职高数学知识点总结

1、名师推荐精心整理学习必备职高数学概念与公式初中基础知识：1. 相反数、绝对值、分数的运算；2. 因式分解：提公因式： xy-3x=(y-3)x3 252(31)(2)十字相乘法 如： xxxx配方法如： 2x2x 32( x1 )22548公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y)3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：（ 1） 代入法（ 2） 消元法6.完全平方和（差）公式：a22ab b2(ab)2a22abb 2( a b) 27.平方差公式：2b2()(a)aa bb8.立方和（差）公式： a3b3(

2、ab)(a2abb 2 )a 3b 3(ab)( a 2ab b 2 )第一章 集合1. 构成集合的元素必须满足三要素： 确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、 描述法、 图像法（文氏图）。注： x|x,x ；另重点类型如： y | yx23x1, x( 1,3描述法元素元素性质取值范围3. 常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N * （正整数集）、 Z （正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（ 1） 元素与集合是“ ”与“ ”的关系。（ 2） 集合与集合是“ ” “ ”“ ”“ ”的关系。注：（1）空集是任

3、何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有 2n1 个，非空真子集有 2n2个。5. 集合的基本运算 （用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（ 1） AB x | xA且xB ： A 与 B 的公共元素（相同元素）组成的集合（2） AB x | xA或xB ： A 与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。名师推荐精心整理学习必备（ 3） CU A ： U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。注：CU(AB)CUACUBCU(AB)CUACUB6. 逻辑联结词：且（）、或（）非（）如果

4、 , 那么 , （）量词：存在（）任意（）真值表：p q ：其中一个为假则为假，全部为真才为真；p q ：其中一个为真则为真，全部为假才为假；p ：与 p 的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。 ）7. 命题的非（ 1）是不是都是不都是（至少有一个不是）（ 2）, ，使得p 成立对于, ，都有p 成立。对于, ，都有p 成立, ，使得p 成立（ 3）( pq)pq( pq)pq8. 充分必要条件p 是 q 的 , 条件充分p q不必要不充分p q必要充分p q必要不充分p q不必要p 是条件， q 是结论p是q

5、的充分不必要条件 （充分条件）p是q的必要不充分条件 （必要条件）p是 q的充分必要条件 ( 充要条件 )p是q的既不充分也不必要条件第二章不等式1. 不等式的基本性质：注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：20102009与20092008 （倒数法）等。（ 2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！（ 3）同向的不等式可以相 加（不能相减），同正的同向 不等式可以相乘。名师推荐精心整理学习必备2. 重要的不等式：（ 均值定理 ）（ 1） a 2b 22ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。（ 2）ab2( ,R)，当且仅当 a b 时，等号成立。ab a

6、 b（ 3）ab c3( , ,R)，当且仅当a bc时，等号成立。abc a b c注： ab （算术平均数）ab （几何平均数）23. 一元一次不等式的解法4. 一元二次不等式的解法（ 1） 保证二次项系数为正（ 2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法） ，目的是求根：（ 3） 定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注：若0或0 ，用配方的方法确定不等式的解集。5. 绝对值不等式的解法若 a0 ，则| x | aaxa|或|xaxax a6.分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1.映射:一般地，设 A、 B 是两个集合，如

7、果按照某种对应法则f ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合 B 的映射，记作：f : AB 。注：理解原象与象及其应用。（ 1） A 中每一个元素必有惟一的象；（ 2）对于 A 中的不同的元素，在 B 中可以有相同的象；（ 3）允许 B 中元素没有原象。2. 函数 :（ 1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。（ 2） 函数的表示方法：列表法、 图像法、解析式法 。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。3. 函数的三要素： 定义域、值域、对应法则（ 1） 定义域的求法：使函

8、数（的解析式）有意义的 x 的取值范围主要依据：分母不能为 0偶次根式的被开方式0特殊函数定义域yx0 , x0名师推荐精心整理学习必备ya x ,( a0且a1), xRylog a x, (a且0 a 1), x 0ytan x, x k,( k Z)2（ 2）值域的求法：y 的取值范围正比例函数： ykx 和 一次函数： y kxb 的值域为 R二次函数： yax2bxc 的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是 R 则还需画图像反比例函数： y1 的值域为 y | y 0xyaxb 的值域为 y | yacxdcymxn的值域求法：判别式法ax2bx c 另求值域的方法： 换元法、反

9、函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（ 3） 解析式求法：在求函数解析式时可用 换元法、构造法、待定系数法等。4. 函数图像的变换（1） 平移yf ( x)向右平移f ( x a)yf( ) 向左平移yf ( xa)yxa个单位a个单位yf ( x)向上平移f ( x) ay向下平移yf ( x)ayf ( x)a个单位a个单位（2） 翻折yf ( x)沿 x轴f ( x)y f ( x)保留 x轴上方图像y | f ( x) |y下方翻折到上方上、下对折yf ( x)保留 y轴右边图像yf (| x |)右边翻折到左边5. 函数的奇偶性 :（ 1） 定义域关于原点对称（ 2） 若

10、 f ( x)f ( x)奇若 f ( x) f ( x)偶注：若奇函数在x0处有意义，则 f (0) 0常值函数 f ( x)a（ a0 ）为偶函数 f ( x)0既是奇函数又是偶函数6. 函数的单调性 :名师推荐精心整理学习必备对于 x1、x2 a,b 且 x1x2 ，若f ( x1 ) f ( x2 ),称在上为增函数f ( x) a,bf ( x1 ) f ( x2 ), 称f ( x)在a, b上为减函数增函数： x 值越大，函数值越大； x 值越小，函数值越小。减函数： x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性： h(x)f (g( x)f ( x)

11、 与 g( x) 同增或同减时复合函数h( x) 为增函数； f ( x) 与 g (x) 相异时（一增一减）复合函数 h( x) 为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7. 二次函数 :（ 1）二次函数的三种解析式 :一般式： f ( x)ax2bx c（ a0 ）顶点式： f ( x)a(xk )2h（ a0 ），其中 (k ,h) 为顶点两根式： f ( x)a(xx1 )( xx2 )（ a0 ），其中 x1、x2 是 f (x)0 的两根（ 2）图像与性质 :二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口a 0开口向上a 0 开口向下对称轴： xb2a顶点坐

12、标： (b, 4acb 2)2a4a0有两交点与 x 轴的交点：0有1交点0 无交点 一元二次方程根与系数的关系： （韦达定理）x1x2bacx1 x2a f ( x) ax2 bx c 为偶函数的充要条件为 b 0 二次函数（二次函数恒大（小）于0）f ( x)a00图像位于 x轴上方0f ( x)a00图像位于 x轴下方0名师推荐精心整理学习必备若二次函数对任意x 都有 f (t x)f (t x) ，则其对称轴是 xt 。若二次函数 f ( x)0的两根 x1、x2 . 若两根 x1、x2 一正一负，则00x1 x2 . 若两根 x1、x2 同正（同负）00若同正，则 x1 x20若同负

13、，则 x1 x20x1x20x1 x2 0 . 若两根 x1、 x2 位于 (a, b) 内，则利用画图像的办法。00若a0,则 f ( a) 0若a0,则 f (a)0f (b) 0f (b)0注：若二次函数 f ( x)0的两根 x1、x2 ； x1位于 (a, b) 内， x2 位于 (c, d ) 内，同样利用画图像的办法。8. 反函数 :（ 1）函数 yf ( x) 有反函数的条件x与 y 是一一对应的关系（ 2）求 yf ( x) 的反函数的一般步骤：确定原函数的值域，也就是反函数的定义域由原函数的解析式，求出x将 x, y 对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。（ 3）原函数与

14、反函数之间的关系 原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域 二者的图像关于直线yx 对称 原函数过点 (a, b) ，则反函数必过点 (b, a) 原函数与反函数的单调性一致第四章指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算 : （ 1）根式的性质： n 为任意正整数， (n a) na名师推荐精心整理学习必备当 n 为奇数时， n an a ；当 n 为偶数时， n a n | a | 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（ 2） 零次幂： a01(a 0)（ 3） 负数指数幂： a n1(a0, n N * )anm（ 4） 分数指数幂： a nn a m(a0, m

15、, nN 且 n 1)（ 5） 实数指数幂的运算法则：(a0,m, nR) a m a na m n (a m ) na mn ( a b) na n b n2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。a当a时，yxa在（ ，）上单调递增3. 幂函数 y x00当a时，yxa 在（ ，）上单调递减004. 指数与对数的互化abNlog a N b(a 0且a 1)、 ( N0) 对数基本性质：log a a1 log a 10 a log a NNlog a aNN log a b与 log b a互为倒数log a blog b a 1

16、1log a blog b alog a m bnn log a bm5.对数的基本运算：log a ( MN )log a Mlog a Nlog aMlog a Mlog aNN6.log b N0且b1)换底公式： log a N(blog b a7. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定y a x (a 0, a 1的常数 )y log a x(a 0, a 1的常数 )义图像名师推荐精心整理学习必备(1)xR, y0(1)xR, y0性(2)图像经过 (0,1)点(2)图像经过 (1,0)点质a1, yx为增函数；a1, yloga x在(0,)上为增函数；（3）a（3）

17、0a1, ya x为减函数0a1, ylog a x在(0,)上为减函数8. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。9. 指数方程和对数方程（ 1） 指数式和对数式互化（ 2） 同底法（ 3） 换元法（ 4） 取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数定a2a1a3a2an an 1 da2a3anq ( q0)a1a2义an 1注：当公差 d00；时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为当公比为 1 时，

18、数列为常数列通项ana1(n 1)dana1q n 1公式推（1） danam（1）qnmannmam论（2） anam(n m d（ ）ann m)2am q（3）若 mn p q ，则（ 3）若 m np q ，则 amana p aqamana paq中项三个数 a、 b、 c 成等差数列，则有三个数 a、 b、 c 成等比数列，则有公式2bacbacb2ac2前 nn(n 1) dnan q （ q项和Snn( a1an )na1Sna1 (1 q) a11）公式221 q1q其S2n1(2n1) an 如： S7 7a4它名师推荐精心整理学习必备等差数列的连续 n 项之和仍成等差等比

19、数列的连续 n 项之和仍成等比数数列列1. 已知前 n 项和 Sn 的解析式，求通项 an ： anS1( n1)SnSn 1(n2)第六章 三角函数1. 弧度和角度的互换： 180o弧度，1o弧度0.017451180) o57o18'弧度， 弧度(1802. 扇形弧长公式和面积公式L扇 | r ，S扇1 Lr1 | | r 2（记忆法：与 S ABC1 ah 类似）222注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。3. 任意三角函数的定义：对边sin斜边邻边cos斜边对边tan邻边倒数倒数倒数1csc记忆法： S、 C互为倒数 sin1sec记忆法： C、S 互为倒数 cos1cott

20、an4. 特殊三角函数值 :00030045 060 0900一象限6432sin0123422222cos4321022222tan0313不存在35. 三角函数的符号判定 :（ 1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负）（ 2） 图像记忆法6. 三角函数基本公式 :tansin1（可用于化简、证明等）coscotsin 2cos21（ 1. 可用于已知 sin求 cos；或者反过来运用。 2. 注意 1 的运用）1 tan 2sec2（可用于已知 cos（或 sin）求 tan 或者反过来运用）7. 诱导公式 :（1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。名师推荐精心整

21、理学习必备解释：指 k( kZ ) ，若 k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。2（ 2） 分类记忆 去掉偶数倍（即2k） 将剩下的写成（一象限）、（二象限）、（三象限）、（四象限） 再看象限定正负号（函数名称不变） ；或写成-（一象限）、（二象限） ，再看象限定正22负号（要变函数名称）要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。8. 已知三角函数值求角（ 1） 确定角 所在的象限（ 2） 求出函数值的绝对值对应的锐角'（ 3） 写出满足条件的 0 2 的角（ 4） 加上周期（同终边的角的集合）9. 和角、倍角公式 :sin(

22、)sincoscos sin注意正负号相同cos()cos cossinsin注意正负号相反tan()tantantantantan()(1tan tan )1tan tansin 22 sincos， cos2cos2sin 22 cos2112 sin 2tan 22 tan，tan1 cossin1cos1tan 2sin1cos1cos210. 三角函数的图像与性质性质函数图像奇值域同期偶单调性定义域性 2k,2ky sin x1,122x RT 2奇,2k3 2k22名师推荐精心整理学习必备y cos x1,1 2k,2k 偶x RT 2 2k,2kxkT奇 (k, k)y tan

23、x2 R22k Z11. 正弦型函数 y Asin( x)( A 0,0)(1) 定义域 R ，值域 A, A2（2）周期： T（ 3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将 x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（ 4） ya sin xb cos x 类型，ya sin xb cos xa 2 b 2 sin(x)12. 正弦定理:abcsin Asin B sin C其他形式：（ 1） a 2R sin Ab2R sin B（ 2） a : b : c sin A : sin B : sin C13. 余弦定理 : a2b2c22bc cos A14. 三角形面积公式 S A

24、BC1 ab sin C22R（ R 为ABC 的外接圆半径）c 2R sin C （注意理解记忆，可只记一个）b 2c 2a 2cos A2bc1 bc sin A1 ac sin B2215. 三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为 1800 ，第一个内角都在 (0, ) 之间等。第七章平面向量1. 向量的概念（ 1） 定义：既有 大小又有方向 的量。（ 2） 向量的表示： 书写时一定要加箭头！ 另起点为 A，终点为 B 的向量表示为 AB 。（ 3） 向量的模（长度）： | AB | 或| a |（ 4） 零向量：长度为

25、 0，方向任意。单位向量：长度为1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。名师推荐精心整理学习必备2. 向量的运算（ 1） 图形法则三角形法则平形四边形法则（ 2）计算法则加法： AB BC AC减法： AB AC CA（ 3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律3.数乘向量： a （ 1）模为： | | a |（ 2）方向：为正与 a 相同；为负与 a 相反。4.AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。AB( xB xA , y B yA )5.向量共线（平行）： 惟一实数，使得 ab 。（可证平行、三点共线

26、问题等）6. 平面向量分解定理： 如果 e1 ,e2 是同一平面上的两个不共线的向量， 那么对该平面上的任一向量 a ，都存在惟一的一对实数a1 ,a2 ，使得 aa1 e1a2 e2 。向量 a 在基 e1 ,e2 下的坐标为 (a1 ,a2 ) 。7. 中点坐标公式： M 为 AB 的中点，则 OM1 (OA OB)28. 注意 ABC 中，（1）重心 ( 三条中线交点 ) 、外心（外接圆圆心： 三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点） 、垂心（三高线的交点）的含义（ 2）若D 为BC 边的中点，则AD1(ABAC)坐标：两点坐标相加除以22（3）若 O 为ABC 的重心，

27、则AOBOCO0 ; (重心坐标：三点坐标相加除以3)9.向量的内积（数量积）:（ 1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围 0, 。（ 2） 内积公式： a b| a | b | cosa, b10. 向量内积的性质：（ 1） cosab（夹角公式）（2） a b a b 0a, b| a | b |（ 3） a a| a |2 或 | a |a a（长度公式）11. 向量的直角坐标运算：（ 1） AB ( xB xA , y B yA )名师推荐精心整理学习必备（ 2）设a( a1, a2), b(b1 , b2) ，则 ab(a1b1 ,a2b2 )a(a1,a2 )a ba1b

28、1a2b2（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）12. 向量平行、垂直的充要条件设 a(a1 , a2 ), b(b1 , b2 )a1b1（相对应坐标比值相等），则 a bb2a2a ba b 0a1b1a2b2 0（两个向量垂直则它们的内积为0）13. 长度公式 :（ 1） 向量长度公式：设 a(a1 , a2 ) ，则 | a |a12a22（ 2） 两点间距离公式：设点(,y1), (,y2)则|AB|(x2x ) 2( y2y) 2A x1B x21114. 中点坐标公式：设线段AB 中点为 M ，且 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y) ，则x1

29、x2x2（中点坐标等于两端点坐标相加除以2）y1y2y2第八章平面解析几何1.曲线 C 上的点与方程 F ( x, y)0 之间的关系：（ 1） 曲线 C 上点的坐标都是方程F ( x, y)0 的解；（ 2） 以方程 F ( x, y)0 的解 ( x, y) 为坐标的点都在曲线C 上。则曲线 C 叫做方程 F (x, y)0 的曲线，方程 F (x, y)0 叫做曲线 C 的方程。2. 求曲线方程的方法及步骤（ 1） 设动点的坐标为 ( x, y)（ 2） 写出动点在曲线上的充要条件；（ 3） 用 x, y 的关系式表示这个条件列出的方程（ 4） 化简方程（不需要的全部约掉）3. 两曲线的

30、交点：联立方程组求解即可。4. 直线（ 1） 倾斜角：一条直线 l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 0,)（ 2） 斜率：倾斜角为90 0 的直线没有斜率； ktan（倾斜角的正切）注：当倾斜角增大时，斜率k 也随着增大；当倾斜角减小时，斜率k 也随着减小！名师推荐精心整理学习必备已知直线l的方向向量为 (,) ，则v2v v1v2klv1经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )y2y1( x1x2 )的直线的斜率 Kx1x2直线 AxBy C 0 的斜率 KAB（ 3） 直线的方程两点式： yy1xx1y2y1x2x1斜截式：

31、ykxb点斜式： yy0k( xx0 )截距式： xy1a为l 在x轴上的截距， b为l 在y轴上的截距ab一般式： AxByC0其中直线 l 的一个方向向量为 (B, A)注：( ) 若直线 l方程为 3x 4 y5 0，则与 l 平行的直线可设为3x 4 yC 0；与 l 垂直的直线可设为 4x 3y C0 。（ 4） 两条直线的位置关系斜截式： l1 : yk1xb1 与 l2: yk 2 xb2l1 l 2k1k2且 b1b2l 1 与 l 2 重合k1k2且b1b2 ，l1 l 2k1 k21，l1 与 l 2 相交k1k2一般式： l1 : A1 x B1 xC10 与 l 2 :

32、 A2 xB2 x C20A1B1C2A1B1C2l 1 l 2B2C2l1 与 l 2 重合B2C2A2A2l 1 l 2A1 A2B1 B20A1B1l1 与 l 2 相交B2A2（ 5） 两直线的夹角公式 定义：两直线相交有四个角，其中不大于的那个角。2范围： 0,2斜截式： l1: yk1x b1 与 l2 : y k 2 x b2tan| k1k2|（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）1k1k2名师推荐精心整理学习必备一般式： l1 : A1 xB1 xC10 与 l 2 : A2 xB2 xC20cos| A1A2B1B2 |A12B12A22B22(6) 点到直线

33、的距离 点 P( x0 , y0 ) 到直线 AxByC0 的距离： d| Ax0 By0 C |A2B2 两平行线 AxByC10 和 AxByC20的距离： d| C1C2|A2B25. 圆的方程（ 1） 标准方程： ( xa)2( yb) 2r 2 （ r0 ）其中圆心 ( a, b) ，半径 r 。（ 2） 一般方程： x2y2DxEyF0（D2E 24F0 ）圆心（D ,E ）半径： rD 2E 24F222(3) 参数方程： ( xa)2( y b) 2r 2 的参数方程为xr cosa0,2 )yr cos(b（ 4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径 r 比较。d r相交 ； dr相切 ； dr相离（ 6） 圆 O1 与圆 O2 的位置关系：利用两圆心的距离d 与两半径之和 r1r2 及两半径之差r1r2 比较，再画个图像来判定。 （总共五种：相离、外切、内切、相交、内含）（ 7） 圆的切线方程： 过圆 x 2y 21上一点 P( x