2019年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式学案文北师大版

1、第二节基本不等式考纲传真1. 了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.双基自主测评I（对应学生用书第 81 页）基础知识填充4函数f(x) = cosx+祜,x 0，n的最小值等于 4.（x0,y0 是y+y2的充要条件.（）1.a+b基本不等式，abw2 厂（1）基本不等式成立的条件:a0,b0.等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.a+bj（3） 称为正数a,b的算术平均数.，ab称为正数b的几何平均数.2. 几个重要的不等式（1）a2+b22ab（a,b R 当且仅当a=b时，取等号b aa+2（a，b同号且不为零，当且仅当a=b时，取等号）3.1.(3

2、)ab0,y0,则2 .p（简记：积定和最小）.（1）如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是；（简记：和定积最大）.基本能力自测（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）函数y=x+1 的最小值是 2.（X2若a0,则a3+占的最小值为 2 ,a.（）a答案(1)X(2)X(3)X(4)X32若a,b R,且ab0,则下列不等式中，恒成立的是()A.a2+b22abB. a+b2abb aD.+2a b222D va+b-2ab= (ab) 0,. A 错误；对于 B, C,当a0,b0,1

3、时，x20,f(x)=(x2)+x2+22仅当x-2 =x 2(x2) ，即x= 3 时取等号，即当f(x)取得最小值时，x= 3，即a= 3,选 C.z/pQ(教材改编)若把总长为 20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是2【导学号：00090198】25 设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为y,1则另一边为 2X(20 2x) = (10 x)m,nx + 10 x j2则y=x(10 x) w - -1= 25,3.(2018 福州模拟)若直线X+y= 1(a0,b0)过点(1,1)a b-，则a+b的最小值等于A.B.C.D.x y因为直线尹丁1(a0,b0)过点()1

4、1，所以-+- = 1.所以a+b= (a+b) a bO1 1a+b4.a b=2+b+a2+2：a=4,当且仅当a=b=2时取“=”，故选若函数f(x)=x+丄 J(x2)在x=a处取最小值，则a等于()X 2A.C.1+ 23B. 1+;3D. 4当x2. 1xXx 2+2=4,当且b a:a+b2ab4当且仅当x= 10 x, 即卩x= 5 时，yma= 25.型分类突破I(对应学生用书第 81 页)庞型 ii直接法或配凑法求最值1 2I(1)(2015 湖南高考)若实数a, b满足-+-=ab,则ab的最小值为()a b *A.2B. 2C. 2 2D. 451(2)已知XV：则f(

5、x) = 4x 2 + _的最大值为44x 5-(1)C (2)1 (1)由1+ |/ab知a0,b0,所以融=1+即卩ab2 迄,1 2_ = _a_b，44当且仅当即a=2,b= 2 2 时取“=”，所以ab的最小值为 2.2.a+b=ab，5(2)因为XV4，所以 5 4x 0,则f(x) =4x2+去=$4X+ 5xj+ 3 一2寸!5 4XI是+3=2+3=1.1当且仅当 5 4x= 5x，即x= 1 时，等号成立.1故f(x) = 4x 2+ 4x5 的最大值为 1.规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定” “三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指

6、应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.1 一变式训练 1 (1)若函数f(x) =x+(x2)在x=a处取最小值，则a等于()x 2A. 1 + 2B. 1+ . 3C. 3D. 4x(2)(2018 平顶山模拟)若对于任意的x 0,不等式2丄3丄 q 5Ba56=3,选 C.2 1聖 （1）（2018 河北“五个一名校联盟”模拟）已知正实数x,y满足 2x+y= 2,则-+-x y的最小值为2（2018 郑州模拟）已知正数 x,y满足x+ 2xy 3 =

7、 0,则 2x+y的最小值是【导学号：00090199】219才严小值为 2.丄2/口 3x31313x3 由x+2xy3=0得y=2x=2x尹,则 2x+y=2x+以-只=+以2=3,当且仅当x= 1 时，等号成立，所以 2x+y的最小值为 3.规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形， 利用常数代 换的方法构造和或积为常数的式子， 然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本 不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示：（1）利用基本不等式求最值， 一定要注意应用条件；（2）尽量避免

8、多次使用基本C. av15(1)C (2)A (1)1当x2 时，x 2 0,f(x) = (x 2) + 22x 21x Xx2+ 2= 4,当且仅当x 2= -（x2），即x= 3 时取等号，即当f（x）取得最小值时，即ax2由 x ，得1当且仅当x= 1 时，等号成立.则51a ，故选 A.5(1)2(2)3小 211则 x+y=2(2x+y)b+y 丿(1) 正实数x,y满足 2x+y= 2,.2,12y2x1 + .-x y2A92，当且仅当x=y=7时取等号.232x77常数代换法或消元法求最值5+2X32x7不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.88 2变式训练

9、2(1)已知x0,y 0 且x+y= 1，则-+ -的最小值为 _ .xy(2)(2018 淮北模拟)已知正数x,y满足x+ 2yxy= 0,则x+ 2y的最小值为()A. 8B. 4C. 2D. 0(1)18(2)A 因为x 0,y0,且x+y= 1,所以8+2= -+2(x+y)x y収y.v8y2x2=10+10+ 2 = 18,x y、x y8y2x当且仅当 丄=，即x= 2y时等号成立，x y2 18 2所以当x= ,y=T时，-+ -有最小值 18.3 3x y2 1法一：(常数代换法)由x+ 2yxy= 0，得-+-= 1,且x0,y0.x yi2 14y x x+ 2y= (x

10、+ 2y) Xj +- =+- + 44+ 4= 8.x yxy1(不等式法)由x 0,y0 得x+ 2y=xyw-2即(x+2y)8(x+2y)0解得x+ 2y8或x+ 2yW0(舍去)从而x+ 2y的最小值为 8.低删.基本不等式的实际应用创运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50Wxw100(单rx2位：千米/时)假设汽油的价格是每升2 元，而汽车每小时耗油2+ 360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；(2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值【导学号：00090200】9所以这次行车总费用y

11、关于x的表达式是(1)设所用时间为130t= H)，空X2X乂+14X360130 x50,100.10最大车流量F为 1 900 辆/时.100当且仅当v=即v=10时取最大车流量比（1）中的最大车流量增加2 000 1 900 = 100 辆/时.y= 308+ 嶋 3x,x50, 100.(或y=警+ 第,x50, 100).130X182X130y=r+右X26130X182X130当且仅当厂x,即x= 18 10,等号成立.8 分故当x= 18 10 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10 元.12 分Cj规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.变式训练 3某项研究表明：在考虑行车安全的情况下， 某路段车流量F（单位时间内经过 一76 000v平均车长H单位：米）的值有关，其公式为F=v2+18v+ 20|.（1）如果不限定车型，I= 6.05，则最大车流量为V 7辆/时;如果限定车型，I = 5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加【导学号：00090201】76 00