2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文

1、8.7抛物线rJ考纲解读1”罕握牠劇的定丈、JL 何图比.标准方程仪商虹的几何性硕 J 范同.对称性.顷点.懈, 上能根据儿何杵威求扯值.利川她物线的定楚进行灵活转化.井能理附蠶形结合思恵，堂握樋物线附滴 皿应用.考向预测夙近I 年岛桥悄况来看本讲足高别啲，个热点内常 血测餌円年髙垮将芳物蹦勺宦乂唧用;III；2 抛物缕的 JL 何忖 氐贯直线与抛物线的何曽艾系厘抛物缎獅阳 1 或 XXI 也绽的综合号金.试 题以來观題開电式応现，屈屮档题型一H基础知识过关知识梳理1. 抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准

2、线.2. 抛物线的标准方程与几何性质y =y1= 2 Ar x1= 2py(0)(Q0)(p0)图形标准方程齐=(p0)2p的几何意义二焦点F到准线l的距离3顶点0)上一点P(x。，yo)到焦点F=, 0 的距离|PF| =Xo+号，也称为抛物线的焦半径.2aa(2)y=ax的焦点坐标为 4，0,准线方程为x=-.(3) 直线AB过抛物线y2= 2px(p0)的焦点，交抛物线于A(xi,yi),B(X2,y2)两点，如 图.4|AB| =X1+X2+p,Xi+X2yXX p，即当XiX2时，弦长取短为 2p.4弦长 A= snv(a为AB的倾斜角)-5以AB为直径的圆与准线相切.6焦点F对代B

3、在准线上射影的张角为 90 诊断自测1 概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在X轴上的抛物线，且其焦点坐标是弓，0 i，准线方程是 x ?.()(3) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4) 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线X2= 2ay(a 0)的通径长为 2a.()答案 (1)X(2)X(3)X(4)V2. 教材衍化1(1)(选修A1-叫组 T2)抛物线y=护护 0)的焦点坐标为()A.0，4 或0，4B.0，-4c.,歸碍，。答案 C2aF

4、 aa解析 把方程写成X=ay,若a0,则p= ?,焦点为F0, 4 ；若a0,则p= ?，开口向下，焦点为F0,a.故选 C.(2) (选修 A1 1P51例 4)若过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A. 8B. 16C. 32D. 64答案 B解析 由抛物线y2= 8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y=x 2,代入y2= 8x,得(x2)2= 8x,即X2 12x+ 4= 0，所以X1+X2= 12,弦长为X1+X2+p= 12+ 4= 16.故选 B.3. 小题热身yiy2=p2,X1X2=.41IBF1为定值p.52抛物线y2= 4x的焦点到

5、双曲线x2鲁=1 的渐近线的距离是（3B. JC. 1D. 3答案 B解析 由抛物线y2= 4x,有 2p= 4?p= 2,焦点坐标为（1,0）,双曲线的渐近线方程为y=x,不妨取其中一条J3xy= 0,由点到直线的距离公式， 有d=1护 丁 -鉴=罟.g 牡（-盯故选 B.（2）（2018 正定一模）如图，正方形ABCD正方形DEFG勺边长分别为a,b（a0）经过C, F两点，则；=_ .a（2016 浙江高考）若抛物线y2= 4x上的点M到焦点的距离为 10,则M到y轴A.答案 1+ 2a解析 IOD=b,故，a,F+b,b,C, F两点,-2a(a)=2px2,从而有I b=2p2+b,

6、ca=p,b2=ap+ 2bp,.22 也2 b=a+2ab，a-a1=0，又a1，题型 1 抛物线的定义及应用E经典题型血笑典例6的距离是7答案 9解析 设MX。,yo)，由抛物线方程知焦点F(1,0) 根据抛物线的定义得|MF=xo+1 =10,.Xo= 9,即点M到y轴的距离为 9.条件探究 1将典例条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若|AF= 3”，求厶AOB勺面积.解 焦点F(1,0)，设A,B分别在第一、四象限，则点A到准线I:x=- 1 的距离为 3, 得A的横坐标为 2,纵坐标为 2 2,AB的方程为y=22(x- 1)，与抛物线方程联立可得 2x25x+

7、2= 0,所以B的横坐标为 2，纵坐标为一2,SAAOB=- X1X(2 2 + 2)=.条件探究 2 将典例条件变为“在抛物线上找一点M使 IMA+ |MF最小，其中A(3,2) ” .求M点坐标及此时的最小值.解 如图，点A在抛物线y2= 4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA+ IMF= IMA+|MH,其中|MH为M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M,垂足为B,则 IMA+ IMF= |MA+ IMH丨AB= 4,当且仅当点M在M的位置时等号成立.此时M点的坐标为(1,2).方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1. 轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、

8、定直线距离有关的轨迹是否为抛 物线.见典例.2. 距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化.见条件探究2.3. 看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.冲关针对训练【方法占拨】抛物线定义法.8（2017 湖北二模）设F为抛物线y2= 4x的焦点，A B,C为该抛物线上三点， 若FA+FB+Fg0,则 |FA+ |FB+ |FC的值为()A. 3C. 9D. 12答案 B2解析 抛物线y= 4x焦点坐标为F(1,0)，准线方程x=- 1, 设A(xi,yi) ,B(X2,y2), g,ys)/FA+ F

9、B+ FC=0,=0，解得p= 2 或p= 8，抛物线方程为y2= 4x或y2= 16x.故选 C.典例2（2016 天津高考）设抛物线/=2：， 为I.过抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B设C|p, 0 ,AF与BC相交于点E.若|CF=2|AF|，且ACE的面积为3 迄，贝U p的值为_ .答案 .6B. 6点F是厶ABO心,xi+X2+xs-X1+X2+X3= 3.由抛物线的定义可知：IFA+ |FB+ |FQ= (X1+ 1) + (X2+ 1) + (X3+ 1) = 6, -1FA|+ |FE| + |FQ= 6,故选 B.题型 2 抛物线的标准方程及性质典例 1设抛物线C：y2=

10、 2px（p0）的焦点为F,点M在C上，|MF= 5,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()2 2B. y= 2x或y= 8xD. y2= 2x或y2= 16x本题采用待定系数法，列方程求解.答案 C解析p以MF为直径的圆过点（0,2），点M在第一象限.由|MF=XM+2 = 5 可得坐标恰好等于圆的半径，.圆与y轴切于点（t为参数，p0）的焦点为F,准线9解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y2= 2px(p0)，则|FC3=3p,.|AF TAB= 2P，不妨设A在第一象限，则A(p,Q2p) 易证EF3AEAB所以|EF|FC|FC十“ |AE1 小J 1

11、3 厂 V22厂两=両=两=2所以两=3，所以A3SAFC=3X2pX2p2p=3 2,所以p= .6.方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1 关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.见典例 1.2技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A B,交其准线I于点C,若|BQ= 2|BF，且|AF= 3,则此抛物线的方程为()答案 C解析 设A,B在准线上的射影分别为A,B,A. y2= 9xC. y2= 3x10由于|BQ= 2|BF= 2|BB|

12、，则直线I的斜率为（3,故 |AQ= 2|AA| = 6，从而 |BF= 1, |AB= 4,11故rAA|=|鬻=1,即P=3 从而抛物线的方程为3X,故选 C.2. （2018 河南洛阳统考）已知Fi,F2分别是双曲线 3x2-y2= 3a2（a0）的左、右焦点,P是抛物线y2= 8ax与双曲线的一个交点，若|PF| + | PR| = 12,则抛物线的准线方程为答案x=-22 2解析 将双曲线方程化为标准方程得 右-37= 1,可得F2（2a,0），又易知其也是抛物线.2 2、筠-3-1,的焦点，联立a3a?x= 3a,即点P的横坐标为 3a.而由y2= 8ax（2016 全国卷I）在直

13、角坐标系xOy中，直线I:y=t（t丰0）交y轴于点M交抛物线 C:y2= 2px（p0）于点P,M关于点P的对称点为N,连接Oh并延长交C于点H.除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.解(1)由已知得|PF| + |PF| = 12,*? | PH| = 6 a,|PF| |PF| = 2a11|PR| = 3a+ 2a=6-a,得a= 1,二抛物线的准线方程为x= - 2.题型 3角度 1直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的交点问题I多角探究:典例(1)求|OH|ON；再点接】本题采用方程组法.12M0,t), Pg,t.132又N为M关于点P的对称点，故N”,t，故ON勺方程

14、为y=:px,将其代入y2= 2px,22整理得px2 2t2X= 0,解得X1= 0,X2=岂,因此, 2t.所以N为OH的中点，即戻三=P,P丿1ON2.直线MHW C除H以外没有其他公共点.理由如下：直线MH的方程为yt= 2tx,旳2t即x=-p(yt).代入y2= 2px，得y2 4ty+ 4t2= 0,解得yi=y2= 2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MHf C没有其他公共点.角度1(2) JRF=yR+4m2t22 与抛物线弦中点有关的问题典例交抛物线(2018 郑州模拟)已知抛物线 C：y=mX(rr 0),焦点为F,直线 2xy+ 2 = 0(1)C于A

15、,B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q求抛物线C的焦点坐标；若抛物线C上有一点F(XR,2)到焦点F的距离为 3,求此时m的值； 是否存在实数使厶ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值;14若不存在，请说明理由.1 12+研3得m=4.y=mx,2Xy+ 2= 0,2消去y得 mx2X2 = 0,2i依题意，有 = ( 2)24XmX ( 2) 0? m 设A(xi,mX),B(X2,mX),(2X1+X2=m则I2X1X2=m解(1)抛物线c：它的焦点F0,人(3)存在，联立方程(*)/ P是线段AB的中点,mX+mX即P1,Qm m)得3A= X.X

16、1-m121X2mmxm，15(1 1(1 而 2 -,+s , 2?2，.存在实数m=2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. 方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦 点，可直接使用公式|AB=X1+X2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2涉及抛物线的弦长、 中点、 距离等相关问题时， 一般利用根与系数的关系采用“设 而不求” “整体代入”等解法见角度 2 典例.冲关针对训练2已知点F为抛物线E：y= 2px(p0)的焦点，点A(2 ,m在抛物线E上，且|AF= 3.(1) 求抛物线E的方程；(2) 已知

17、点q 1,0)，延长AF交抛物线E于点B,证明：以点F为圆心且与直线GA相 切的圆，必与直线GB相切.解(1)由抛物线的定义得|AF| = 2 + 2.p因为 |AF= 3，即 2 + - = 3,解得p= 2,所以抛物线E的方程为y2= 4x.证明：因为点A(2 ,m在抛物线E：y2= 4x上, 所以m=22.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2 - 2).若存在实数m使厶ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA QB=0,即X1结合(*)2即 2m 3m-2 = 0,1 m= 2 或 m= 2,m+4=，1= o,m16由A(2,22) ,F(1,0)可得直线AF的方程为y= 2 2(x

18、1).由卩22(x- 1)得 2x2 5X+ 2 = 0,y= 4x,又 Q 1,0),所以kGQ=空,kGB一 口,所以kGA+kGB= 0，从而/AGF=ZBGF这表明点F到直线GA GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.题型 4 抛物线中的最值问题典例 1（2017 成都四模）如图所示点F是抛物线y2= 8x的焦点，点A,B分别在抛物线y2= 8x及圆x2+y2 4x 12= 0 的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是（）A. (6,10)C. 6,8冠点祓】利用抛物线定义，圆的半径及AB长表示出厶FAB的周长为XB+6,再确定XB

19、的范围即可.答案 B解析抛物线的准线I:x= 2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF| =XA+2, 圆(x 2)2+y2= 16 的圆心为(2,0)，半径为 4,FAB的周长=|AF+ |AB| + |BF=XA+2+ (XBXA)+ 4= 6 +XB.由抛物线y2= 8x及圆(x 2)2+y2= 16 可得交点的横坐标为 2,二XB(2,6), 6+XB(8,12).故选 B.解得x= 2 或x= 2 从而17抛物线y=x2上的点到直线 4x+ 3y 8= 0 的距离的最小值是4答案 3解析 如图，设与直线 4x+ 3y 8= 0 平行且与抛物线y= x2相切的直线为 3x+ 3y+

20、b4消去y整理得 3x2 4xb= 0,贝U = 16+ 12b= 0，解得b= 3,所以切线方程为 4x342一+ 3y 3= 0,抛物线y= x上的点到直线 4x+ 3y 8= 0 的距离的最小值是这两条平行线间的距离d=-一=-.53方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决.注意“定义转化法”（典例 1），“平移直线法”（典例 2）.冲关针对训练（2017 浙江模拟）已知F为抛物线 4y2=x的焦点，点A, B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若OA-OB=15（0为原点），则ABOWAFO的面积之和的最小值为（）【方法点拨】平移直线法.=0，切线方程与抛

21、物线方程联立得4x+ 3y+b= 0,18答案 D19解析 设直线AB的方程为：x=ty+m A(xi,yi),B(X2,y2), 直线AB与x轴的交点为M m,0),4y2=x,2可得 4ytym= 0,x=ty+m,根据韦达定理有屮y2=-4 OA OB=15 ,.xiX2+yiy= 15,从而 16(yiy2)+yiy15= 0. 亠 15.-yiy2=1或yiy2=厉点A B位于x轴的两侧,yiy= 1，故 m= 4.不妨令点A在x轴上方，则yi0,又F箱，0 ,111652.&AB卄SAFO=2X4X(yiy2)+尹存1=身+y65yi2 =遁32yi= 2 ,当且仅当652

22、8 6535yi=开即yi=6 了时，取=号，ABC与AFO面积之和的最小值是 乎,故选 D.S真题模拟河关1.（2016 全国卷I）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A,B两点，交C的准线于 D,E两点已知|AB=4&, |DE=2 窃，贝U C的焦点到准线的距离为（）A. 2B. 4C. 6答案 BD. 82021解析 不妨设C y2= 2px（p0）,心,2 述），则刘/警汇p,由题意可知 I0A= |OtD, 得 $）+ 8 =$）+ 5,解得p= 4.故选 B.2. （2015 浙江高考）如图，设抛物线y2= 4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个 不同的点A, B, C,

23、其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF-与ACF勺面积之比 是（）1力0XBIBF2-1B.|AF2-1 cIBF2+ 1 D.|AF2+1答案 A解析 过A,B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M N,则|AM= |AF| 1, |BN= |BF-1.3. （2017 全国卷n）已知F是抛物线C: y2= 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线 交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN =_.答案 6解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准 线的垂线，垂足为点B,交y轴于点P,AIBF1.|AF- 1CIBF+1C. |AF+ 11S2 CBCFsin/

24、BCF|CB可知F=2=LCBSACF1|CA2 CA丨CF sin /BCF1|BN|AM|BF-1|AF-1,故选 A.22 PM/ OF由题意知，F(2,0) , |FO= |AO= 2.点M为FN的中点，PM OF1 IMP= 2IFO= 1.又|BP= |AQ= 2, |MB= |MP+ |BP= 3.由抛物线的定义知|MF= |MB= 3,故 |FN= 2|MF= 6.4. (2018 河北六校模拟)抛物线 C:y2= 2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点，过点Q F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36n，则抛物线的方程为 _ .答案y2= 16x解析 设满足题意的圆的

25、圆心为M根据题意可知圆心M在抛物线上，又圆的面积为 36n,圆的半径为 6,则 |MF=XM+ 2= 6, 即即XM=6 2,ppp又由题意可知XM=，二=6 ;,解得p= 8.442抛物线方程为y2= 16x.0课后件业夯笑重点保分两级优选练A 级一、选择题1. (2017 皖北协作区联考)已知抛物线C: x2= 2py(p0),若直线y= 2x被抛物线所截 弦长为 4 5，则抛物线C的方程为()22A. x= 8yB. x= 4y22C. x= 2yD. x=y2392 八，16= 0.设A(xi,yi) ,B(X2,y2)，由根-21213,与系数的关系得X1+X2=，由抛物线的定义可得

26、|AB=X1+X2+P=2 +2=12.故选 C.23.(2018 广东广州模拟)如果P1,F2,，Pn是抛物线C: y= 4x上的点，它们的横坐 标依次为X1,X2,，Xn,F是抛物线C的焦点，若X1+X2+Xn= 10,则|RF| + IP2FI + + IPnF|=()A.n+ 10B.n+ 20C. 2n+ 10D. 2n+ 20答案 A解析 由抛物线的方程y2= 4x可知其焦点为(1,0)，准线为x= 1，由抛物线的定义可 知| RF| =X1+ 1, | RF| =X2+ 1,，|PnF| =Xn+ 1，所以 |PF+ | RF| + |PiF| =X1+ 1 +X2+ 1+Xn+

27、 1 =(X1+X2+Xn) +门=门+ 10.故选 A.4.(2017 江西赣州二模)抛物线C: y2= 2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点，贝Up的值 为()A. 1B. 2C. 3答案 BXo+ 2= 2X0,1p彳&OAF= 2 2 y=1X0=p,答案 Cx2= 2py,解析由iy= 2x,则 P(4p2 + (8pj= 4 半，得p= 1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2= 2y.故选 C.2. (2014 全国卷n)设F为抛物线C: y2= 3x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A

28、, B两点，则|AB=()A 亶A.3得心0,y= 0 x= 4p,_或 v即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),y= 8p,B.C. 12答案 CD. 7.3解析抛物线C:y2= 3x的焦点为F4，0 ,所以AB所在的直线方程为y=g x 4 ,2 221y= 3x，D. 4解析不妨设A(X0,yo)在第一象限，由题意可知将y=-4 代入24y0=p,i716又点A的抛物线y2= 2px上，頁=2px2，即p3 4= 16，又Tp0,.p=F的直线交抛物线于AB两点，交抛物线的准线于点C,若|AF= 6,BC=入FB(入 0)，则A.3C. 3D. 3答案 D解析设A(xi,yi),B(

29、X2,y2),C( 2,y3),则Xi+ 2= 6,解得xi= 4,yi=42，点A(4,42),则直线AB的方程为y= 2 2(x 2),令X= 2,得 a 2, 8 2),八 8x,厂联立方程组厂解得B(i , 2 J2),斜=2 麻2所以 |BF| = i + 2= 3 , |BC= 9,所以入=3.故选 D.6. (2017 抚顺一模)已知点P是抛物线y2= 4x上的动点，设点P到此抛物线的准线 的距离为di,到直线x+y 4 = 0 的距离为d2,贝Udi+d2的最小值为()A. 2B. 25 c.22答案D解析点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y 4= 0

30、的垂线,此时di+d2最小，F( i,0),则di+d2=边一-2-.故选 D.“ 2ix7. (20i8 北京东城区期末)已知抛物线C:y= 2px2(p0)的焦点与双曲线C2: y2=i 的右焦点的连线交C于第一象限的点M若C在点M处的切线平行于Q的一条渐近线,C.答案 D二A2,p，2,故选 B.5.过抛物线2y= 8x的焦点入的值为()B.2D.解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为所以两个焦点连线的直线方程为py= ；(x 2).设Mxo,y。),则有yiXo=p_3x0=双曲线焦点坐标为(2,0),26则p=()心i6BF27p.因为yo= 2px0,所以yo= 又M点在直线

31、y= 4(x 2)上，即有 6= 33p_ 2 ?,故选 D.2x&(2018 河北邯郸调研)已知Mxo,yo)是曲线C: -y= 0 上的一点，F是曲线C的x21所以有 0V V2 又X0M0,解得一 1vX0v0 或 0vX0v1,故 )已知抛物线C: y2= 2px(p0)上一点(5 ,m)到焦点的距离为 6,P, Q分别为抛物线C与圆M(x 6)2+y2= 1 上的动点，当|PQ取得最小值时，向量PQS x轴正方向上的投影为(A. 2 5)B. 2 5 1答案 A解析 因为 6= |+ 5,所以p= 2，所以抛物线C的方程为y2= 4x.设P(x,y)，则 |PM =j(x 6

32、 行y2=寸(x 62+ 4x = p(x 4j+ 20，可知当x= 4 时，|PQ取得最小值，最小值为.20 1 = 2 5 1，此时不妨取P点的坐标为(4 , 4)，则直线1_SPM的斜率为 2,即 tan /PM= 2,所以 cos /PM=-,故当|PQ取得最小值时，向量PQ在x轴正方向上的投影为(2 5 1) cos/PM= 2 卡.故选 A.210. (2018 湖北七市联考)过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F的直线与双曲线X2卷=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A, B两点，若|AF|BF，且|AF= 2，则抛物线的方程为()22A. y= 2xB. y= 3x22C. y=

33、 4xD. y=x答案 A焦点，过M作x轴的垂线,A. (1,0)U(0,1)C. (0,1)答案 A垂足为N,若MFSv0,B.D.则X。的取值范围是()(1,0)解析由题意知曲线为抛物线，其方程为X2= 2y，所以F0,1，根据题意可知,k2丿N(xo,0),xo工 0, MF=X。,MN=(0，y。)，所以y0,即卩0vy0V1,因为点M在抛物线上,选 A.9. (2017 山西五校联考C.1-21D. 21 10282解析 由双曲线方程X2 3 = 1 知其渐近线方程为y=3x ,过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为土 3，不妨取kAB= 3，则其倾斜角为 60,即/AFx=

34、 60.过A作ANILx轴，垂足为N由|AF= 2,得|FN| = 1.过A作AML准线I，垂足为M,则 IAM=p+ 1.由抛物线的定义知，|AM= | AFJ, p+1 = 2, p= 1,.抛物线的方程为y2= 2x, 故选 A.二、填空题11. (2017 河南新乡二模)已知点A(1 ,y1),B(9 ,y是抛物线y2= 2px(p0)上的两点，y2y10,点F是抛物线的焦点，若 IBF= 5|AF，则y2+y的值为_ .答案 10解析 由抛物线的定义可知，9+ 2=+ 2j,解得p= 2，抛物线方程为y2= 4x,又TA,B两点在抛物线上，y1= 2,y2= 6,.y1+y2= 2

35、+ 6 = 10.12.(2017 湖南岳阳二模)直线 3x 4y+ 4 = 0 与抛物线x2= 4y和圆x2+ (y 1)2= 1 从|CD左至右的交点依次为A B, C, D,则祐的值为_ .答案 16解析 如图所示，抛物线x2= 4y的焦点为F(0,1)，直线 3x4y+ 4= 0 过点(0,1)，由f 2x= 4y,3x 4y+4 = 0,217得 4y 17y+ 4= 0，设A(X1,y,D(X2,朴，则y1+y2=,y1y2= 1,292 22y x13. (2017 河南安阳二模)已知抛物线C：y=ax(a0)的焦点F也是椭圆C2：彳+習=1(b0)的一个焦点，点M P3, 1

36、分别为曲线C, O上的点，则 IMP+ |MF的最小值为幺J答案2解析2 2将P2， 1 代入 4 +孑一 1，可得 4+ 4孑一 1，b 3,c 1，抛物线的焦点F为(0,1),抛物线C的方程为x2 4y,准线为直线y 1，设点M在准线上的射影为D,根据抛物线的定义可知 IMF= |MD ,要求 IMP+ IMF的最小值，即求 IMP+ IMD的最小值， 易知当 D,M P三点共线时，IMP+ IMD最小，最小值为 1 -( 1) = 2.14. (2017 河北衡水中学调研)已知抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F,过F的直线I与抛物线交于A,B两点，且|AF= 4|FB| ,O为坐标原

37、点，若厶AOB勺面积为|，则p=_答案 1解析 易知抛物线y2= 2px的焦点F的坐标为g,0 准线为x=号，不妨设点A在x轴上方，如图，过代B作准线的垂线AA,BB,垂足分别为A,B,过点B作BFUAA，交AA于H,则 |BB| = |AH,设 IFB=t，则 IAF= |AAI = 4t, IAH= IAAI |AH= 3t,3又 |AB= 5t,在 Rt ABH中, cos /HAB=?544 ( p tan /HAB=3,则可得直线AB的方程为y= 3x-.= 4 ixP由 * 3v2，得 8x2 17px+ 2p2= 0,2八!y= 2px,1|CD解得屮=4,y2= 4,则=|FD

38、 1 = |AF 1 =y2+1 1= 16y1+ 1 130设A(X1,y1) ,B(X2,y2),1725则 |AB=X1+X2+p= yp+P=P,31p42易知点O到直线AB的距离为d=|OF sin /A AB=x =-p.255212525p5.SXAOB=X pX -p =28582 p= 1,又p0,.p= 1.8三、解答题15. (2017 泰安模拟)已知抛物线C：y2= 2px(p0)的焦点为 =x的一个交点的横坐标为8.(1) 求抛物线C的方程；(2) 不过原点的直线I2与I1垂直，且与抛物线交于不同的两点 为P,且|OP= |PB，求FAB的面积.解(1)易知直线与抛物

39、线的交点坐标为F,抛物线C与直线I仁yA B,若线段AB的中点(8 , 8),y2= 8x.11垂直，故可设直线12：x=y+m A(X1,y,( 8)2= 2px8,二 2p= 8，抛物线方程为(2)直线|2与轴的交点为M广2介由 / =X,x=y+mB(x2,y2)，且直线12与x得y2- 8y 8m= 0, = 64 + 32m0,1+y2= 8,y1y2= 8m2 2丫学2X1X2=m.64由题意可知OALOB m= 8或rn=0(舍),2即X1X2+y1y2=m 8m= 0,直线l2：x=y+ 8,M8,0)._ 1216. (2016 浙江高考)如图，设抛物线y2= 2px(p0)

40、的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF 1.故SAFAB=SAFMB+SAFMA= I FM ) y1y2|= 3(y1+y2j4小=25.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交3233于点N, AN与x轴交于点M求M的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=- 1 的距离，由抛物线的定义得p= 1,即p= 2.由得，抛物线方程为y2= 4x,F(1,0)，可设A(t2, 2t) ,t丰0,t工土 1.34因为AF不垂直于y轴，可设直线AF: x=sy+ 1(s*0)，由y2= 4x,x=sy+ 1消去x,得y2-4sy- 4 = 0,4 IL-t.2tt2- 1又直线AB的斜率为辽亍，故直线FN的斜率为-