安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一上学期期末数学(凌志班)试题(解析版)

1、高一数学试题（考试时间： 120 分钟满分 150分）注意事项：1.本试卷分第卷和第卷两部分.2.选择题答案请用2b 铅笔准确地填涂在答题卷上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷相应位置，否则不得分 .3.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题（本题共12小题，共 60分）1.已知集合1,2a，集合 b 满足1,2,3ab?，则满足条件的集合b 有（）个a. 2b. 3c. 4d. 1【答案】 c 【解析】【分析】写出满足题意的集合b，即得解 . 【详解】因为集合1,2a，集合 b 满足1,2,3ab?，所以集合b=3,1,3,2,3,1,2,3. 故选： c 【点睛】本题主要考查集合的并集运

2、算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.函数22( )44f xxx的定义域是（）a. 2,2b. ( 2,2)c. (, 2)(2,)ud. 2,2【答案】 d 【解析】【分析】由题得224040 xx，解之即得解. 【详解】由题得224040 xx，解之即得 2,2x. 所以函数的定义域为 2,2. 故选： d 【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 . 3.sin570的值为（）a. 12b. 22c. 12d. 32【答案】 a 【解析】【分析】利用诱导公式化简即得解. 【详解】1sin(360210 )sin 210

3、sin(18030sin5)sin37002oooooo. 故选： a 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 4.已知2,1av，1,1bv，则av在bv方向上的投影为（，a. 22b. 22c. 55d. 55【答案】 a 【解析】av在bv方向上的投影为1222a bbrrr，选 a. 5.如图，正方形abcd 的边长为2，动点 e 从 a 开始沿 abc 的方向以 2 个单位长 /秒的速度运动到c 点停止，同时动点f 从点 c 开始沿 cd 边以 1 个单位长 /秒的速度运动到d 点停止，则aefv的面积 y 与运动时间 x（秒）之间的函

4、数图像大致形状是（）ab. c. d. 【答案】 a 【解析】【分析】先求出12x时，aefv的面积 y 的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解. 【详解】由题得12x时，2(1)22,42 ,2bexxcex cfx dfx，所以aefv的面积 y211142 (22)(42 )2 (2)34222xxxxxx，它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴. 故选： a 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 . 6.已知函数2sin06fxx的部分图象如图所示，则的值可以为 ( ) a. 1b. 2c. 3d. 4 【答案】 b

5、 .【解析】由图可知2sin2,sin133636f，故2，选b. 7.若,都是锐角，且5cos5，3sin()5，则cos（）a. 2 525b. 2 55c. 2 525或2 55d. 55或525【答案】 a 【解析】【分析】先计算出cos，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,都是锐角，且51cos52，所以,32又33sin52，所以2，所以24cos1sin522 5sin1cos5，coscoscoscossinsin2 525，故选 a. 【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大8.已知函数2log(1)7aaxfxx在2,3上是增函数，则实数a

6、的取值范围是（）a. 5,4b. 15,1,94uc. 5,4d. 1,12,)2u【答案】 a 【解析】【分析】先 考 虑 函 数2( )(1)7t xaxx在2,3上 是 增 函 数 ， 再 利 用 复 合 函 数 的 单 调 性 得 出21(1) 2270aa求解即可 . 详解】设函数2( )(1)7t xaxx0aq122(1)xa2( )(1)7t xaxx在2,3上是增函数21(1) 2270aa，解得54a故选： a【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题. 9.已知偶函数( )fx 在0,)上单调递增，且( 2)3f，则满足(23)3fx的 x 的取值范围

7、是（）a. 15,22ub. 1 5,2 2c. 31,22ud. 3 1,2 2【答案】 b 【解析】【分析】由题得函数( )f x 在(,0)上单调递减，且(2)3f，再根据函数的图象得到2232x，解不等式即得解 . 【详解】因为偶函数( )f x 在0,)上单调递增，且( 2)3f，所以( )f x 在(,0)上单调递减，且(2)3f，因为(23)3fx，所以2232x，所以1522x. 故选： b 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【10. 已知1(2, 1)p，2(0,5)p且点p在线段12pp的延长线上，1232ppppuuu

8、 ruuu r，则点p的坐标为（）a. (2, 7)b. 6 18,55c. ( 4,17)d. ( 2,11)【答案】 c 【解析】【分析】设( , )p x y，根据题意得出12(2,1),(,5)ppxyppxyu uu ruuu r，由1232ppppu uu ruu u r建立方程组求解即可. 【详解】设( ,)p x y，12(2,1),(,5)ppxyppxyuu uru uu r因为1232ppppuuu ru uu r，所以3(2,1)( ,5)2xyx y即32423171(5)2xxxyyy故选： c 【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 11. 已知函数

9、1221,0( )21,0 xxf xxxx，若关于x 的方程22( )(1)( )20fxmf xm有五个不同实根，则 m 的值是（）a. 0 或12b. 12c. 0d. 不存在【答案】 c 【解析】【分析】令( )tf x，做出( )f x 的图像， 根据图像确定至多存在两个t的值， 使得yt与( )yf x有五个交点时，t的值或取值范围，进而转为求方程22(1)20tmtm在t的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解. 【详解】做出( )f x 图像如下图所示：令( )tf x，方程22( )(1)( )20fxmf xm，为22(1)20tmtm，当0t时，方程( )t

10、f x没有实数解，当0t或1t时，方程( )tf x有 2 个实数解，当01t，方程有4 个实数解，当1t时，方程有3 个解，要使方程方程22( )(1)( )20fxmf xm有五个实根，则方程22(1)20tmtm有一根为 1，另一根为0 或大于 1，当1t时，有220,0mmm或12m，当0m时，20tt，0t或1t，满足题意，当12m时，231022tt，1t或12t，不合题意，所以0m. 故选 :c. 【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题. 12. 已知0，函数( )sin()4f xx在(,)2上单调递减，则

11、的取值范围是（）a. 1 5,2 4b. 1 3,2 4c. 1(0,2d. (0,2【答案】 a 【解析】【详解】由题意可得,322,22442kkkz，1542 ,24kk kz，0q，1524故 a 正确考点：三角函数单调性二、填空题（本题共4 小题，共 20分）13. 若1eu v，2eu u v是夹角为60的两个单位向量，则122aeeu vu u vr，22beru u v的夹角为 _ .【答案】30【解析】【分析】由题得|3ar，2| 2| 2beu rr，再利用向量的夹角公式求解即得解. 【详解】由题得1212| |2|1443aeee eu ru ru r u rr，2| 2

12、| 2beurr所以122(2) 233cos,22 32 3eeea bu ru ru rr r. 所以122aeeu ru u rr，22beu u rr的夹角为30. 故答案：30【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 已知 tan 2，32，则cossin_ .【答案】55【解析】【分析】由平方关系以及商数关系得出52 5cos,sin55，即可得出cossin. 【详解】由22sin tan 2cossincos1以及32得出52 5cos,sin5552 55cossin555故答案为：55【点睛】本题主

13、要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题. 15.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 =12（弦g矢+2矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“ 弦” 指圆弧所对弦长，“ 矢 ” 等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为23， 弦长等于9m的弧田 .按照上述经验公式计算所得弧田的面积是 _2m.【答案】27 32748. 【解析】【分析】如下图所示，在rt aoc中，求出半径,oa oc，即可求出结论. 【详解】设弧田的圆心为o，弦为ab，c为ab中点，连oc交弧为d，则ocab，所以矢长为cd，在rt aoc中，92ac

14、，3aoc，所以923 3sin3oa，13 33 3,222ocoacd，所以弧田的面积为22113 33 327 327()(9() )222248ab cdcd. 故答案为：2732748. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题. 16. 设函数2( )3f xxaxa，( )g xxa若不存在0 xr，使得00fx与00g x同时成立，则实数 a 的取值范围是 _ .【答案】36a. 【解析】【分析】当,( )0 xa g x恒成立，不存在0( ,)xa使得00fx与00g x同时成立，当xa时，( )0g x恒成立，则需xa时，(

15、)0f x恒成立，只需xa时，min( )0f x，对( )f x 的对称轴分类讨论，即可求解. 【详解】若xa时，( )0g x恒成立，不存在0 xr使得00fx与00g x同时成立，则xa时，( )0f x恒成立，即xa时，min( )0f x，2( )3f xxaxa对称轴为2ax，当2aa时，即min0,( )( )30af xf aa，解得30a，当2aa，即min0,( )af x为抛物线的顶点的纵坐标，min( )0f x，只需24(3)0,26aaa，06a. 若,( )0 xa g x恒成立，不存0( ,)xa使得00fx与00g x同时成立，综上，a的取值范围是36a. 故

16、答案为 :36a. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题. 三、解答题（本题共6 小题，计 70分）17. 已知2|8200px xx，非空集合|11sxmxm，若 s是 p 的子集，求m 的取值范围.【答案】0,3【解析】【分析】由28200 xx,， 解得210 x剟 根据非空集合|11sxmxm剟， s是 p的子集 ， 可得2 111011mmmm,，解得m范围【详解】 由28200 xx,，解得210 x剟 2p，10非空集合|11sxm xm剟又 s是 p 的子集 ，2 111011mmmm,，

17、解得03m剟m的取值范围是0 ， 3 【点睛】 本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平18.已知3sin ,cosax mxr，cos ,cosbxmxr，且fxa brr（1）求函数fx的解析式；（2）当,63x时，fx的最小值是4，求此时函数fx的最大值，并求出函数fx取得最大值时自变量x的值【答案】（1）21sin(2)62fxxm（2）5,26x【解析】试题分析： （ 1 ）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为sinfxax的形式；（2）由定义域,63x可得到x的范围，结合函数单调性求得

18、函数最值及对应的自变量值试题解析：（ 1）即22( )3 sincoscosf xxxxm23sin 21cos222xxm21sin(2)62xm（2）由,63x，52,666x，1sin(2),162x，211422m，2mmax15( )1422f x，此时，sin(2)=1,2=663626xxxx，且，考点： 1向量的数量积运算；2三角函数化简及三角函数性质19. 已知fx是定义在r上的奇函数，且当0 x时，2( )2f xxx. （1）求函数fx在r上的解析式；（2）若函数fx在区间 1,2a上单调递增，求实数a的取值范围 . 【答案】（1）222 ,02 ,0 xx xfxxx

19、x； （2）1,3【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性可得fxfx且00f；当0 x时，0 x，根据fxfx可求得fx，又0f满足22fxxx，可得分段函数解析式； （2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围. 【详解】（1）fxq是定义在r上的奇函数fxfx且00f当0 x时，0 x2222fxfxxxxx又0f满足22fxxx222 ,02 ,0 xx xfxxx x（2）由（ 1）可得fx图象如下图所示：fxq在区间 1,2a上单调递增121a，解得：1,3aa 的取值范围为：1,3【点睛】 本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求

20、解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限. 20. 已知函数( )sin()f xax0,0,|2a，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0 x，且方程( )f xm有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和.【答案】（1）( )2sin26f xx， （ 2）21m或12m；当( 2,1)m时，两根之和43；当(1,2)m）时，两根之和3【解析】【分析】（ 1）观察图象可得：2a，根据(0)1f求出，再根据11()012f可得=2可得 解;（2）如图所示 ，()2sin(2)16f 作 出 直 线ym 方 程( )f

21、xm 有 两 个 不 同 的 实 数 根 转 化 为 ： 函 数( )2sin(2)6f xx与函数ym图象交点的个数利用图象的对称性质即可得出【详解】（ 1）观察图象可得：2a，因为 f(0)=1,所以12sin1,sin, |,226q. 因为1111()0,2sin()012126f，由图象结合五点法可知，11(0)12，对应于函数y=sinx 的点(2,0)，所以112 ,2126( )2sin(2)6f xx（2）如图所示，()2sin(2)16f作出直线ym方程( )f xm有两个不同的实数根转化为：函数( )2sin(2)6f xx与函数ym图象交点的个数可知：当21m时，此时两

22、个函数图象有两个交点，关于直线23x对称，两根和为43当12m时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线6x对称，两根和为3.【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 某市有a，b两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，a俱乐部每张球台每小时 5 元，b俱乐部按月收费，一个月中30h以内（含30h）每张球台90 元，超过30h的部分每张球台每小时加收 2 元. 某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h，也不超过40h（1）设在a俱乐部租一 -张球台开展活动hx的收费为fx元15

23、4()0 x，在b俱乐部租一张球台开展活动hx的收费为g x元154()0 x，试求fx和g x的解析式；（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么 ?【答案】（1）51540fxxx90,1530,230,3040,xg xxx； （2）当1518x时，选择a俱乐部比较合算；当18x时，两家都一样；当1840 x时，选择b俱乐部比较合算. 【解析】【分析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式（2）比较( )f x 和( )g x的大小可得（可先解方程( )( )fxg x，然后确定不同范围内两个函数值的大小【详解】（ 1）由题意可得51540fxxx当1530 x时，90g x，当3040 x时

24、，90302230g xxx，90,1530,230,3040,xg xxx（2）当1518x时，7590fx，90g x，fxg x；当18x时，90fxg x；当1830 x时，90g x，而55 1890fxx，fxg x；当3040 x时，23024030110g xx，而5530 150fxx，fxg x.当1518x时，选择a俱乐部比较合算；当18x时，两家都一样；当1840 x时，选择b俱乐部比较合算。【点睛】本题考查函数的应用，考查分段函数模型的应用，属于基础题22. 设函数2( )|1|f xxxa，ar.（1）若方程( )3f xx在区间(1,2)上有解，求a 的取值范围 .（2）设2( )