大学高等数学(文科)复习重点教学文案

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除第一章 预备知识一、定义域1.已知 f ( x)的定义域为 (,0) ，求 f (ln x)的定义域。答案： (0,1)2.求 f ( x)x33x2x3 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。x2x6答案：,33,22,二、判断两个函数是否相同？1.f (x)lg x2 ， g( x)2lg x 是否表示同一函数？答案：否2. 下列各题中， f ( x) 和 g( x) 是否相同？答案：都不相同(1) f ( x)x21 , g (x)x 1x1(2)f ( x)x, g( x)sinarcsin x(3)f ( x)x, g( x)e

2、ln x三、奇偶性1.判断 f ( x)exe x的奇偶性。答案：奇函数2四、有界性x D ,K0，使 f (x)K ，则 f (x)在 D上有界。有界函数既有上界，又有下界。1.f ( x)ln( x 1) 在 (1,2)内是否有界？答案：无界2.yx2是否有界？答案：有界，因为x21x2x211五、周期性1. 下列哪个不是周期函数（ C）。A ysinx,0B y2C yx tan xD ysin xcos x注意： yC是周期函数，但它没有最小正周期。六、复合函数1. 已知 f (x) ，求 f ( x)例：已知 f1x 1 x2 , ( x 0) ，求 f ( x)x解 1：word可

3、编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1111fxx 1x2111x2 1xf (x)11x21x解 2：令 1y， x1， f ( y)111 ， f ( x)1111 1x21xyyy2xx2x11112222.设 fxxxx2，求 f (x)提示： xx2xx23.设 f (sin x)cos 2x 1，求 f (cos x) 提示：先求出f ( x)4.设 f (sin 2 x)cos2xtan2 x，求 f (x) 提示： f (sin 2 x)12sin 2 xsin2 x1sin 2 x七、函数图形熟记 yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yar

4、c cot x的函数图形。第二章 极限与连续八、重要概念1. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。九、无穷小的比较1. x0时，下列哪个与x 是等价无穷小（A ）。A tanxB sin x xC sin x xD 3x2十、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。lim arctan x0 ， lim x cos x1 ， lim 1 sin x0 ， lim x2 sin 10 ， lim x cos2x0xxxxxxx 0xx1 x2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例

5、如： lim3x2232提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。x4x3x54word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3. 出现根号，首先想到有理化limx2xlim20xxx 2x121x1x1x3x 23lim3 xlimx1 x2x 1 1x 1 1补充练习：（ 1） limn1nn3x1x（2） lim2nx 1x1（ 3） limx 2x1x（4） lim xx21xxx（ 5） lim1tan x1 sin x3x0x4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限例： lim x2sin1lim sin1x21xxx2x1x1x(2x 1)2x作业： P497 （

6、 1） （ 3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例： lim x21x22x2 12 x22x2 12lim 1e2x2xx1x1作业： P497 （4） （6）6.0、 0、 00、 1、0，可以使用洛必达法则0作业： P995 （ 1） （ 8）7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例： lim1x2dtsin x21x3sin tlim3x 00x 0 3x2补充练习：sin xarcsintdtx t2（ 1） lim0（ 2） lim0edtxsin xxx0x 0x2x1sin t 2dtet dt（ 3）lim0

7、（ ）lim1xx04x1t 2 sin t 3dtx 10十一、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。分段函数可能的间断点是区间的分界点。word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除若 lim f ( x)f ( x0 ) ，则 f ( x)在 x0处连续，否则间断。x x0第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。exe x20 在 x1.设 f ( x)x2,x0 处连续，求 k?k,x0解： lim f ( x)lim exe2x2lim exe xli

8、m ex2e x1x 0x0xx 02 xx 0f (x) 在 x0处连续，k12.作业： P494、 10P5011、 123. 补充练习：1（ 1）研究函数的连续性：f (x)x21（ 2）确定常数a, b ，使下列函数连续：exx0x2f (x)x0， f ( x)x aa xx1x20x11x 1， f (x)1x2x12 xln 13x0bxxx0f ( x)2x0x，0sin axx0x（ 3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：22x1x1yx4, yx, ycos3 52, y5xx1x5x6sin xx4十二、闭区间上连续函数的性质零点定理： f ( x)在 a, b上连续，

9、且 f ( a)f (b) 0 ，则在 (a, b)内至少存在一点，使得 f ( ) 01. 补充练习：（ 1）证明方程 xsin x2 至少有一个不超过3 的正实根。（ 2）证明方程 x53x10 在 (1,2) 内至少有一个实根。（ 3）证明方程 xex2在 (0, 2) 内至少有一个实根。（ 4）证明方程 x 3x2至少有一个小于 1 的正根。第三章 导数与微分十三、重要概念1. 可导必连续，但连续不一定可导。word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2. 可导必可微，可微必可导。3. 函数在 x x0 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。十四、导数的定义作业： P75

10、2十五、对于分段函数，讨论分界点是否可导？例： f ( x)x在 x0 处，连续但不可导1. 作业： P75 4、 52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数x2x0答案：在 x0 处连续、不可导f (x)x0x1x0x arctan0f (x)x答案：在 x处连续、不可导0x0sin( x1)x1f (x)x11答案：在 x处不连续、不可导0x13. 设 f ( x)axbx0在 x 0 处连续且可导，a, b 应取什么值？cosxx，为使 f ( x)0答案： a0, b1十六、求导数1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数作业： P75 6、 102. 利用对数求导法求导数作业：

11、P76133. 求隐函数的导数作业： P76 124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业： P76 145. 求高阶导数作业： P75116. 求切线方程、法线方程1利用导数求出切线的斜率k ，则法线的斜率为kword可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例：求曲线y xcos x 在 x处的切线方程。2解： y ' 1sin x切线斜率 k y '2 ，切线经过点2,22x切线方程：y2 x22作业： P7537. 求变上限函数的导数作业： P156 4十七、求微分yf ( x), dyf '( x) dx1.yln 1 x， dyy ' dx111x

12、 2x2 xx12.yx arctan x1 ln(1x2 ) ln 3，求 dy2解：y 'arctan xx2xx2arctanx12(1 x2 )dyarctanxdx作业： P7615十八、利用微分进行近似计算公式： fx0xfx0f ' x0x作业： P7616第四章 中值定理与导数的应用十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理：设 fx在 a, b上连续，在 a,b内可导，则在 a, b内至少存在一点，使得fbf af 'baf x （ 2）叙述函数f x 满足定理条件证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数（3）根据定理证明出不等式。1. 作业： P99 4

13、word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2. 补充练习：证明下列不等式：（ 1）当 a b0 时， 3b2 a b a3b33a2 a b（ 2） arctanaarctanb a b（ 3）当 x1时， exxe二十、单调性与极值1. 单调性：（ 1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点）（ 2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论f ' x在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间作业： P9962. 极值：（ 1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）（ 2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 f ' x在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值例：

14、确定 f ( x)2x8的单调区间及极值点x作业： P1009二十一、求闭区间上连续函数的最值步骤：（ 1）求出所有可能的极值点（2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值（3）上述各值中最大的为max，最小的为min作业： P10010 （ 1）二十二、最值的应用问题步骤：（ 1）写出目标函数f x（ 2）求出可能的极值点 x0（应用问题只有一个可能的极值点）（ 3）分析是最大值问题还是最小值问题。如果是最大值问题， 则写出f " x0 0 ，并且最大值 maxf x0 ；如果是最小值问题，则写出f " x00 ，并且最小值 minf x0作业： P100 13补充

15、作业：从斜边长l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。第五章 不定积分二十三、换元法、分部积分法求不定积分1. 换元法例：x4x2 dx解 1（第一类换元）：1132122211 u 212x4d (4) 4xCx2Cxdx4 xxuudu14222132解 2（第二类换元）：word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x 4x2 dx x2sin t2sin t2cos t2cos tdt8cos2 t sin tdt8 cos2 td cost323328cos tC cost4 x84 xC14x2 2C32323作业： P1256P12672. 分部积分法例：1ln(

16、1212ln(1x)1x2dxxln(1 x) dxx)dxx21 x2212ln(11x1dx12ln(1x2x1xx)1xx)2ln(1 x) C221 x242作业： P1268第六章 定积分及其应用二十四、利用 P132 推论 3 估计积分值：作业： P1562二十五、证明题（ 1）设 f (x)f ( x)a0，证明：f (x)dxa（ 2）设 f (x)af ( x)dx 2af ( x) ，证明：f ( x)dxa0证（ 1）：a0f ( x) dxaf ( x) dxaf ( x) dxa00t00axaf (x)dx xf ( t )dtf (t )dtf (t) dt tf

17、 ( x)dxaaa00a0f (x)dxa证（ 2）：a0f ( x) dxaf ( x) dxaf ( x) dxa00t00axaf (x)dx xf ( t )dtf (t)dtf (t)dt tf ( x) dxaaa00aaf (x)dx 2 f (x)dxa0二十六、计算定积分例：1 x2arcsin xdx1x22 dx1arcsin xdx111dx1arcsin xdx1 x211 x1 x2dx1 x21 x211111x 11arctan x 1102作业： P1575、 8、 10word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除二十七、广义积分例：1dxlimb1

18、2 dxlimb2 d ln xe2e(ln x)x(ln x)bx(ln x)be1b1limlim11ln x eln bbb作业： P15817二十八、求平面图形的面积，求旋转体的体积例：求平面上曲线 y x2 , y x 以及 x 2 所围图形的面积，并求该图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积。作业： P15711P15813第二章 极限与连续二十九、重要概念1. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。三十、无穷小的比较1. x0时，下列哪个与x 是等价无穷小（A ）。A ta

19、nxB sin x xC sin x xD 3x2三十一、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。lim arctan x0 ， lim x cos x1 ， lim 1 sin x0 ， lim x2 sin 10 ， lim x cos2x0xxxxxxx 0xx1 x2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例如： lim3x2232提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。x4x3x543. 出现根号，首先想到有理化limx 2xlim20xxx 2x121x1x 1x3x 23lim3 xlimx1 x2x 1 1x 1 1补充练习：word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删

20、除（ 1） lim n1nn3x1x（2） limx21nx 1（ 3） limx 2x1x（4） lim xx21xxx1tan x1sin x（ 5） lim3x 0x4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限x2 sin1sin1x21例： lim2xxlim1xx1xx(2x 1)2x作业： P497 （ 1） （ 3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例： lim x21x22x2 12 x22x2 12lim 1e22xx1xx1作业： P497 （4） （6）6.0 、 0、 00、 1、0，可以使用洛必达法则0作业： P995 （ 1）

21、（ 8）7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例： lim1x2dtlimsin x21x3sin t3x23x 00x 0补充练习：sin xx t2（ 1） lim0arcsintdt（ 2） lim0edtxsin xxx0x 0x2x1sin t 2dtet dt（ 3）lim0（ ）lim1xx04x1t 2 sin t 3dtx 10三十二、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。分段函数可能的间断点是区间的分界点。若 lim f ( x)f ( x0 ) ，则 f ( x)在 x0处连续，否则间断。x x0第一类间断点：左、右极限都

22、存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。exe x20 在 x1. 设 f ( x)x2, x0 处连续，求 k ?k,x0word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解： lim f ( x)limexe x2exe xlimexe xx2lim2 x21x0x 0x 0x0f (x) 在 x0处连续，k12. 作业： P49 4、 10P5011、 123. 补充练习：1x1x20x1（ 1）研究函数的连续性：f (x)x21x1， f (x)1x 12x1x2（ 2）确定常数 a, b，使下

23、列函数连续：ln13x0exx2bxxf (x)x0， f ( x)x0， f ( x)2x0xax0axx0sin axx0x（ 3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：x24xcos3 52x1x1y, y, y, y5x45xx1x26sin xx三十三、闭区间上连续函数的性质零点定理： f ( x)在 a, b上连续，且 f ( a)f (b) 0 ，则在 (a, b)内至少存在一点，使得 f ( ) 01. 补充练习：（ 1）证明方程 xsin x2 至少有一个不超过3 的正实根。（ 2）证明方程 x53x10 在 (1,2) 内至少有一个实根。（ 3）证明方程 xex2在 (0,

24、2) 内至少有一个实根。（ 4）证明方程 x 3x2至少有一个小于 1 的正根。第三章 导数与微分三十四、重要概念1. 可导必连续，但连续不一定可导。2. 可导必可微，可微必可导。3. 函数在 x x0 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。三十五、导数的定义作业： P75 2三十六、对于分段函数，讨论分界点是否可导？例： f ( x)x在 x0 处，连续但不可导1. 作业： P75 4、 5 word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数x2x0答案：在 x0 处连续、不可导f (x)x0xx arctan 1x00f (x)x答案：在

25、 x处连续、不可导0x0sin( x1)x1f (x)x11答案：在 x处不连续、不可导0x13. 设 f ( x)axbx0在 x 0 处连续且可导，a, b 应取什么值？cosxx，为使 f ( x)0答案： a0, b1三十七、求导数1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数作业： P75 6、 102. 利用对数求导法求导数作业： P76133. 求隐函数的导数作业： P76 124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业： P76 145. 求高阶导数作业： P75116. 求切线方程、法线方程1利用导数求出切线的斜率k ，则法线的斜率为k例：求曲线y xcos x 在 x处的切线方程。

26、2解： y ' 1sin x切线斜率 k y '2 ，切线经过点2,22x切线方程：y2 x22作业： P7537. 求变上限函数的导数作业： P156 4word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除三十八、求微分yf ( x), dyf '( x) dx1.yln 1 x， dyy ' dx111x 2x2 xx12.yx arctan x1ln(1x2 ) ln 3，求 dy2解：y 'arctan xx2xx2arctanx12(1 x2 )dyarctanxdx作业： P7615三十九、利用微分进行近似计算公式： f x0x f x0f

27、' x x0作业： P7616第四章 中值定理与导数的应用四十、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理：设 fx在a, b 上连续，在 a,b内可导，则在 a, b内至少存在一点，使得fbfaf 'baf x （ 2）叙述函数f x 满足定理条件证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数（3）根据定理证明出不等式。1. 作业： P99 42. 补充练习：证明下列不等式：（ 1）当 ab 0 时， 3b2 a b a3b33a2 a b（ 2） arctanaarctanba b（ 3）当 x1时， exxe四十一、单调性与极值1. 单调性：（ 1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不

28、存在的点）（ 2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论f ' x 在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间作业： P9962. 极值：（ 1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）（ 2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 f ' x在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例：确定 f ( x) 2x8的单调区间及极值点作业： P100 9x四十二、求闭区间上连续函数的最值步骤：（ 1）求出所有可能的极值点（2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值（3）上述各值中最大的为max，最小的为min作业： P10010 （ 1）四十三、最值的应用问题步骤：（ 1）写出目标函数f x（ 2）求出可能的极值点 x0（应用问题只有一个可能的极值点）（ 3）分析是最大值问题还是最小值问题。如果是最大值问题， 则写出f " x0 0 ，并且最大值 maxf x0 ；如果是最小值问题，则写出f " x00 ，并且最小值 minf x0作业： P100 13补充作业：从斜边长