[中考数学]二次函数知识点总结与典型例题

1、二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，那么 y 叫做 x 的 二次函数 。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线 。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点a,b 及抛物线与y 轴的交点c，再找到点 c 的

2、对称点d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点c 及对称点d。由 c、m、d 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1） 一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2） 顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212

3、xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为 两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442

4、） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y 如图：点a 坐标为（ x1，y1）点 b 坐标为（ x2，y2）则 ab 间的距离，即线段ab 的长度为221221yyxxa 0 x b

5、 2、函数平移规律 （中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大， 则当2xx时，cbxaxy222最大， 当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，

6、y 随 x 的增大而减小， 则当1xx时，cbxaxy121最大， 当2xx时，cbxaxy222最小。典型例题1. 已知函数22113513xxyxx， 则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个， 则 k 的值为（）a0 b1 c2 d3 【答案】 d2. 如图为抛物线2yaxbxc的图像，a、 b、 c 为抛物线与坐标轴的交点，且 oa=oc=1，则下列关系中正确的是aab=1 b ab=1 c b2adac0 【答案】 b 3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 【答案】 d4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象

7、经过点（1，0） ， （1， 2） ，当y随 x 的增大而增大时，x的取值范围是【答案】12x5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与y 轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析式是（） a2(1)2yxb2(1)4yxc2(1)2yxd2(1)4yx【答案】 b6. 已 知 二 次 函 数cbxaxy2的 图 像 如 图 ， 其 对 称 轴1x， 给 出 下 列 结 果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是（）a b c d 【答案】d 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知

8、，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为6；xyo11（1,- 2）cbxxy2- 1 抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，点a 的坐标是（ 2，4） ，过点 a 作 aby轴，垂足为b，连结 oa(1)求 oab 的面积；(2)若抛物线22yxxc经过点 a求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在oab 的内部（不包括oab 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）解： (1) 点 a 的坐标是（2，4） ，aby 轴，

9、ab=2，ob4，1124422oabsabob(2)把点 a 的坐标（ 2，4）代入22yxxc，得2( 2)2( 2)4c， c 4 2224(1)4yxxx，抛物线顶点d 的坐标是 (1，5)，ab 的中点 e 的坐标是（ 1，4） ，oa 的中点 f 的坐标是（1，2） ，m 的取值范围为lm39已知二次函数y=14x 2+ 32x 的图像如图（1）求它的对称轴与x 轴交点 d 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、 y 轴的交点分别为a、b、c 三点，若 acb=90 ，求此时抛物线的解析式；（3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为m，以 ab 为直

10、径， d 为圆心作 d，试判断直线 cm 与 d 的位置关系，并说明理由解： （1）二次函数y=-14x2+32x 的对称轴为x=3， d（3， 0） （2）设抛物线向上平移h 个单位（ h0） ，则平移后的抛物线解析式为y=-14x2+32x+h acb=90 ， oc2=oa ob设点 a、b 的横坐标分别为x1、x2，则 h2=- x1 x2x1、x2是一元二次方程-14x2+32x+h =0 的两个根，x1 x2=-4h， h2=4h， h=4，抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4（3）cm 与 d 相切，理由如下：连结 cd、cm，过点 c 作 cn dm 于点 d，如下图所示

11、：ab 是 d 的直径， acb=90 ，点 c 在 d 上根据平移后的抛物线的解析式y=-14x2+32x+4 可得： od=3，oc=4，dm=254，cd=5cn=3，mn=94， cm=154 cm=154，cd=5，dm=254， cdm 是直角三角形且dcm =90 ， cm 与 d 相切10. 如图 10，在平面直角坐标系xoy 中， ab 在 x 轴上， ab10，以 ab 为直径的 o 与 y轴正半轴交于点c，连接 bc，ac.cd 是 o 的切线， adcd 于点 d，tancad21，抛物线cbxaxy2过 a，b，c 三点 . （1）求证： cad cab；（2）求抛物

12、线的解析式；判定抛物线的顶点e 是否在直线cd 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbca 是直角梯形 .若存在，直接写出点p的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. （1）证明：连接o c. cd 是 o的切线， o ccd adcd， o cad， o ca cad o c o a， o ca cab， cad cab（2） ab 是 o 的直径，acb 90ocab， cab ocb， cao bco，ocoboaoc即oboaoc2 tancaotancad21， oa2oc又 ab10，)210(22ocococ，oc0 oc4，oa8，ob2 a（ 8，

13、0） ，b（2，0） ，c（0，4） 抛物线cbxaxy2过 a，b，c 三点 .c4 由题意得048640424baba，解之得2341ba，423412xxy2设直线 dc 交 x 轴于点 f，易证 aoc adc， adao 8. o cad， fo c fad，adcoaffo8(bf5)5(bf10)，310bf，)0,316(f设直线 dc 的解析式为mkxy，则03164mkm，即443mk443xy由425)3(414234122xxxy得顶点 e 的坐标为)425, 3(e 将)425, 3(e代入直线dc 的解析式443xy中，右边4254) 3(43左边 .抛物线的顶点e

14、 在直线 cd 上11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd 是直角梯形， bcad， bad= 90 ，bc 与 y 轴相交于点m，且 m 是 bc 的中点， a、b、d 三点的坐标分别是a（ -1，0） ，b( -1，2)，d( 3，0)，连接 dm，并把线段dm 沿 da 方向平移到on，若抛物线y=ax2+bx+c 经过点 d、m、n（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点p使得 pa= pc若存在，求出点p 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另 个交点为e点 q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点q 在什么位置时有qeqc最大？并求出最大值。a b c

15、 d o e n m x y 图（1）解：由 题 意可得 m（0，2） ，n（-3，2）2293093cabcabc，解得：19132abcy=211293xx（2） pa= pc ， p 在 ac 的垂直平分线上，依题意， ac 的垂直平分线经过b（-1，2） ，（1，0） ，这条直线为y=x+12111293yxyxx解得：1133 223 2xy，22332232xy p1（33 2,23 2） ，p2（33 2,232） （3）d 为 e 关于对称轴x=15 对称， cd 所在的直线y=x+3 yq=45，q（-15， 45） qeqc最大值为cd=2222=2 2个单位 /秒（3）（

16、）,当29t时，有最大值为4121， 此时)239,211(p12如图， 抛物线 y=21x2+bx 2 与 x 轴交于 a、b 两点， 与 y 轴交于 c 点，且 a （一 1，0）求抛物线的解析式及顶点d 的坐标；判断 abc的形状，证明你的结论；点 m(m，0)是x轴上的一个动点，当cm+dm的值最小时，求m的值（1）点 a（-1，0）在抛物线 y=21x2 + bx-2上，21 (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得 b =23抛物线的解析式为y=21x2-23x-2. y=21x2-23x-2 =21( x2 -3x- 4 ) =21(x-23)2-825, 顶点 d 的坐

17、标为(23, -825). （2）当 x = 0 时 y = -2, c（0，-2） ，oc = 2当 y = 0 时，21x2-23x-2 = 0，x1 = -1, x2 = 4, b (4,0) oa = 1, ob = 4, ab = 5. ab2 = 25, ac2 = oa2 + oc2 = 5, bc2 = oc2 + ob2 = 20, ac2 +bc2 = ab2. abc 是直角三角形 . （3）作出点c 关于 x 轴的对称点c，则 c（0，2） ，oc=2，连接 cd 交 x 轴于点 m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc + md 的值最小设直线 cd 的解析式为y

18、 = kx + n , 则825232nkn，解得 n = 2, 1241k. 21241xy.当 y = 0 时，021241x，4124x. 4124m13. （2011 浙江金华，10 分）在平面直角坐标系中，如图1，将 n 个边长为1 的正方形并排组成矩形oabc，相邻两边oa 和 oc 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点b、c. （1）当 n1 时，如果a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图2，在矩形oabc 上方作一边长为1 的正方形efmn ，使 ef 在线段cb 上，如果m，n 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 oabc 绕点 o 顺时针旋转，使得点b 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 o，试求出当n=3 时 a 的值； 直接写出a 关于 n 的关系式 . 解： （1）由 题意可知，抛物线对称轴为直线x=12，122ba,得 b= 1；（2）设所求抛物线解析式为21yaxbx，由对称性可知抛物线经过点b（2，1）和点 m（12，2）14211121.42abab，解得4,38.3ab所求