07第七讲二次函数的最值问题

1、第七讲二次函数的最值问题二次函数y =ax2bx c ( a = 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量X取任意实数时的最值情况( (当a 0时,2函数在Xb处取得最小值4acb，无最大值；当a:：0时，函数在Xb处取得2a4a2a最大值4aC_，无最小值.4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.2【例 1 1】当-2 _ x _ 2时，求函数y = X - 2x - 3的最大值和最小值.分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最

2、低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.解：作出函数的图象.当x =1时,min= -4，当X = -2时，ymax二5.【例 2 2】 当1空X乞2时， 求函数y2=-x - x 1的最大值和最小值.解：作出函数的图象.当x =1时,min= -1，当X =2时，ymax二 一5.由上述两例可以看到， 二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置,些常见情况:【例 3 3】当x一0时，求函数y = -x(2 X)的取值范围.解：作出函数y二-x(2 -X)2=

3、x -2x在X-0内的图象.可以看出：当x =1时，ymin-_1，无最大值.函数在所给自变量X的范围的图象形状各异. 下面给出所以，当X _0时，函数的取值范围是y _ -115【例 4 4】当t_X_t，1时，求函数yX?-X的最小值( (其中t为常数) ).22分析：由于X所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置.125解：函数yX- X的对称轴为X =1.画出其草图.22195(1)当对称轴在所给范围左侧即t 1时： 当X=t时，ymint2-t-22(2)当对称轴在所给范围之间即t乞1辽t *1= 0乞t乞1时：125当X=1时，ymin1 -13；22(

4、3)当对称轴在所给范围右侧即t= t : 0时：12512当X 1时，ymin(t 1)2(t 1)一勺二qt23.12t 3,t 1.22在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5 5】某商场以每件 3030 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m( (件) )与每件的销售价X(元) )满足一次函数m = 162 - 3x,30岂x乞54.(1)(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价X之间的函数关系式；(2)(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？解：(1)(1)由已知得每件商品的销售利润为

5、(x-30)元，那么m件的销售利润为y二m(x30)，又m =1623x.y =(x -30)(162 -3x) =3x2252x - 4860,30空x乞54由(1)(1)知对称轴为x = 42，位于X的范围内，另抛物线开口向下2当x=42时，ymax =一3 42252 42 -4860 =432A A 组21 1 抛物线y = x (m 4)x+2m3，当m= =_时，图象的顶点在y轴上；当m= =_时，图象的顶点在x轴上；当m =_时，图象过原点.2.2.用一长度为丨米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为_ .3.3. 求下列二次函数的最值：2(1)(1)y = 2x

6、-4x 5；(2)(2)y=(1-x)(x 2).24.4.求二次函数y = 2x -3x 5在-2乞x乞2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.25.5.对于函数y =2x 4x -3，当x_0时，求y的取值范围.6 6 .求函数y = 3 - 5x - 3x2- 2的最大值和最小值.2 27 7.已知关于x的函数y = x (2t 1)x t -1,当t取何值时，y的最小值为 0 0?B B 组21 1 .已知关于x的函数y = x 2ax 2在-5_x_5上.(1)(1) 当 a a - - -1-1 时，求函数的最大值和最小值；(2)(2) 当a为实数时，求函数的最大值.22 2.函数

7、y二x 2x 3在m岂x乞0上的最大值为 3 3，最小值为 2 2，求m的取值范围.23 3.设a 0，当-1x汨时，函数y=-x - ax b 1的最小值是-4，最大值是 0 0，求a,b的值.当每件商品的售价定为4242 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432432 元.24 4.已知函数y=x 2ax 1在-1空x空2上的最大值为 4 4，求a的值.25 5.求关于x的二次函数y = x - 2tx 1在-1乞x乞1上的最大值( (t为常数) )A A组3l224 41414 或 2 2,2 2.m216(1)(1)有最小值 3 3,无最大值；(2)(2)有最大值94无最小值.331当x时，ymin； i ix - -2时，ymax=19.5732、当X时，ymin=3；当X或 1 1 时，ymax= 3.6635当t时，ymin二0.4B B 组(1)(1)当X =1时，ymin =1；当X = -5时，max= 37.当a一0时，ymax=2710a；当a 0时，ymax=27 -10a.-2乞m _ -1.a =2,-2.a或a