应用数学方向动力系统第二章非线性微分方程动力系统的一般性研究

1、精品第二章 非线性微分动力系统的一般性研究 在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含假设干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的根底。本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统： 其中，是定义在某个开集中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个

2、主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。2.1 常点流、直化定理本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。定理2.1 设有定义在开集上的动力系统(2.1)，是它的一个常点，那么存在的邻域及其上的微分同胚，它将内的流对应为内原点邻域的一族平行直线段。证明：由于是常点，是中的非零向量，通过非奇异线性变换坐标轴的平移、旋转和拉伸，可将对应为新坐标系的原点，且化为列向量简记为，其中表示向量的转置，代表维零向量，而微分系统可化为与此同时，的邻域，在线性变换的作用下化为原点参见图2.1(b)。根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的邻域和包含

3、的区间，使得系统(2.1) 从中任何一点出发的解在上存在，且关于其变量是连续可微的。 进一步，即对任意的，其中，系统(2.1)过点有解曲线满足。 令，那么得到映射。考察导算子，因。又由于，故有，其中表示阶单位方阵。于是导算子。由反函数定理知，在的一个邻域，为局部微分同胚。取的邻域。由于均为微分同胚，因而也是微分同胚，且它将中(2.1)的常点的邻域内的流映射为中开集内的一族平行于轴的直线段见图2.1。证毕。图2.1 对于离散系统的常点，有类似结论。只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分同胚之下，都相应分布在一族平行直线段上。2.2 平衡点及其动态特性.1 根本概念 考虑以下非线性常微分方

4、程定义的动力系统： 定义 假设是系统(2.1)的一个平衡点，它是“稳定的是指：如果对的任一个邻域，存在个子邻域，使沿系统(2.1)的任何个满足初始条件：的解对皆在存在且位于之中(图2.2)。进而，如果可选得一个，使得对任何都有那么被称为是浙近稳定的平衡点或汇(图)。 图 稳定平衡点 图2.3 渐近稳定平衡点 定义2.2 假设是系统(2.1)的一个平衡点，且没有零特征值和纯虚数特征值，那么被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。 显然，对双曲型平衡点而言如果所有特征值皆有负实部，那么是渐近稳定平衡点，而当的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时，是不稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而

5、，如果所有持征值皆有正实部，那么是不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。 例题2.1 (Lienard方程)考虑的平衡点及其稳定性。 易推得，Lienard方程的等价形式为其中，。从定义可知，该方程平衡点是，同时该系统在平衡点处Jacobian矩阵为其两个特征值没分别是所以，当时，平衡点是汇；而时，是源。.2 平衡点稳定性分析 对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。假设是系统()的一个平衡点，那么在点系统的线性化系统定义为其中是的Jacobian矩阵，。以下定理给出了个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性样。 定理2.2

6、如果没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称之为同胚)，它定义于中的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方程()的解，并保持解的性态不变。 以上定理的证明可以在Hartman P在1964年出版的专著中找到。这里不再引述。 然而，当不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其稳定性，下面的Liapunov定理给出了条途径。 定理2.3 假设是系统(2.1)的一个平衡点，如果存在一个可微函数，它定义于的某个邻域内，且，当时。，在中，其中是(2.1)的轨线。那么是稳定的。 进而，如果在中，那么是渐近稳定的。 上述定理给出了一个并不需要求解而判断不动点稳定性的方法

7、，但是定理中的函数(被称为Liapunov函数)的构造却是一件不容易的事。上述定理的证明可参见常微分方程有关稳定性理论的局部。2.2.3 平衡点的稳定流形和不稳定流形 定义2.3 系统(2.1)的稳定子空间记作，不稳定子空间记作，而中心子空间记作。其中是对应于具有负实部特征值的广义特征向量，是对应于正实部特征值的广义特征向量，而是对应于具有零实部的特征值的广义特征向量。它们分别又称为不变稳定、非稳定和中心子空间。 例题2.2 如果那么如图2.4所示。图2.4 广义特征空间定义2.4 假设是(2.1)的一个平衡点，系统(2.1)的流是，那么的局部稳定流形和局部非稳定流形分别是其中是的一个邻域。

8、不难看出和给出了线性化系统(2.1)的稳定子空间和不稳定子空间的非线性的模拟。以下定理给出了更确切的描述。 定理2.4 (平衡点稳定流形定理) 假设有一个双曲平衡点，那么存在局部稳定和不稳定流形和，其维数为和，分别与线性化系统的子空间和的维数相等，且与和相切。同时，和与具有相同的光滑性。 上述结论如图2.5所示，其证明可参阅Hartman1964和7。图 稳定流形进而还有如下的中心流形定理。定理 假设是上定义的一个向量场，。让，其谱分解为又设和的广义特征空间分别是和。那么，存在着稳定的不变流形和不稳定的不变流形分别在与和相切和个中心流形与在相切。其中和是唯确定，而并非唯一(如图2.6)。图 中

9、心流形、稳定流形和不稳定流形 定义2.5 全局稳定和不稳定流形分别为 根据微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，两个不同的平衡点的稳定(或非稳定)流形不能相交； (或)也不能自我相交；而不同的平衡点或同一个平衡点的稳定流形和不稳定流形却可能相交。 例题2.3 考虑二维系统原点是其唯一的平衡点，其线性化系统为易得分别如图2.7所示。图2.7 稳定流形和不稳定流形2.3 闭轨及其动态特性.1 根本概念 从线性微分方程内容，常微分方程除了平衡点是其解外，还有可能出现周期解，即假设为系统(2.1)的解，且存在一个常数，使得，那么就是(2.1)的一个周期解，该轨线称之为闭轨闭环或周期轨线。类同平衡

10、点的情况，有： 定义 让为系统(2.1)的一个闭轨(closed orbit)，为的某一个邻域。那么，它的稳定流形和不稳定流形分别为 定义 假设是系统(2.1)的一个闭环，为系统的流。如果对某一个开集，存在一个开子集：，使得，那么是个稳定的闭环；假设对任一个开集，都有上述性质，并且其中为流与闭轨间的距离，那么，就称为一个渐近稳定的闭环如图2.8所示，或周期吸引子。图2.8 周期吸引子2.3.2 Poincare映射 在经典的常微分方程理论中，人们比拟详细地研究了线性系统及局部类型非线性系统的周期解的存在性和稳定件，以下所述的Poincare映射法从几何的观点分析了闭执的存在性和稳定性。 假定是

11、中由非线性系统的某个流的一个闭轨，又设为一个维的超曲面，且对所有的皆成立，其中是在处的单位法向量此时，称之为流与处处横截。设与有唯一的交点，为的某个邻域。那么对上某点的Poincare映射定义为其中是经点的轨线首次回到所需的时间(一般说来，依赖于，也不定等于闭轨的周期，然而，当时将有)。图2.9 Poincare映射 显然，点是Poincare映射的一个平衡点。同时，由定义知道，Poincare映射可以从微分方程的通解来取得。 例题2.4 考虑一个平面系统：取横截超曲面是。 利用极坐标，将上述方程改写成此时超曲面就是，于是可解得全局流为。取，那么Poincare映射便为.易见时的一个平衡点，即

12、表示原系统有一个半径为1的圆闭轨。.3 映射的动态特性和闭轨的稳定性 定义 假设映射，其中为开集，如果，那么，称之为映射的一个平衡点。 定义 假设是映射的一个平衡点，如果对的每一个邻域，存在一个于邻域，使得，且那么称是渐近稳定的，或称之为汇。 定理2.6 假设是映射的一个平衡点，且，那么是渐近稳定的。 证 为表达方便起见，设，由条件及线性代数理论，在中适中选定一个范围后，对某个常数将有让，根据Taylor定理，存在的一个邻域，使得于是对的任一个邻域，选为以为中心，半径为充分小的超球，且。所以即及故，且 由此定理可见，倘假设是Poincare映射的一个汇，那么所对应的闭轨是渐近稳定的。根据此结论

13、由例题2.4中Poincare映射可算得所以闭轨是渐近稳定的。 利用Poincare映射研究闭轨的存在性和稳定有其几何直观上的优点，而从形式上的研究，平均化方法不失也是一个有效的手段。2.3.4 平均化定理和扰动系统闲轨 在振荡器研究中人们常常会遇到如下形式的微分方程动力系统：(2.4)其中是函数，它在有界集上有界，且关于是周期为的函数。于是，可以根据下述定理来判断闭轨的存在性和稳定性。 定理2.7 系统(2.4)的平均化方程为(2.5) （1） 如果是系统(2.5)的一个双曲型平衡点，那么存在，使得对所有的，系统)有唯一的双曲型周期轨线，并且具有与相同的稳定性。（2） 如果是系统(2.4)的

14、位于双曲周期轨线的稳定流形上的解，而是系统)的位于双曲平衡点的稳定流形上的解，并且，那么。类似结论对不稳定流形上的解也成立，只是 证 如下一章定理3.7所述，存在一个坐标变换它可使式(2.4)变为(2.6)其中是时间的周期函数，周期为。 这里将式(2.5)和(2.6)改写成：(2.7)和(2.8)其中是长度为的圆周。 很清楚，如果能证明式(2.7)双曲型闭轨的存在性意味着式)具有相同类型的周期轨线，那么本定理之(1)就能得证。于是考虑它们的Poincare映射。 定义一个截面，并设和分别是由式(2.7)和)所定义的Poincare映射，其中是某个开集。 因为式)的解是式(2.7)的解的-接近，

15、所以也是-接近。 如果是式(2.5)的双曲平衡点，那么它也是的双曲不动点，因此，可逆，这意味着有唯一解且是-接近。 进而，由于的特征值连续地依赖于，所以两个平衡点具有相同的稳定性。于是式(2.8)有周期轨线且-接近于。 综上所述，式(2.5)有双曲型平衡点表示式(2.6)有同类型的闭轨。而上面论述指出，此时式(2.8)也有具有相同类型的闭轨。从式(2.7)的由来知道式(2.6)有相同稳定性的双曲型周期轨线，当然作为对逆变换后的系统(2.4)也具有相同稳定性的双曲型周期轨线且-接近于，即第(1)点得证。 (2)的证明可参见文献2。该结论同时也是Hirsch，1977一书中定理4.1的直接推论。故

16、而这里不再复述了。利用平均化定理，对周期轨线的研究有时就变得十分简单。例题2.5 考虑。因为其平均方程是是其一个稳定的双曲型平衡点，所以原系统在附近有一个稳定的双曲型闭轨。例题2.6 考虑Van der Pol振荡器系统：令，那么，原系统变为(2.9)消去可得(2.10)从而可应用平均化定理。不难算得，在让后的平均方程为显然它的平衡点是，而由于的无意义及的平凡性，平均方程只有不稳定的双曲型平衡点，从而式(2.10)有个位于邻域的不稳定的周期轨线。由于增加时随之减少，所以对应的式(2.9)的周期轨线存在且稳定。 例题2.7 考虑受迫的Van der Po1系统：在坐标变换之下，系统变为以下的系统

17、，如果定义那么系统的平均方程将为其平衡点分布如图2.10.图2.10 Van der Po1系统平衡点分布I： 唯一稳定平衡点；II：两个平衡点，其一为汇，另一为鞍点；III：唯一不稳定平衡点；IVb：三个平衡点：汇、源和鞍点。系统平衡点对应于系统的周期轨线，也对应于系统的周期轨线。2.4 轨线的渐近性态 对动态系统进行定性分析中，除了判定平衡点、闭轨的存在性与稳定性之外，轨线的渐近性态分析也是一项主要的内容。2.4.1 根本概念 定义2.10 (非游荡集和游荡集) 一个点对于系统流非游荡是指：如果对的任一个邻域，都存在任意大的使得。由所有这样的非游荡点组成集合就称之为非游荡集。否那么，被称之

18、为游荡点和游荡集。 显然稳定的平衡点和周期轨道是非游荡集。 又如阻尼调和振荡器系统方程是，或可写成是其唯一的非游荡点。而对无阻尼振荡器而言，平面上所有的点谐是非游荡点。 定义 2.12 (吸引集) 一个闭的不变集被称之为吸引集是指：存在的某个邻域，使得和对所有的皆成立。 继而，定义是的吸引域(即是的不变流形)。 同样，排斥集是指和对所有的皆成立的集合。 根据定义可知，别离的吸引集的吸引域必然不相交，它们是由非吸引集的稳定流形所分隔(如图)。图 吸引域2.4.2 非线性系统的轨线 非线性常微分方程动力系统(1.1)的轨线会呈现出许多的动态特性和渐近特性，但是从轨线的形式而言，以下定理指出其轨线只

19、能是属三类：平衡点、闭轨和不封闭轨线之一。 定理2.8 系统(1.1)的执线必为以下三类型之一： (1) 平衡点：对所有皆成立； (2) 闭轨：存在一个常数，使得，但对任何的，(即为此闭轨的周期)； (3) 非闭轨线：即时。 证 假设流不是类型(3)，那么有，使得所以令，显然，且令是一切使上式成立的正数的集合，因为集合又有下界，所以必有下确界，即在内存在个数列，使得。 假设，那么意味着，即轨线为闭轨。 假设，由于其中方括号表示取整数局部)对任意固定的皆成立，即有，即，轨线为平衡点。2.5 结构稳定性 一个系统中小所涉及到的函数在受到小扰动后，系统能否仍然保持其定性性态的问题已引起科方而研究的关

20、注，例如自动控制理论中的鲁棒性(Robustness)的研究。本节作一简介，说明系统结构稳定性问题所关系到的概念和某些结论。2.5.1 根本概念 定义 假设，那么被称为的一个的-摄动是指：存在个紧集，使得(在集合上)并且对所有的皆有。 定义 两个映射和是等价(或共扼)()是指：存在个的一对一可逆连续映射 (即微分同胚) ，使得 假设和是等价，那么称它们为拓扑等价。 定义 两个向量场和说是等价是指：存在个的一对一可逆连续映射 (即微分同胚) ，使得的轨线与的轨线对应且保持性态不变(即对任何的和，存在使得)。 定义2.16 (结构稳定) 映射(或一个向量场)称为结构稳定是指：存在小参数，使得(或)

21、所有的所有-摄动都与(或)拓扑等价。2.5.2 结构稳定性定理定理2.9 假设是开集上的一个向量场，其中且满足以下条件： (1) 在中只有一个平衡点，且它是一个汇； (2) 沿着的边界，向量场指向内部，即。 (3) ，是的流，那么在上结构稳定。 该定理的证明在文献1中可以查到，此根本思路是证明对一对非常接近的向量场而言，存在唯一的平衡点，它位于之邻近；其次的所有在内的轨线都趋于。一旦上述结论得证，就可以定义一个一对一的可逆连续映射(同胚映射)，且对应于-轨线和-轨线。从而和是拓扑等价，即为结构稳定。综上所述，很清楚地可看到具有非双曲型平衡点的向量场不可能是结构稳定的，同样，该向量场所有的闭轨必

22、须是双曲型的。2.5.3 平衡点和闭轨的保存性 结构稳定系统具有许多“优秀的品质，任何允分靠近的系统具有相同的定性性态。其一是平衡点的保存性：。 定理 假设是一个向量场，是的一个双曲平衡点，那么，对任何，总存在的一个邻域以及的一个邻域，使得对任何，有唯一平衡点，它也是双曲型平衡点，且。对于闭环也有类似的结论。 定理1 让是一个向量场，其流是。我们又假设存在闭轨，周期为(为方便起见，没在上)。让为局部截割在处的一个Poincare映射，为闭轨的一个邻域，并设不是映射的特征值。那么存在的一个邻域，使得对每个，都有一个闭轨。不一定是唯的闭轨，然而当是周期吸引子且g充分接近时，也是周期吸引子且唯一。2

23、.6 二维流在本节中，考虑以下的二维常微分方程定义的动力系统：(2.11)其中和充分光滑。多年来，人们对二维系统作了许多探索，揭示了其复杂和丰富的动态特性。本节既是一个根本小结又是如何进行动态分析的演示，使读者能更直观地理解前面的论述。2.6.1 二维线性系统的动态特性二维线性系统的形式为(2.12)其中是常数；记称之为系统(2)的系数矩阵。对系统(2.12)的分析已经全部完成，其结论如下。 假定矩阵的秩等于(对于的秩小于的情况，读者易得所有结论)。那么为系统(2.12)的唯一平衡点，并且根据矩阵的特征值，该平衡点的稳定性和轨线性态有以下类型：(1) 具有两个异号的实特征值：，那么被称为鞍点其

24、轨线图如图2.12所示。图2.12 鞍点 (2) 具有两个带有负实部的特征值时， 有以下4种情况出现，此时点被称为汇sink。 有两个负的实特征值，且互不相等，那么称为结点，其执线图如图2.13所示。 有两个相等的负的实特征值，且可对角化，被称为临界结点，共轨线图如图2.14所示。 有重的负特征值，但不能对角化，此时称为非正常结点，其轨线图如图2.15所示。 有两个带有负实部复特征值，那么被称为焦点，其轨线如下图。 (3) 具有两个带正实部的特征值时，也有与上相应的4种情况出现。此时为源(source)。 有两个正的实特征值，且互不相等，那么称为结点，其执线图如下图。 有两个相等的正的实特征值

25、，且可对角化，被称为临界结点，共轨线图如下图。 图 稳定结点 图稳定临界结点 图 稳定非正常结点 图 稳定焦点 有重的正特征值，但不能对角化，此时称为非正常结点，其轨线图如图9所示。 有两个带有正实部复特征值，那么被称为焦点，其轨线如图2.20所示。 (4) 的特征值是两个相互共扼的纯虚数。那么为中心，其轨线图如下图。 综上所述1情况(1)和(3)中的原点是不稳定平衡点，情况(2)中的原点是渐近稳定平衡点，而情况(4)中的原点是稳定而非渐近稳定的平衡点。图2.17 不稳定结点 图不稳定临界结点图 不稳定非正常退化结点 图不稳定焦点 图中心 2线性二维流的轨线如各图所示，在远离平衡点处没有其它动

26、态出现，即轨线图是全局性态结构图。 3当没有零实部特征值时，线性系统是结构稳定的即情况(1),(2)和(3)。2.6.2 二维非线性系统的动态特性 如上所述，对二维非线性系统动态特性分析的第步就是寻找其平衡点，即从和求解。继而系统对应的线性化系统就是(2.13)或其中。如果矩阵的所有特征值皆无零实部，那么不仅是展示系统(2.11)的解的渐近性态，而且还提供了相位图的局部拓扑结构。然而，当线性化系统(2.13)的对应的特征值是对纯虚数即系统(2.13)的平衡点是中心时，可能不再是系统()的中心，其性质的判断有后继判别法和形式级数判别法，读者可考文献4。另那么，利用Liapunov方法可断定平衡点

27、的稳定性。这一类的论述可在一般的常微分方程论著中发现，此处不再复述了。 第二步探索就是判定该系统的周期解的存在性。对此，已有许多结论，而较为常用的有： 定理2 (Bendixson准那么) 如果在一个单连通区域上，不恒等于零也不改变符号，那么系统(2.11)在内没有闭轨。 定理3 (Dulac准那么) 如果有函数连续，且有连续偏导数，使得在单连通区域内不变号，那么系统(2.11)在内没有闭轨。 例题 研究系统：并画出相位图。 全局相位图解 系统有平衡点，其中是鞍点，皆是稳定的焦点。 在第一象限内，用Dulac准那么，取可得。它在第一象限内不变号，所以系统在第一象限内无闭轨。类似可证在其他象限内亦无闭轨。 又由于与都是该系统的轨线，所以不可能存在与轴或轴相交的闭执。即系统在上无闭轨，其轨线图必然如下图。 例题2.9 研究系统： 解 系统平衡点是，其中，与是鞍点，是不稳定焦点，用Dulac准那么，又可断定系统在上无闭轨。其轨线图如下图。 然而二维流的动态远比上