节点导纳矩阵及潮流计算

1、武汉理工大学电力系统分析课程设计说明书目录摘要 21任务及题目要求 22原理介绍 32.1节点导纳矩阵 32.2牛顿-拉夫逊法 42.2.1牛顿-拉夫逊法基本原理 42.2.2牛顿-拉夫逊法潮流求解过程介绍 63分析计算 104结果分析 145总结 15参考资料 1611节点导纳矩阵及潮流计算摘要电力网的运行状态可用节点方程或回路方程来描述。节点导纳矩阵是以系 统元件的等值导纳为基础所建立的、描述电力网络各节点电压和注入电流之间 关系的线性方程。潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务 是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、 网络中的功率分布及功率损

2、耗等。本文就节点导纳矩阵和潮流进行分析和计算。1任务及题目要求题目初始条件:i3=0.75-j2.52所示电力系统潮流计算时其元件导纳参数为：yi2=0.5-j3, y23=0.8-j4, y任务及要求：1 ）根据给定的运行条件，确定图I各节点的类型和待求量;2）求节点导纳矩阵Y;3) 给出潮流方程或功率方程的表达式；4) 当用牛顿-拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件。2原理介绍2.1节点导纳矩阵节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导纳的定义直接求取，也可根据电路知 识中找出改网络的关联矩阵，在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我 们主要讨论的是直接求解导纳矩阵。根据节点电压方程章节

3、我们知道，在利用 电子数字计算机计算电力系统运行情况时，多采用IYV形式的节点方程式。其中阶数等丁电力网络的节点数。从而可以得到n个节点时的节点导纳矩阵方程组：Y11V1 Y12V2YinVn = 11Y21V1+Y2N2 士 +Y2nVn = I 2*(2-1)Y11V1 YV2YVn = I n由此可以得到n个节点导纳矩阵：zvv v3>11112Y1n_Y21Y22Y2n|丫 =I(2-2)IIYn1 Yn2 Ynn它反映了网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电 气特性的一种数学抽象。由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用 的一种数学模型。通过上面的讨论，

4、可以看出节点导纳矩阵的有以下特点：(1) 导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成 节点导纳矩阵的程序比较简单。(2) 导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知 Yij=¥i。(3) 导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元 素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过 34个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行 仅有34个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越 显著。节点导纳矩阵的形式可归纳如下：(1) 导纳矩阵的阶数等丁电力网络(2) 导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个

5、数等丁对应节点所连得不接 地支路数。(3) 导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等丁相应节点之间的支路导纳 之和。(4) 导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等丁相应节点之间的支路 导纳的负值。2.2牛顿-拉夫逊法2.2.1牛顿-拉夫逊法基本原理牛顿-拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方 法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行 求解的过程。即通常所称的逐次线性化过程。对丁非线性代数方程组：f(x)=0 即 fi(Xi,X2，Xn)=0(i=1,2，n)(2-3)在待求量x的某一个初始估计值x(0)附近，将上式展开成泰勒级数并略去二 阶及以上

6、的高阶项，得到如下的经线性化的方程组：f(x(0) f'(x(0).：x(0) =0(2-4)上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量. x(0) =f'(x(0)f(x(0)(2-5)将Ax(0)和x(0)相加，得到变量的第一次改进值x。接着就从x出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值 x(0)出发，应用牛顿法求解的迭代格式为：f'(x(k).x(k) = - f(x(k)(2-6)(k 1)(k).(k)s fx = x lx(2-7)上两式中：f'(x)是函数f(x)对丁变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩 阵J; k为迭代次数。由上式

7、可见，牛顿法的核心便是反复形式并求解修正方程式。牛顿法当初 始估计值x(0)和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法 将具有平方收敛特性，一般迭代 45次便可以收敛到一个非常精确的解。而且 其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性， 对丁对以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。牛顿法的可靠收敛取决丁有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算 法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对丁正常运行的系统， 各

8、节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也 不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定：Uj(0) =1。(0) =0 或 苛0) =1 fj(0) =0 (i = q1,2，n;i =s) (2-8)这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质 量很差或有重载线路而节点问角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问 题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代12次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转 入牛顿法迭代。2.2.2牛顿-拉夫逊法潮流求解过程介绍以下讨论的是用直角坐标

9、形式的牛顿一拉夫逊法潮流的求解过程。当采用 直角坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的实部和虚部两个分量 e，f 1，e2, f 2.印f n由丁平衡节点的电压向量是给定的，因此待求两共 2(n-1)需 要2(n-1)个方程式。事实上，除了平衡节点的功率方程式在迭代过程中没有约 束作用以外，其余每个节点都可以列出两个方程式。对PQ节点来说，Pis和Q.是给定的，因而可以写出Pi = Pis -。-(G" Bij f j) - f j - (Gij f j Bij ©j) j.ij -iQi =Qis fGejBijf j) ej' (Gijf j B”) j -ij

10、-i因此可以列出(2-10)对PV节点来说，给定量是Pis和Vis ,Pi =Pis-e(Gm-Bijf j)-f(Gjf j Bm) =° j -ij -i2222jVi =Vis -(e f i) =0求解过程大致可以分为以下步骤：(1) 形成节点导纳矩阵；(2) 将各节点电压设初值U(3) 将节点初值代入相关求式，求出修正方程式的常数项向量;(4) 将节点电压初值代入求式，求出雅可比矩阵元素；(5) 求解修正方程，求修正向量；(6) 求取节点电压的新值;(7)检查是否收敛，如不收敛，贝U以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始进行狭义次迭代，否则转入下一步；(8)计算支路功率

11、分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率 以直角坐标系形式表示：迭代推算式采用直角坐标时，节点电压相量及复数导纳可表示为M =e + jfiY =Gij jBij(2-11)将以上二关系式代入上式中，展开并分开实部和虚部；假定系统中的第 1,2，,m号为P-Q节点，第m+1,m+2广，n-1为PV节点，根据节点性质的 不同，得到如下迭代推算式：(1) 丁 PQ节点nnP = P -e £ (Gij©j Bij f j) - fi £ (Gj f j + Bj ej)j wj且nnAQ=Qi-fZ (Gjej -Bjfj)+e£ (Gjfj+Bjej)j

12、1j=1i =1,2， ，m (2-12)对丁 PV节点nnAP=P 。仲Bjfj) f2 (Gj fj 如偈)j mjT. v2 =v2i-(e2 fi2)i =m 1,m 2, ,n -1(2-13)对丁平衡节点平衡节点只设一个，电压为已知，不参见迭代，其电压为:Vn =e. jfn(2-14)修正方程两组迭代式中包括2(n-1) 后代入，并将其按泰勒级数展开即m厘西m况+岔U2m 十活 .fiQm.fl田mi.fl:"U2m1 .em.em-：Pm1耳*U2m1若Pmf多；：fm一Pmlfm.Mi若Pm-em 1多-em 1-em 1:U 2m1fm1："'Q

13、mJm1jPmlfm1MU 2m1若Pm :em. g :enA -：Pm1:U 2m若Pm :fn1 ："'Qm :fn1 主:fn1Wm1个方程.选定电压初值及变量修正量符号之,略去AeAfi二次方程及以后各项，得到修正方程如下:W = J AU(2-15)-APi1Ae 1 Qi其中， Pm；A emAW =AQmA Pm孝AU =AfmAem千 2AU m + f m 41aPn en.2U n _±Af 一面应此取 1伽即酒 11f1於m禽+办+CfnX淬也挡西 1g5i检mftn +办+f-f1- q q能mmaem +a&m+a，a*a而吼吼也

14、Pn&®mmMm 十廿m+服四2n工如2J动U2n工动U2n工<U2j应2nL由U2m於U2n工&由mf岛+廿m+(2-16)和(2-9)进行偏导而雅可比矩阵各元素的算式式(2-12)中,雅可比矩阵中的各元素可通过对式(2-8)求得.当j%时，雅可比矩阵中非对角元素为cApf ej必R¥f jQiT = -(GjeBij fi)"f j"Qi=BjO -Gj fi"§(2-17)22f U f U:'ej=0当j = i时，雅可比矩阵中对角元素为: p n _ 一 _ 一一、i =f (Gjej Bjfj

15、)Giie -Bii fi j 1n(Gj fjBj-GUi 司j In:eR-:fjcAQ _(Gj fj +Bjej)Giifi +BNej 4=空(GjAej Bjfj)+Giie +B"i 部jj 土2此i 喝=2e冬_ 2f乱fi(2-18)由式(2-13)和(2-18)看出，雅可比矩阵的特点: 矩阵中各元素是节点电压的函数，在迭代过程中，这些元素随着节点电压 的变化而变化； 导纳矩阵中的某些非对角元素为零时，雅可比矩阵中对应的元素也是为零 若Yj =0,则必有Jij =0 ； 雅可比矩阵不是对称矩阵；(i =q1,2,，n;i =s)雅可比矩阵各元素的表示如下:Hj(Gj

16、e +Bj fi)(广i)I £ (Gjej - Bj f j) Gii e - Bii fi (j = i) .ji(2-19)武汉理工大学电力系统分析课程设计说明书iiNj:PiBijG Gij fi)(j =i)-：fj-Z (Gjfj +Bjej)+Biie Giifi(j =i) j-iMjfQiBjO 6)(j =i)' (Gj fj Bjej) Bg -Giifi(j =i)j5LijGjei - Bj fi)(j =i)fj(Gq -Bj") Gg Bun = i)j-iRj-:ej_0 (j =i)一 .-2e(j =i)Sij*U2i：fj0 (

17、j =i)一 .-2fi(j =i)(2-20)(2-21 )(2-22 )(2-23)3分析计算1. 根据给定的运行条件，确定图中所示电力系统潮流计算时各节点的类型和待求量根据图中可以看出各节点的类型和待求量分别为：节点1: PQ节点待求量：U ,臼节点2: PV节点待求量：Q,8节点3:平衡节点待求量：P,Q2. 求节点导纳矩阵YY1i =乂2 乂3 =1.25-j5.5Y22 =y" y23 =1*j7Y33 = y23 y3 =1.55 - j6.5Y21 =Y2 =-0.5 +j3Y32 % = -0.8 j4Y31 =Y3 = 0.75+ j2.5所以节点导纳矩阵为:i.

18、25 - j5.5 -0.5 + j3 j-0.75 + j2.5-0.5 j3i.3 - j7-0.8 j4-0.75 j2.5 0.8 + j4 i.55 - j6.53.潮流方程或功率方程的表达式因为对n个节点的网络，电力系统的潮流方程一般形式是:Pi - jQ in.=' Yj V jj =i(i=1,2，n)其中Pi= PGi - P Ldi, Qi = QGi - Q Ldi ,即PQ分别为节点的有功功率无功功率。所以代入得潮流方程:2-jiUi i=(1.25-j5.5) Ui 、i+(0.5-j3)亿 &2+(0.75-j2.5) 化0°0.5 -jq

19、2i、2=(0.5-j3) Ui 、i+(1.3-j7)-U§2+(0.8-j4) i匕 0°P3 *i 04.用牛顿-拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件=(0.75-j2.5) Ui 、i+(0.8-j4) iN&2+(i.55-j6.5)亿0。(i)修正方程计算i、2节点的不平衡量 峭、AQj和AVi33% -Pi。= Ph 苛"Gije- Bijfj0 fi°" Gijfj0Bq- j tj 日=一2 7.G”Gi2 Gi3 = 一2 一 0 = 一233Qf)= Qis-Qf)=Qis- |fi性 ©招&#

20、176;)2"样)一61十(Gj fj0)+B0)-度ji一=一1 一 BiiB12 B13 = 一1一0 =1AV其)=|V2S|2 |vq2 =0节点3是平衡节点，其电压Vi =e十jfi是给定的，故不参加迭代。根据给定的容许误差 & =10里，按收敛判据max 扣眄曲。)奶(坪< &进修正方程式为行校验，以上节点1、2的不平衡量都未满足收敛条件，丁是继续以下计算。AW=APQi明2"TV =腿油e f2 T-一洗P硒Pi孙P显Pi 1cei昂斑2cf2站Qi弟Qi期1於Qicf1ce2cf2EAR犯P2弟P2於P2弟斑2潦2汕22於v22弟V；员

21、V；_务ce2色一.州=-J V (n=3)J以上雅可比矩阵J中的各元素值是通过求偏导数获得的，对 PQ节点来说, pis和。治是给定的，因而可以写出Pi = Pis 一巳£_。临 一 Bn f j) 一 f 声_ (Gu f j * Be) = 0 jiujiuQi =Qis - f(Ge -Bij f j)+e上(Gjf / B4 = 0ji=ji=j对pv节点来说，给定量是 Pis和Vis,因此可以列出Pi = PisePGuej Bijf j f i如Gijf j + BQ0jiujiu222.2Pi =Ve( i f 广°/武汉理工大学电力系统分析课程设计说明书当

22、j/i时，雅可比矩阵中非对角元素为三匚-芸=-而Bjfi) j."：ej若 fj於PicAQi _o _ fM=； = Bije Gij fi：fj ； : ej22UU c=0-:fj当j =i时，雅可比矩阵中对角元素为：EAR n =一£一Bij fj)GN -Bn £ 免jmEARnfjQi：'qfQi'=£ (Gij fj +8©)Gifi+Biiej w=L (GJ 圮伯)GU «传j日n(GijMjBij fj)+Gii0+Biifij日2? Uiu2fi代入数值后的修正方程为-1.25-5.50.53 1

23、ejf-21-5.51.253-0.510.53-1.3_ 7e20.5-00-20 一fI0 -求解修正方程得一si * e*2 一-0.2547-0.3611 0一0.1015 一(2)收敛条件e11 =苛 g0 =1 0.2547 = 0.7453f11 = f10：f0 =0 0.3611 = -0.3611e21)=ef)+Aef )=1 0 =1f21 =f2°：f20 =00.1015 = -0.1015一轮迭代结束，根据收敛条件收敛判据maxfAR(k) AQi(k)AVi2(k,若等式成立，结果收敛，迭代结束，计算平衡节点的功率和线路潮流计算，否则继 续计算雅可比矩阵，解修正方程，直到满足收敛判据。4结果分析给定节点电压初值efLe? )= eg )=1.0, f(0 )= f2(0 )= f3(0 )= 0 ,经过四次笔算迭代过程后，得到节点电压和不平衡功率的变化情况分别丁表4.1和表4.2所示(取&am