CH可降阶的二阶微分方程PPT课件

1、1第1页/共21页2( )( ,)( ,)yf xyf x yyf y y 一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程降阶法 第2页/共21页3( )yf x 一、型的微分方程 yx22yxdxxyc2xye22112xxye dxyec 21221214xxyecdxyec第3页/共21页4积积分分得得：对对)(xfy 1)(Cdxxfy 再次积分，得通解为: 21)(CdxCdxxfy 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程：)()(xfyn 只要连续积分n次, 就可得到这个方程的含有n个任意常数的通解. 解法：将 y视为新的未知函数，特点：.x等等式式右右端端仅仅含含有有自自变

2、变量量第4页/共21页5的通解的通解求微分方程求微分方程3sin2xeyx 解次，得次，得对所给方程连续积分两对所给方程连续积分两123cos321cxeyx 2123sin941cxcxeyx 第5页/共21页6 解 对所给方程接连积分三次 得 例 求微分方程ye2xcos x 的通解 这就是所给方程的通解 第6页/共21页7解法：令 ,特点：y不显含未知函数不显含未知函数pdxdpy 则则代入原方程, 得),(pxfp ),(1Cxp 其其通通解解为为：根据前面的变换又可得到一个一阶微分方程：).,(1Cxdxdy 对它进行积分，即可得到原方程的通解：.),(21 CdxCxy 第7页/共

3、21页8,py 解解：设设xxepxp 1)(111cdxexeepdxxxdxx )()(11cexcdxexxx 于于是是有有：)(1cexypx 21)(cdxcexyx2212)1(cxcexx :代入方程得代入方程得则则py 的一阶线性方程，有：的一阶线性方程，有：是一关于是一关于p第8页/共21页9例例4 4 求解求解解 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第9页/共21页10:,代代入入方方程程得得则则解解：设设pypy 12 ppx解此线性微分方程有：211122122cxxcdxexepdxxdxx 212cxcxy 所求通解为：所求通解为：212

4、1xcy xpxp12 或：或：第10页/共21页11特点：不显含自变量x.解法：把y暂时看作自变量，并作变换： 问题：是否有 ？代入原式得 ？yp( , )pf y p ( ( )d ydyp y xpyppdxdx ypp第11页/共21页12特点：不显含自变量x.解法：把y暂时看作自变量，并作变换： 由复合函数的求导法则有：.dydppdxdydydpdxdpy pp这样就将原方程就化为 前式是一个关于变量y、p 的一阶微分方程. 设它的通解为：这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解：.),(21CxCydy 第12页/共21页13解,dPypppdy则代入原方程得 , 02

5、PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解为,1yCdxdy 例5第13页/共21页14dpypypppdy令解代入方程有，)1(2)(22 pdydpyppdydpyp1212 cypydypdp得得通通解解：解解方方程程：2(0)1(0)211yycpy，代入得，2121arctan1dyyydxyxcy 解得：)4tan(41arctan1)0(1 xycy第14页/共21页15练习练习 解初值问题解初值问题解 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第15页/共21页为曲边的曲边梯形面积上述两直线与

6、 x 轴围成的三角形面二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解 于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 考研 )第16页/共21页再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得初始条件为方程化为利用初始条件得得故所求曲线方程为第17页/共21页作业作业P396P3961 1（奇数），（奇数），2 2，3 3第18页/共21页一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练 习 题第19页/共21页练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4