光波导-12平板波导电磁场分析1102

1、1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 一、波动方程一、波动方程 (一一)Maxwell 方程方程 电场强度矢量； 电位移矢量； 磁场强度矢量； 磁感应强度矢量。 它们是时间、空间坐标的函数。 媒介中的传导电流密度； 自由电荷密度。 EDHBJ 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 物质特性方程：MHB;PED;EJ00 其中， 为媒质的极化强度矢量； 为磁化强度矢量； 为媒质的电导率(良好的介质

2、可以近似为0)； 为真空中的介电常数 为真空中的磁导率。 PM 对于非磁性介质， ，从而0 MHB0 0 0 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 电极化强度 EEEEEEP)3(0)2(0)1(0 EP 0 EEPEDr 000)1( 线性介质： 则设 相对介电常数 )1( r1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导（3）各向同性)()(rErD （2）无源、无损耗的良好介质 电流密度 ，电荷密度 Maxwell 方程0 J0 考虑介质是 （

3、1）非磁性的0 MHB0 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 (二二)亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 解的时间部分以简谐振动的波动方程。 )(0rktieEE )(0rktieHH 222 t,it 得到波动方程1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导xyzHizEyE0 yzxHixEzE0 zxyHiyExE0 xyzEizHyH yzxEixHzH 并可以得到分量方程0 y 再考虑Y方向无限制，可以得到分量关系： yZxZyxyyZxZyxy

4、HixEEiEixHEHEixHHiHixEHE000 （Ey）（Hy）1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导此分量关系，适用于：此分量关系，适用于：（1）介质是非磁、无源、各向同性（2）解的时间部分为简谐振动（3）Y方向无限制（4）介质是均匀的，或非均匀（4）介质是均匀的(平板波导)，或非均匀（渐变波导）1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导（三）平板波导波动方程（三）平板波导波动方程 平板波导：平板波导： （1）介质是非磁、无源、各向同性

5、（2）考虑解的时间部分为简谐振动 （3） Y方向无限制 （4）介质是均匀的 0 y0 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 可以得到（1）波动方程考虑到：解为时谐形式 )(0rktieHH 222 t,it)(0rktieEE 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导波动方程可以写为202202knk 再利用： 得到波动方程（下页证明）1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板

6、波导202202knk 真空中的光速 折射率为n的介质中的光速折射率与介电常数的关系001 cncv 0022222220222 cck 0200202022 knk02 rn的证明：1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导（2） 可以证明，对于平板波导仅存在横电TE模，只有Ey、Hx、Hz分量，只需求Ey 横磁TM模 只有Hy、Ex、Ez分量，只需求Hy 其余场分量可以由Ey或Hy推导得到。注意： Ey或Hy的下标y表示是场分量的方向。1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月

7、第一章第一章 平板波导平板波导对TE模，考虑 中的分量Ey满足的方程)(0)(ZtiyyexEE 2222222zyx (四四)TE、TM模方程及场解形式分析模方程及场解形式分析1、方程直角坐标系下设022 yyEkE1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 Ey随坐标的变化：Z方向反映在相位落后上 Z， 。Y方向无变化。仅有振幅Ey0随x变化。 222 z而且，222,0 zy1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导)()()()()(02)(0

8、22)(220)(0222ZtiyZtiyZtiyZtiyyexEexExezxEexExE 代入波动方程 022 yyEkE0)()()()(02)(02)(022 ZtiyZtiyZtiyexEkexEexEx 约去ei( t- Z)， 0)()()(0202022 xEkxExExyyy 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 一般把振幅(场随着x的分布) Ey0(x)写出Ey(x)，又称为不考虑时间和纵向的横向场分布。 所以，TE模 Ey满足类似，TM模 Hy满足1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场

9、分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导2、场解形式分析（1）数理方程要求 满足数学方程：得到通解满足物理要求(边界条件)： A、有限(包括坐标时，场应该有限) B、分界面切向量连续(导数)；垂直于分界面法线X方向的Y、Z方向1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导，Ey、 Hy解为指数形式；，Ey、 Hy解为正弦或余弦形式； )(2202 kn0)(2202 kn0)(2202 kn（2）方程解的形式分析 是二阶常系数齐次线性微分方程，解的形式取决于当当1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波

10、导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 若 n1k0，显然， n1k0 n2k0 n3k0 ，此时，在薄膜、衬底、覆盖层，沿X方向都具有指数的形式，不满足无穷远处的边界条件(波函数有限)，无意义。因而, n1k0不可能存在，因此 n1k0为禁区。1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导(3)场解具体形式 导模： 若 n1k0 n2k0 n3k0，此时， 在薄膜层， ，Ey、 Hy为正弦或余弦形式； 在衬底、覆盖层 ，Ey、 Hy解为负指数形式；0)(22021 kn0)(0)(2202

11、322022 knkn1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 薄膜、衬底， ，Ey、 Hy为正弦或余弦指数的形式； 覆盖层， , Ey、 Hy解为负指数形式。 衬底辐射模 ： 若 n1k0 n2k0 n3k0，0)(0)(2202222021 knkn0)(22023 kn1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 辐射模： 若 n1k0 n2k 0 n3k0 ，此时 薄膜、衬底、覆盖层，为正弦或余弦指数的形式1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板

12、波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导二、平板波导中导模的场解二、平板波导中导模的场解 (一)TE模1、Ey场解1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导波动方程 0)()()(220222 xEknxxEyjy j = 1，2，3代表薄膜、衬底、覆盖层。坐标如图所示 。 导模 n1k0 n2k0 n3k0 j =3)()()(0)()()(22/12023222023xEknxExEknxEyyyy qxqxyAeeAxE )(3通解1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分

13、析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导j =1，通解 )()()(0)()()(22/12202122021xEknixExEknxEyyyy ihxihxyeFFexE )(1j =2， )()()(0)()()(22/12022222022xEknxExEknxEyyyy pxpxyeCCexE )(2通解1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导边界条件(1) : x为了保证场解有限，令 ，所以，式中， 2220212022220232 knhknpknq00 C,A 层层层层层层32211

14、3)(0)(0)(ndxCexEnxdeFFexEnxAexEpxyihxihxyqxyq、p、h均为正实数1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导边界条件(2) : x0处，切向量Ey连续：Ey3= Ey1 FAFFFA )sin()2()cos()()()(1hxiAFhxAeeFAeeFAFexEihxihxihxihxihxy 令 B=(2F - A)i。 )sin()cos()(1hxBhxAxEy 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波

15、导边界条件(3) x = -d处，切向量Ey连续：Ey1= Ey2, )()sinh()cosh(dpCedBdA pdehdBhdAC )sin()cos()(2)sin()cos()(dxpyCehdBhdAxE 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导归纳：平板波导TE导模场解 dxehdBhdAxdhxBhxAxAexEdxpqxy)()sin()cos(0)sin()cos(0)(1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导式中， -覆盖层沿

16、X方向衰减系数 -衬底层沿X方向衰减系数 -薄膜层沿X方向振荡系数 A、B为待定常数，由波导传输的光场的能量确定。2、HZ(x)场解应用各场分量的关系，得到 220212022220232 knhknpknq1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导其它场解也可得到: dxehdBhdAipxdhxBhxAihxAeiqxHdxpqxZ)(000)sin()cos(0)cos()sin(0)(1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导3、特征方程运用边

17、界条件(1) x0、xd，切向量HZ(x) 连续： )sin()cos()cos()sin()(00000hdBhdAiphdBhdAihdxBihAiqx 0)sin()cos()cos()sin(00BhdphdhAhdphdhhBqAdxx A、B不能全为0，其系数行列式0，得到平板波导TE模导模的特征方程化简: 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导pqhqphhdtg 2)()( 特征方程横向谐振条件 、m在哪里？ 隐含在h、p、q中。 m 隐含在tg函数的周期性之中。 tgytgxtgytgxyxtgxtg

18、tgxxtg 1)(12)2(2应应用用：1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导4、TE模场分布(1)薄膜内振荡、呈驻波形态。模阶数m节点数。根据模场，可以求出极值点位置。 d m=o m=1 m=2 TE0 TE1 TE2 节点：场量=0的点。1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导(2)消逝场衬底、覆盖层中指数衰减 在 处，衰减到x = 0处、x = -d处的1/e。消逝场 可以定义波导说明，导模场被限制在薄膜中及其附近。pdxqx1,1 q

19、pddeff11 有效厚度1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 (3)衰减与导模场的约束 相同，n2n3, 所以， p q 同一导模在衬底衰减慢，在覆盖层衰减快。 推广：其它层与薄膜层折射率差如(n1-n2)、 (n1-n3)越大，导模场在其它层(覆盖、衬底)衰减得越快，电磁场在波导薄膜层中约束得越好。2023220222,knqknp 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导 高阶导模比低阶导模在衬底、覆盖层衰减慢,约束差。 因为导模阶数m越

20、高，入射角 1越小， n1k0sin1越小，p、p越小。 从波导的功能来，要求约束好。 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导(4)消逝场的衰减与截止的关系 截止几何光学观点： 1 C12波动光学观点： p由实数变为虚数。截止条件 p2 0 【因为p q，所以考虑p】p 、 q0实数虚数导模导模辐射模辐射模1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导(二)TM模 分析方法同TE模。1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011

21、年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导(三)导模携带的功率 由电磁场理论，导模在单位宽度上携带的功率式中， 为玻印廷矢量Z方向分量。对TE模， 代入Ey，得到各层的功率 dxHEdxSPZZ*)Re(21 ZSdxEPy202 yZxZyxyEixHHiHixEHE 001.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导22222020222222202222)(22231phqhpAPqAPqhpphpdhqhAPnnn 总功率 )11(422202231qpdhqhAPPPPnnn 由总功率P可以求出TE模场的振幅系数1

22、.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导qpdPqhqBqpdPqhhA/1/14/1/142220222202 TM模的总功率、模场振幅系数求解方法类似。 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导三、平板波导中辐射模的场解三、平板波导中辐射模的场解 1、Ey场解设TE模场解为波动方程 0)()()(220222 xEknxxEyjy （1）衬底辐射模 n3k0 n2k0j =3，覆盖层 波动方程)()()(0)()()(22/12023222023

23、xEknxExEknxEyyyy 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导qxqxyAeeAxE )(3j =1，薄膜层 波动方程)()()(0)()()(22/12202122021xEknixExEknxEyyyy ihxihxyeFFexE )(1j =2，衬底层 波动方程 )()()(0)()()(22/12202222022xEknixExEknxEyyyy isxisxyeCCexE )(2通解通解通解1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平

24、板波导式中 220212202220232 knhknsknq衬底辐射模场解 000)(xeCCexdeFFexAexEisxisxihxihxqxy在n3区：沿正X方向衰减在n1区：沿X振荡在n2区：沿X振荡能量有效沿X方向传输 1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导（2）辐射模 n3k0 n2k0 j =3，覆盖层 波动方程)()()(0)()()(22/12202322023xEknixExEknxEyyyy itxitxyeGGexE )(3通解j =1，薄膜层 波动方程)()()(0)()()(22/1220

25、2122021xEknixExEknxEyyyy ihxihxyeFFexE )(1通解1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导j =2，衬底层 波动方程 )()()(0)()()(22/12202222022xEknixExEknxEyyyy 通解isxisxyeCDexE )(2式中 2220212202222023 knhknsknt辐射模场解 000)(xeCCexdeFFexeGGexEisxisxihxihxitxitxy1.2 1.2 平板波导电磁场分析平板波导电磁场分析 20112011年年2 2月月第一章第一章 平板波导平板波导在n3区：沿正X方向振荡能量有效沿X方向传输在n1区：沿X振荡在n2区：沿X振荡能量有效沿X方