6、.探究4-1设务0 （iwat）, i卜+勺=1=>土 +丄4,类比探究下述问题: 若 q + 勺 += 1，贝u （）2 +（）2 +（ ）2 *?（ 1）若 q += 1 7"贝片（-乍 +（ ）3 +（ ）3 ?（2）若+勺+ + £“ =1，则（丄仟1+（-）心+%+（丄缈-、？（3）利用均值不等式，上述问题、（2）、3）易获會：%)2 >33 = 27()3 + ()3 + ()3 + ()3 > 4 j 3 : 3 3 = 4 ( /1)3 n 44 = 2563° 伽+冶+.+勺=1盹 aa2a3a4 iaa2a3aaax + ay

7、 + + 叽i 1.(±)-1 彳丄)“i +. + (丄)"i > m 址杯?化一-=卅丿(1°2 )加-】、m码ny (°1°2 探究4-2反思憑讪亦论(3),总觉得这个结论不畅，其中元素的个数加与元素的 指数加-1并不独立，互相制约.如果元素的个数与元素的指数互相独立，互不 相关，那么结论该是什么呢？ 即： 营 % > 0 (i = l,2,j - -m) 且(丄)"+(丄)"+ (丄)">?利用均值s5不等式，问题(4)不难获解：cl + 61° + + 6z/1'也 &

8、gt; 却cig q小+7丄1。2、加 _1a am n / l )wi_, > ma +°2 + + 4“(4)=1> mi= m (-；=m()?, + ()" + + ()” n m (其q1 ax = a =2m =时，辔号成立)探究42的最终结论比馋完满，它表明：“加个和为1的正数，它们的倒数的次 方和大于或等于加的n+1次方” .其中，当“它们的倒数的几次方和”改为“它们的 倒数的加-1次方和”，就成了探究41的最终结论；当“加个和为1的正数”改为 “两个和为1的正数”，就成了探究31, 32的授终结论；当“它们的倒数的次 方和”改为“它们的倒数和”

9、，则成了探究21、22的最终结论.山上.探究21、 22,探究31、32,探究41的结论全都是探究42结论的特例；而探究4 2的结论，则是探究21、22,探究31、32,探究41结论推广.y >mn由 得: 由 得: 由 得:iii 得: 由 得:(1)(2)(3)(4)(5)(6)点拨5现在换个也度继续对原问题作些探究，要求是：条件不变、结论开放、提出新的不 等式命题.即已知b>ord + b = ,举寻新的关于q、b的不等式。探究的基 本思路有两条：(1)将原问题甲结论(丄+ ->4)在题给条件下作等价变形.(2)电掉 原有结论,直接利用条件(” < 丄等)对a、b

10、重新组合.4探究 5j1 = 6/ + /? > 2 - yab n ab 5 、-ab> 44(q + /?)2 = a2 +b2 - 2ab => tz2 +/?2 = 1- laba2 +b? > -(a + b)3 = , + b" + 3ab(a + /?)=> a3 +/?3 = 1 - 3ab r+心丄4 1 11a + b = f - + ->4, >4丄+丄+丄占ab心+2)£仏+丄"5,1几 j 1、 1(1 + y- (1 + ) = 1 + (+ ) + (1x).(1?1)>9 °

11、 匕 ab/h；2j?、1 ,1,1.21z11、2(d + 勻 +(fe + -r >-.(a+-+b+-y =-(i + )- zaiz/ 012、223a b2ab(d+-r+(/?+：)- > ab 2由沙丄刊+丄+丄+丄亠5耳得：（o + ）.（b + £）nv45易知，上述（a（7）“各式帚，当且仅当a=b =-时，等号成立.点拨6探究5的意义在于:由此又开辟了一块又一块於探究天地.既然原问题的一个简单结 论，通过归纳、类比、联想、探究，意外掘出了一大型的宝藏，那末有理由相信，利 用探究5所得的一个个简单结论（1）（7）的再探究，一定会掘出一算乂一勢的宝藏，不

12、仿选几个再试试看.探究 61由探究 5甲结卑（1）、（2）式：若a、b>ona + b = lf a2 +b2 >-ta3+b3 »丄= （-）2.i：l：l此进一步探究拓展推广：21°从元素鶴上靈广：由上归纳猜测：若q、b>（）且a + b = l,则an +bn >（丄上述猜测成立，可山数学归纳法证之.(1) 当n = l. 2时，命题显然成立；(2) 若 n<k 时，命题成立，即a、b()时，有 ak +bk > (-)'"1,则 n = k +1 时，d" +bk+l =ak +bk)a + b)-(a

13、bk11 =(ak + 於)ab(b_' +占)t ah < => -ah > ak+ ak+l >(-)'_i -丄(丄严=(丄) .(2-1) = (-/ 命题也成立.由(1)、(2):爲、方殳 o3.d + b=4,则 a"+沁(丄)”t (ne2v*),易1 2知当h.仅当a=b =-时，等号成立.2°从元素个数f推广：设 a、a2 > a3 > 0 且 +a2 +a3 = 1，探究 aj +a； +尿 > ?/+a；> 2。禺2， a； +> 2a2a3, a +> 2a3a2(d： +

14、a； +3) > 2aa2 + 2a2a3 + 2a3ax3(a+ aj)»(% + °3) = 1770、1/.+。2 + a n 由此，结合探究5胡结论式，归纳猜测：若、严，仏0且 +勺+色” =1，则°：+°；+»丄，可以证明，这个猜测也是成立的.m/ ax + a； > 2axa2, a + tz； >a +67z； > 2aam.ai + 尿 >2a2a3t-9a +a >2a2am,-fa_l> 2am_,amcr2 (/n 1) + cl2 + + d； ) n 2(。2 + + 加 +

15、cl2l3 + + a2am + + %“”)/77(6f j + a； + + a；)n(d + °2 + a”?)"" = 1c2+ a： + + citl 弓(m 2 2, in g n)，易 矢口当a a2 =am "时，等号成立.3"从元素次数、元素个数网推广：设 、 a2 >，am > 0 .h. aa +a2 += 1 ， 探 究a +a2 + + 磴-?观察反思上述1°、2°最后的二个推广结论，发现这二个结论有如下的共性：加个 和为1的正数，它们的n次方的和都大或等于一个指数式的倒数，这个指数式的

16、 底数就是元素的个数加，指数就是元素的次数与1的差，将此共性写成数学式得:若 a】、a?、，a皿0 h. + a? + + am = 1，则 a； + a； + + a： n 上述猜测是威立的(但证明过程已超纲),由幕均不等或得:(+°2 +巧 > +勺+ + % =丄即 a? + a； + -a： > m 一=出(m > 2/? e tv *)，其中当1/m1 n"一1'7g =。2 =-时，够号成立.探究6-2jiii探究5的结论式:最、b>0且d + b = l,则(1+-)«(1 + -)>9从元素个数进行拓展推广：&

17、#176; b1 设 5、勺、仆 >。q。1 +。2 平3 叩，却:11(1 + )(1 + )(1 + ) = 1 + ( + + ) + ( + + 丄)+a詡2 刃3勺如 a3a cia2a3亠=27(aa2a3)1半a】+ aj +£弓11>3-3 和牛1如i 1 “3%冷伶灼43易知坷=°? = a3 =时，等号成立.,am0 且 a】+ 色 + + am a ,贝ij(1 + )(1 + )(l + )>(m + 1)m, (m >2,me7v)上述耀测可伽学归纳纸、结合组合知识予以证明，但很麻曹cm .探究 6-3由探究 5 结论(7)式：若 a、b > 0 且 a + b = 1，贝 ij(6/ + -)-(z? + -)> = (2 + 丄)2 从元素的个数上进行拓展推广：° b t 4 $1 设 q、 d?、§ 亍0 +。2 +丫3 =匚扌小 + = $ + + + 10ldta 9®59«,同理，绰+ > 10 io , a3 +(q + 丄)(馆 + 丄)()!；)>103 彳1归纳牙敌ij：若q纟0(/ = 1影、加 上述猜测仿照1；的证题思竽可予吟证明:/ (ij h= clj210+am a. mai赤工昭加hquh尸 .打仗+)