2018-2019学年高中数学考点57直线和圆的方程的应用庖丁解题新人教A版必修2

1、【解析】设圆的方程为 x2 y2 =3.62，将（0.8, y）代入方程的 y : 3.5 . 考点 57 直线和圆的方程的应用 要点阐述 直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学 模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解解题步骤是： （1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解. 典型例题 【例】如果实数x, y满足等式（x -2）2 y2 -3，那么y的最大值是（ x ) A.- B. 2 3 C D. .3 2 【答案】D 【解析】A 的几何意义是圆上

2、的点H环y）与原点连线的斜率，结合團形得斜率的最大值为的, 【秒杀技】圆的半径 3，原点到圆心的距离为 2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角 60,可得 斜率的最大值 小试牛刀 1一辆卡车宽 1.6 m要经过一个半径为 3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得 超过（ ） A. 1.4 m B. 3.5 m C. 3.6 m D. 2.0 m 2 【答案】C 【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实 际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题用坐标法解决平面 几何问题的思维过程： 2 .台风中心

3、从 A地以 20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险区，城市 B在A 地正东 40 km 处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A. 0.5 h B. 1 h C. 1.5 h D. 2 h 【答案】B 【解析】如虱 以地为原点，血所在直线为工轴，建立平面直角坐标系.则臥風50) )为圆心，30 为半径的圆内倔之间含端点为危险区，可求得昭牛26二时间为lh.故选E 【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是： (1) 建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题； (2) 通过代数运算解决代数问题； (3) 将代数结构翻译成几何结论. 3.

4、 y =|x|的图象和圆x2 + y2= 4 所围成的较小的面积是 ( ) 3 n A 7 3 n C 2 【答案】D 3n B. 4 D. n 【解析】数形结合，所求面积是圆 1 x2 + y2= 4 面积的：. 4 -2 4 .已知 M= ( x, y)| x2+ y2w4, N= ( x, y)|( x 1)2+ (y 1)2Wr2(r0)，且 MT N= N,贝U r 的取值范围 是() A. (0, . 2 1) B. (0,1 C. (0,2 2 D. (0,2 【答案】C 【解析】因为 MT N= N,所以两个圆内含或内切，贝 U 2 r 2，得 r (0,2 2，故选 C. 5

5、 .如图，圆弧形桥拱的跨度 AB= 12 米，拱高 CD= 4 米，则拱桥的直径为 _ . 【答案】13 米 【解析】设圆心为0半径为则由勾股定理得，曲=曲+盼，即枳，解得戶岁 所以拱桥的直径为13米. 6 . 一束光线I自A (- 3, 3)发出，射到x轴反射到 C: x2，y2 -4x-4y *7=0 上. (1) 求反射线通过圆心 C时，光线I的方程； (2) 求在x轴上，反射点M的范围. 【解析】L C : (x -2)2，(y -2)2 =1. (1) C关于x轴的对称点 C (2,- 2),过A、C 的直线方程：x + y=0 为光线l的方程. 4 (2) A关于x轴的对称点A (

6、- 3，- 3).设过A的直线为 y+3 = k(x+3)，当该直线与 L C相切时, 亠 2k 2 3k 3 4 亠 3 . | 4 3 有1_ =1nk=或 k= . ,.过 A , L C 的两条切线为 y+3=_(x+3) y+3=_(x + 3)令 J1 +k2 3 4 3 , 4 3 4 3 _ 3 1 y =0 ,得儿 ,x2 =1 . 反射点M在x轴上的活动范围是 ,1 . 4 14 5 _ 订 考题速递 1.点F(4, 2)与圆x2+ y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) 2 2 2 2 A. (x 2) + (y + 1) = 1 B. (x 2) + (y

7、+ 1) = 4 C. (x+ 4)4 + (y 2)2 = 4 D. (x + 2)2 + (y 1)2= 1 【答案】A _Xl + 4 fxi=2x_4, 【解析】设圆上任意一点为（工J）冲点为0必则彳 =c 厲 代入刃得（h4，+ _yi-2 Ln=2y+2, V 2 J (2y+2) 化简得 2，+ + 1)=1. 2 2 2 .圆x + y 2x 8y+ 13= 0 的圆心到直线 ax+ y 1 = 0 的距离为 1,贝 U a=( ) 3 B-4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】由圆的方程 x2 + y2 2x 8y+ 13= 0 得圆心坐标为（1,4）,由点到直线的距离

8、公式得 d = 【解析】圆（x+ 3）2+ （y 2）2 = 1 的圆心为（-3,2）,半径r = 1. （ - 2, - 3）关于y轴的对称点为 （2, - 3）.如图所示，反射光线一定过点（2, - 3）且斜率k存在，反射光线所在直线方程为 y + 3 = k(x - 2),即 kx - y - 2k 3= 0.为（） 【答案】D A. |1 x a+ 4 1| ：1+ a2 4 =1,解之得a= 3. 6 反射光线与已知圆相切 | _ 3k_ 2 _ 2k_ 3| 击” 2 ” /口 3 ,、 4 2 = 1,整理得 12k + 25k + 12= 0,解得 k=或 k=. k2+(-

9、1) 2 4 3 4如图，已知一艘海监船 O上配有雷达，其监测范围是半径为 25 km的圆形区域一艘外籍轮船从位于海 监船正东 40 km 的A处出发，径直驶向位于海监船正北 30 km 的B处岛屿，速度为 28 km/h . 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长? 【解析】如图，以 o为原気 东西方向为 X轴建立直角坐标系, 则-4(40,0) 5(0,30),圆。方程为 W 十护=2 掘 直线曲 方程：翕+盒二 1，即弘+知一 120 二 0, 设。到血距离为d,则Q 严=242 所以外籍轮船能被海监船监测到- 设监测时间为厶则匚巴加二知 答；外藉轮船能被海监船监测到，时间是 O5h (要求用坐标法) 7 数学文化 石拱桥 石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如 桥头常立牌坊，著名者如