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1、 第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 9.1 9.1 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程一、球坐标系：一、球坐标系：220vk v22222222111sin0sinsinvvvrk vrrrrr , ,v rR r Y 令则：2222221111sin1sinsinddRYYrk rl lR drdrY 第1页/共43页2222221011sin10sinsinddRrk rl lRdrdrYYl lY一、球坐标系：一、球坐标系：22222210d RdRrrk rl lRdrdr球函数方程l阶球函数方程欧拉型方程K=0 ,Y 令则：2222sin1sin1 sindddl l

2、mddd 2 第2页/共43页一、球坐标系：一、球坐标系：2222201sin10sinsindmdddml ldd cossinmmmAmBmsincos,sindxdxdddxdddx ddx 令则2221101ddmxl ldxdxx 第3页/共43页2222212101ddmxxl ldxdxx 一、球坐标系：一、球坐标系： l 阶连带勒让德方程 l 阶勒让德方程0m ,2xkr R ry xx令，则：3/21/2122dRdR dxdRdykkxyxdrdx drdxdx =222225/23/21/2222324d RddRdxd Rdyd ykkxyxxdrdxdrdrdxdxd

3、x=第4页/共43页22222210d RdRrrk rl lRdrdr222222222221122d RdRrrk rl lRdrdrd ydyxxxlyxdxdx而22222102d ydyxxxlydxdx12l阶贝塞尔方程一、球坐标系：一、球坐标系：二、柱坐标系：二、柱坐标系：220vk v第5页/共43页二、柱坐标系：二、柱坐标系：222222110vvk vz , ,vzRZ z 令则： 2222ZzdRkmR dZ z 2 222201mZzdmRkRdZ z 第6页/共43页 2222000mdRkmRdZzZ z 2222000mdxxRxxmR xxkdxZzZ z 二、

4、柱坐标系：二、柱坐标系：第7页/共43页 cossin000zzCzDzZ zCDzCeDe 222cossin00mmAmBmmx RxxRxxmR xm阶贝塞尔方程二、柱坐标系：二、柱坐标系： 9.2 9.2 勒让德方程（勒让德方程（Legendres EquationLegendres Equation） 21210 xyxxyxl ly x 2212011l lxyxyxy xxx第8页/共43页 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程 2212,111l lxp xq xxxx 在区域内解析 01kkkxy xc x在区域内， 做泰勒级数展开：22100011210kkkkkkkkkx

5、c k kxxc kxl lc x202110kkkkckkcklklx 21021kkklklcckkk 第9页/共43页2lim1kkkcRc 01kkky xc xx欲使在处收敛，级数只能取有限项2460llllccc必为整数, 2220:22llklkklly xcx 对取整2211kkkkccklkl 21212lll lccl 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第10页/共43页4223231234234212llllllll lccclll222212312212234212lkllklklll lcclkkll221 !12!21 !2!lklklclklk2 !22!12!

6、22!2 !2!lkllklclklklk22!2 !12! 2!2 !2!llkl klkllclklklk 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第11页/共43页 222!12! !2 !kllklclklkkl 222!2 !11122! !2!kllllklclklkkl 2220llklkky xcx 22022!1122! !lklklklkxlklkk 勒让德多项式2202222121112! !lklklklklklkxlkk 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第12页/共43页22201112! !llklkllkdxdxlkk 2201!12 ! !llkl kllkdl

7、xldxlkk 220112 !lll kkklllkdcxldx 20112 !lll kkklllkdcxldx 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第13页/共43页2112 !lllldxldx1211212lklllkllkll 为偶数为奇数222122lklllkll 为偶数为奇数02220221lklllkll 为偶数为奇数 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程注：注：第14页/共43页 勒让德方程的解为： 22022!122! !lklkllklkP xxlklkk 2112 !lllldxldx0,1,2,l 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第15页/共43页 01223

8、34245351113122532235153848633515848lPP xP xxP xxP xxxP xxxP xxxx 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第16页/共43页MATLAB计算连带勒让德函数的指令是： P=lengendre(N,x)计算N阶连带勒让德函数在x处的函数值。如果x是矢量，所得的结果P是矩阵，而P(m+1,i)则是连带勒让德函数PN(m)(x)在x(i)处的函数值。利用上面函数，可绘制出教材第224页图10-1。 9.2 9.2 勒让德方程勒让德方程第17页/共43页第18页/共43页clear allclcx=0:0.01:1;for N=1:7 eval

9、(y,num2str(N),=legendre(N,x););endplot(x,y1(1,:),-,x,y2(1,:),-.,x,y3(1,:),:,. x,y4(1,:),-,x,y5(1,:),-o,x,y6(1,:),-*,x,y7(1,:),-+)title(勒让德多项式)legend(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7)grid on一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第19页/共43页例题：使用maple指令绘制出勒让德多项式的图形。解： %第一种方式yy0=maple(orthopolyP(0,x)yy1=maple(orthopolyP

10、(1,x)yy2=maple(orthopolyP(2,x)yy3=maple(orthopolyP(3,x)yy4=maple(orthopolyP(4,x)yy5=maple(orthopolyP(5,x)x=0:0.05:1;yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第20页/共43页yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(121)plot(x,yy0,b-+,x,yy1,b-,. x,yy2,b-.,x,y

11、y3,b-*,. x,yy4,b-d,x,yy5,b-o)axis(0 1 -0.7 1.2)xlabel(x)ylabel(P_l(x)title(前6个勒让德多项式的曲线)text(0.7,1.1,P_0(x)text(0.7,0.8,P_1(x)一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第21页/共43页text(0.7,0.45,P_2(x)text(0.7,0.05,P_3(x)text(0.02,0.43,P_4(x)text(0.85,-0.35,P_5(x) %第二种方式maple(with(orthopoly)yy0=maple(P(0,x)yy1=maple(

12、P(1,x)yy2=maple(P(2,x)yy3=maple(P(3,x)yy4=maple(P(4,x)yy5=maple(P(5,x)x=0:0.05:1;一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第22页/共43页yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(122)plot(x,yy0,b-+,x,yy1,b-,. x,yy2,b-.,x,yy3,b-*,. x,yy4,b-d,x,yy5,b-o)axis(0

13、 1 -0.7 1.2)xlabel(x)ylabel(P_l(x)一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第23页/共43页title(前6个勒让德多项式的曲线)text(0.7,1.1,P_0(x)text(0.7,0.8,P_1(x)text(0.7,0.45,P_2(x)text(0.7,0.05,P_3(x)text(0.02,0.43,P_4(x)text(0.85,-0.35,P_5(x)一、勒让德多项式的常用性质：一、勒让德多项式的常用性质：第24页/共43页第25页/共43页 9.3 9.3 柱贝塞尔方程柱贝塞尔方程一、一、 函数：函数： 10t zze td

14、t 1zzz 11znzz zzn 1sinzzz 111!nn k 0, 1, 2,kn 12z 12第26页/共43页二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： 2220 x yxxyxxmy xm m阶柱贝塞尔方程阶柱贝塞尔方程0mm为实数，且 22210 xmyxyxy xxx 22210 xmxp xq xxx是的一阶极点，是的二阶极点 000 ,k skky xc xc令方程的解则：2212200010k sk sk skkkkkkxcksksxxcks xxmc x 第27页/共43页222020k sk skkkkcksmxcx二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数：2202212220102k

15、kcsmcsmcksmck 12122000122kkksmmcckcckmkk 或00c sm取220skm第28页/共43页二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数：2222112kkcckmk k 2242 211211kcmkmkk k 3262 31121212kcmkmkmkk kk 021121111kkcmkmkmk k 021121111kkcmkmkmk k 02!12! !kkmcmkk 第29页/共43页 m m阶柱贝塞尔方程的一个特解为：阶柱贝塞尔方程的一个特解为：二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： 220k mmkkJxc x2020!12! !kk mkkmc xmkk200

16、1!211! 2k mkmkxc mmkk0122!0111! 2mck mmkkxmkkm m阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数第30页/共43页 当当s=-ms=-m时，时，m m阶柱贝塞尔方程的另一个特解为：阶柱贝塞尔方程的另一个特解为：二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： 20111! 2k mkmkxJxmkk m 当 为整数时， 20111! 2k mkmkxJxmkk 2 11 1! 2kmkk mkmkmxkkm 2 011 1! 2kmkmkxkkm 11, 2,kkm 第31页/共43页二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数：201111! 2k mmkkxkmk -mmmJxJx

17、当 为整数时，与线性相关 1mmJx 须引入m阶第二类贝塞尔函数 m阶诺依曼(Neumann)函数 cos=limsinmmJxJxNx 2101 !21=ln2!2mnmmnmnxxC Jxn2111111-11!222n mmnn mxn nmnmn 第32页/共43页0.5772175C 欧拉常数二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： mmJxNx、线性无关m阶柱贝塞尔方程的通解为： mmy xAJxBNxAB、 是任意常数注意： mmJxNx1、的特殊值： 21212122201001,2,3,00,1,2,3,mmnnnnnnJmNmJxJxJxJxJxJx 0J是奇函数是偶函数第33页/

18、共43页 12122sin2cosJxxxJxxx2证明：二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： 1221021112!12kkkxJxkka210121113 12!222 2kkkxxkkk2110221! 21213 1 2kkkkxxkkk第34页/共43页二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数： 2102112! 21 !kkkxxkk21021121 !kkkxxk2sin xx 1221021112!12kkkxJxkk b202111312!222kkkxxkkk第35页/共43页二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数：20221! 21231 2kkkkxxkkk 202112! 21 !kkkx

19、xkk202112!kkkxxk2cosxx第36页/共43页MATLAB有5种计算贝塞尔函数的指令，计算指令 作用J=besselj(,z) 计算阶第一类贝塞尔函数 的值N=bessely(,z) 计算阶第二类贝塞尔函数 的值H=besselh(,k,z) 计算阶第一类汉开尔函数（k=1） 的值或阶第二类汉开尔函数（k=2） 的值I=besseli(,z) 计算阶第一类虚宗量贝塞尔函数 的值K=besselk(,z) 计算阶第二类虚宗量贝塞尔函数 的值二、贝塞尔函数：二、贝塞尔函数：第37页/共43页例题：绘出前四个第一类贝塞尔函数的曲线。解：clear allclose ally=besselj(0:3,(0:0.2:10);figure(1)plot(0:0.2:10),y(:,1),b-,(0:0.2:10),y(:,2),b-*,. (0:0.2:10),y(:,3),r-.,(0:0.2:10),y(:,4),r-o)xlabel(x)ylabel(J_nu(x)title(贝塞尔函数J_0,1,2,3的图形)legen