余弦定理练习含答案

1、课时作业 2余弦定理时间： 45 分钟满分： 100 分课堂训练1在 ABC 中，已知 a5，b4， C120°.则 c 为()A.41B.61C.41或 61D.21【答案】B【解析】c a2b22abcosC524212×5×4× 2 61.2 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c满足 b2ac，且 c2a，则 cosB()13A. 4B.422C. 4D. 3【答案】B【解析】由 b2ac，又 c2a，由余弦定理a2c2b2a24a2a×2a3cosB2ac2a·2a4.3在 ABC 中，三个角

2、A、B、C 的对边边长分别为 a3、b4、c6，则 bccosAcacosBabcosC_.61【答案】2b2c2a2【 解 析 】bccosA cacosB abcosC bc·2bcc2a2b2a2b2c21 222122212ca· 2acab· 2ab2(bc a )2(cab )2(a22122261.b c )2(a b c )24在 ABC 中：(1)a1，b1，C120°，求 c；(2)a3，b4，c37，求最大角；(3)a:b:c1:3 :2，求 A、 B、 C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可

3、设三边为 x，3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2a2b22abcosC 12122×1×1×(12)3，c 3.(2)显然C 最大，a2b2c23242371cosC2ab 2×3×42.C120°.(3)由于 a:b:c1:3:2，可设 ax，b 3x，c2x(x>0)由余弦定理，得 cosAb2c2a23x24x2x232bc2·3x·2x 2 ，A30 °.1同理 cosB2，cosC0.B60 °，C90 °.【规律方法】1本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础

4、上熟练地掌握余弦定理的结构特征2对于第 (3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出A，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求B，但要注意讨论解的情况课后作业一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 )1 ABC 中，下列结论： a2>b2c2，则 ABC 为钝角三角形；a2b2c2bc，则 A 为 60°；a2b2>c2，则 ABC 为锐角三角形；若 A:B:C1:2:3，则 a:b:c1:2:3，其中正确的个数为 ()A1B2C3D4【答案】AcosAb2c2a2【解析】2bc<0，A 为钝角，正确；b2c2a21cosA2bc 2，A120 &#

5、176;错误；，a2b2c2>0，cosC2abC 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；A30 °，B60 °，C90 °，a:b:c1: 3 :2，错误故选 A.2ABC 的三内角 A、B、C 所对边长分别为a、b、c，设向量 p(ac，b)，q(ba，ca)若 pq，则 C 的大小为 ()A. 6B.3C.22D.3【答案】B【解析】p(ac，b)，q(ba，ca)且pq，(ac)(ca)b(ba)0即 a2b2c2ab，cosCa2b2c2 ab 1.2ab2ab 2C3.中，角，的对边分别为，ABCC， ，a3ABa bcA3 7，b1，则 c

6、等于 ()A22B3C. 31D2 3【答案】B【解析】由余弦定理得， a2b2c2 2bccosA，所以 ( 7)21c22×1×c×cos3，即 c2c60，解得 c3 或 c 2(舍)故选 B.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且22c2，则 A4a <b的取值范围是 () A(2，)B(4，2) C(3，2)D(0，2)【答案】C【解析】因为 a 为最大边，所以 A 为最大角，即 A>B，A>C，故 2A>BC.又因为BCA，所以 2A>A，b2c2a2即A>3.因为 a2<b2c2，所以 cosA2bc>

7、0，所以 0<A<2.综上，3<A<2.5在 ABC 中，已知 a4，b6，C120°，则 sinA 的值为 ()A.57B.21197C.3D573819【答案】A【解析】由余弦定理得c2 a2b2 ·42 622ab cosC12×4×6(2)76，c76.由正弦定理得a c ，即4 76sinAsinCsinAsin120，°4sin120 °57sinA76 19 .6 ABC 中，a、b、c 分别为 A、 B、 C 的对边，且 2ba3c， B30°，ABC 的面积为2，那么 b 等于 ()

8、A.1 3B1 322 3D2 3C.2【答案】B【解析】2bac，又由于B30°，113， ABC acsinB acsin30° ，解得S222ac 6由余弦定理： b2a2c22accosB (ac)2 2ac2ac·cos30 °4b2126 3，即 b242 3，由 b>0 解得 b1 3.7在 ABC 中，若 acosAbcosBccosC，则这个三角形一定是()A锐角三角形或钝角三角形B以 a 或 b 为斜边的直角三角形C以 c 为斜边的直角三角形D等边三角形【答案】Bb2c2a2【解析】由余弦定理 acosAbcosBccosC 可

9、变为 a·2bca2c2b2a2b2c2 b· 2ac c· 2ab ，a2(b2 c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)a2b2a2c2a4b2a2b2c2b4c2a2c2b2c42a2b2a4b4c40，(c2a2b2)(c2a2b2)0，c2b2a2 或 a2c2b2，以a 或 b 为斜边的直角三角形8若 ABC 的周长等于 20，面积是 103，A60°，则 BC 边的长是()A5B6C7D8【答案】C【解析】依题意及面积公式 S1，2bcsinA1得 10 32bc×sin60 ，°即 bc40.又周长为 20，

10、故 abc20，bc 20a.由余弦定理，得a2b2c2 2bccosAb2 c22bccos60 °b2c2bc(bc)2 3bc，故 a2(20a)2120，解得 a7.二、填空题 (每小题 10 分，共 20 分) 的值9在 ABC 中，三边长 AB7，BC5，AC6，则AB·BC为_【答案】 19【解析】由余弦定理可求得cosB19 35，AB·BC|AB| ·|BC| · cos( B) |AB| ·|BC| ·cosB 19.10已知等腰三角形的底边长为a，腰长为 2a，则腰上的中线长为_6【答案】2 a【解析】

11、如图， ABAC2a，BCa，BD 为腰 AC 的中线，EC1过 A 作 AEBC 于 E，在AEC 中，cosCAC4，在BCD 中，由余弦定 理得BD2 BC2 CD2 2BC·CD·cosC ，即BD2 a2 a2 2×a×a×1432a2，BD 26a.三、解答题 (每小题 20 分，共 40 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )11在 ABC 中，已知 b2sin2Cc2sin2B2bccosB·cosC，试判断三角形的形状【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解abc【解析

12、】方法一：由正弦定理 sinAsinBsinC2R，R 为ABC外接圆的半径，将原式化为8R2sin2Bsin2C8R2sinBsinCcosBcosC.sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC，即 cos(BC)0，BC90 °，A90 °，故ABC 为直角三角形方 法 二 ： 将已 知 等 式 变 为b2(1 cos2C) c2(1 cos2B) 2bccosBcosC.a2b2c2)2 c2(a2c2b2)2由余弦定理可得：b2 c2 b2·(2ab2aca2b2c2 a2c2b22bc· 2ab· 2ac.a2b2c2 a2c2b2 2即 b2c24a2也即 b2c2a2，故ABC 为直角三角形【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边 a，b，c 及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化12(2013 ·全国新课标，理 )如图，在 ABC 中， ABC90°，AB 3，BC1，P 为 ABC 内一点， BPC90°.1(1)若 PB2，求 PA；(2)若APB150°