连续系统模型描述

1、 连续系统连续系统-系统状态变化在时间上是连续的，可系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系统模型。描述系统模型。 一个系统可以定义成如下集合结构：一个系统可以定义成如下集合结构：T T：时间基，描述系统变化的时间坐标：时间基，描述系统变化的时间坐标T T为整数则称为离散时间系统，为整数则称为离散时间系统， T T为实数则称为连续时为实数则称为连续时间系统间系统X X：输入集，：输入集， 代表外部环境对系统的作用。代表外部环境对系统的作用。 X X被定义为被定义为 , ,其中其中 ，X X即代表即代表n

2、n个实值的输个实值的输入变量。入变量。：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X,T)(X,T)的子集。的子集。Q Q：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。),(YQXTSnR In：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。 它是映射：它是映射：输出函数，它是映射：输出函数，它是映射： 输出函数给出了一个输出段集。输出函数给出了一个输出段集。Y Y：输出段集，系统通过它作用于环境。：输出段集，系统通过它作用于环境。YTXQ:QQ: 常微分方程常微分方程 传递

3、函数传递函数 状态空间描述状态空间描述 权函数（脉冲过渡函数）权函数（脉冲过渡函数） 其中其中n为系统的阶次，为系统的阶次， 为系统的结构参为系统的结构参数，数， 为输入函数的结构参数，它们均为为输入函数的结构参数，它们均为实常数实常数 ucdtudcdtudcyadtdyadtydadtydannnnnnnnnnn112111011110), 2 , 1 , 0(niai), 2 , 1 , 0(njcj若系统的若系统的初始条件为零初始条件为零，两边取拉氏变换后稍，两边取拉氏变换后稍加整理：加整理： （系统传递函数）（系统传递函数） jnjjnnjjjnsascsUsYsG0101)()()

4、(权函数权函数 g(t)g(t)指初始条件为指初始条件为0 0时系统在理想脉冲函数时系统在理想脉冲函数(t)(t)作用下的响应，又称脉冲过渡函数作用下的响应，又称脉冲过渡函数系统对任意输入的响应可由卷积积分公式求出系统对任意输入的响应可由卷积积分公式求出0( )( ) ()ty tug td权函数与传递函数有如下关系：权函数与传递函数有如下关系： ( )( )L g tG s 系统内部模型系统内部模型状态空间模型。状态空间状态空间模型。状态空间描述的一般形式为：描述的一般形式为： 状态方程状态方程 : 输出方程输出方程 :BUAXXCXY 引入后移算子引入后移算子 ) 1()(,11kykyq

5、q设系统的初始条件为零，即设系统的初始条件为零，即 ，取，取Z Z变换变换 0)()(kuky在初始条件均为零时，在初始条件均为零时， 等价等价11 zq初始条件为零时，输入一个单位序列脉冲，初始条件为零时，输入一个单位序列脉冲， 则则响应为权序列响应为权序列 0, 00, 1)(kkk输入任意一个输入任意一个 则系统响应为则系统响应为)(kukiikhiuky0)()()(njjjkuknyqa0)()(),.,2 , 1 , 0()()(1nj kxknyqjnju(k)100)(100001000010121kxaaaannn1)x(kx(k)y(k)0001=令令 连续系统仿真要将这个

6、系统的模型在计算机连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上实现出来，首先要把系统的各种描述形式上实现出来，首先要把系统的各种描述形式转换成内部模型转换成内部模型-状态空间模型，我们将其状态空间模型，我们将其称为称为模型结构变换模型结构变换。 假设一连续系统假设一连续系统 （a0=1） 今引进今引进n个状态变量：个状态变量： ， ， ，)(111tuyadtydadtydnnnnnyx 1dtdyxx122223dtydxx 111nnnndtydxx则有则有 将上述将上述n个一阶微分方个一阶微分方程写成矩阵形式可得程写成矩阵形式可得 )(222111tuyadtydadtydadtydxnnn

7、nnnnn)(1121tuxaxaxannnux10010000100001021121nnnnxxxaaaan21xxx=xy0001= 外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最小实现的充要条件是小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能控为完全能控且完全能观测。且完全能观测。 .12BABB AB An1.nCACAC657661161112361167726552)(222322322ssssssssssssssssssG121322131112132113121)(ssssssss

8、sssG21311111111110003121212111111101101000)(ss ssssGUXYUXX100011100111012111101321 如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换到内部内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转到内部内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转变为相应的状态变量的初始值。变为相应的状态变量的初始值。 若系统是由如下一般形式的若系统是由如下一般形式的n阶微分方程来描述：阶微分方程来描述： 系统初始条件为：系统初始条件为： ucdtducdtudcdtudcyadtdyadtydadtydannnnn

9、nnnnnnn1111011110) 1, 2 , 1 , 0( ,)(,)()(00)()(00)(niutuytyiiii 一阶微分方程组的状态变量记为一阶微分方程组的状态变量记为 ，如，如果它们满足如下关系：果它们满足如下关系： （8） （9） （10） （11） 该状态方程与原方程等价。该状态方程与原方程等价。 ), 2 , 1(nixiucyax001ucyaxxjjjj1ucyaxnnn)(0110ucxya 证明：证明： 将（将（8）两边分别进行微分）两边分别进行微分n次，可得：次，可得： （12） 其中其中p为微分算子符号。对（为微分算子符号。对（9）式两边分别进行）式两边分别

10、进行n-j(j=1,2,n-1)次微分，可得：次微分，可得： （13） 对（对（10）式也引入微分算子：）式也引入微分算子： （14） 将（将（12）、（）、（13）、（）、（14）所包括的）所包括的n+1个等式左右两个等式左右两边分别相加，消去同类项，稍加整理后就得到原高阶微分边分别相加，消去同类项，稍加整理后就得到原高阶微分方程，表明两者之间的等价关系。方程，表明两者之间的等价关系。 upcypaxpnnn001upcypaxpxpjnjjnjjjnjjn11ucyapxnnn 伴随方程法伴随方程法显式地表示了状态变量与原输入显式地表示了状态变量与原输入/输出变量及输出变量及其高阶导数之间

11、的关系，因而易于进行初始值的转换。其高阶导数之间的关系，因而易于进行初始值的转换。这这样得到状态方程及输出方程：样得到状态方程及输出方程： （15） 其中其中 uu+=DCXBAXXy000/100/010/001/0010201aaaaaaaannA0002020101/aaccaaccaaccnn=B000/00, 11ac aD DC C= 设设a0=1,初值转换方程：初值转换方程： 伴随方程有多种形式，因而得到的状态方程也不唯一。伴随方程有多种形式，因而得到的状态方程也不唯一。那么，实现这种初值转换的条件是什么呢？那么，实现这种初值转换的条件是什么呢？ )1(000021010)1(0

12、0021102010 000 101001nnnnnnnuuuccccccyyyaaaxxx 考虑转换后得到的系统状态空间模型为考虑转换后得到的系统状态空间模型为: 即假定即假定u的的n阶导数项的系数阶导数项的系数c0=0，已知系统的初始条件，已知系统的初始条件为为: 则为了由上述初始值求出状态变量的初始值，可列出以下则为了由上述初始值求出状态变量的初始值，可列出以下方程方程: CXY BUAXX )0(),0(),0()0(,0)0()1()1(nnuuuyyy，(t)Cx)(ty(t)+(t)=(t)CBuCAxxC)(ty(t)+(t)+(t)=(t)+(t)=(t)2uCBCABuxC

13、AuCBxCAxC )(ty 于是可得下列矩阵方程于是可得下列矩阵方程 (16) 其中其中 )()()(t+TttuXyTntytytyt)()()()()1( yTntututut)(1-)()(=)(u1-nCACAC000000=CBBCABCACBCABCBT3-n2-n 由由(16)式可得：式可得： (17) 即，若即，若 存在，则可由存在，则可由(17)式求出式求出 x(t) 的初始值。的初始值。 由控制理论可知，由控制理论可知，是是(A、B、C)的能观判的能观判别阵，若别阵，若(A、B、C)是完全能观的，则是完全能观的，则非非奇异。这就是说，由高阶微分方程输入奇异。这就是说，由高

14、阶微分方程输入/输出输出变量初始值转变为状态初始值的条件是：内变量初始值转变为状态初始值的条件是：内部模型部模型(A、B、C)是是完全能观的。完全能观的。 )()(=)(-1tttTuyx1udtduydtdydtyd/2/3/2对如上系统，已知系统初始条件为： 0)0(, 1)0(, 1/)0(uydtdy 试确定该系统的内部模型，并给出状态变量的初值 举例举例 ： 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，结构和物理特点，从传递函数

15、的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。环节、延迟环节等。 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 KsRsCsG)()()(式中式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放

16、大系数或增益。 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 )()()(tKrtcdttdcT其传递函数为其传递函数为 1)()()(TsKsRsCsG式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数惯性环节的增益或放大系数 当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 )1 (11)()(111tTeKsTsKLsCLtc单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 惯性环节实例很多，如惯性环节实例很多，如图所示的图所示的R-L网络，输入为网络，输入为

17、电压电压u，输出为电感电流，输出为电感电流i，其传递函数其传递函数式中 RLT RK13. 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程其动态特性方程 dttrTtcti0)(1)(其传递函数其传递函数 sTsRsCsGi1)()()(式中式中Ti为积分时间常数。为积分时间常数。 积分环节的单位阶跃响应为积分环节的单位阶跃响应为 tTtCi1)(它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。 上图为运

18、算放大器构成的积分环节，输入上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出，输出u0(t)，其传递函数为，其传递函数为 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中式中Ti = RC 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数其传递函数 sTsRsCsGd)()()(式中式中Td称微分时间常数称微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线它的单位阶跃响应曲线 )()(tTtcd如图所示，理想微分如图所示，理想微分环节实际上难以实现，环节实际上难以实现，因此我们常采用带有因此我们常采用带有惯性

19、的微分环节，其惯性的微分环节，其传递函数传递函数 1)(sTsKTsGdd其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为 dTKetc1)( 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若按指数规律下降，若K值很大而值很大而Td值很小时，实际值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。微分环节就愈接近于理想微分环节。 二阶振荡环节的动态方程为二阶振荡环节的动态方程为 )()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其传递函数其传递函数 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中式中 为无阻尼自然振荡角频率，为无阻

20、尼自然振荡角频率，为阻尼比。为阻尼比。 Tn1 图中所示为图中所示为RLC网络，输网络，输入为入为ui(t)、输出、输出u0(t)，其动态，其动态特性方程特性方程 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其传递函数其传递函数 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR2) 延迟环节是输入信号加入后，延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态后才重现输入信号，其动态方程为方程为 )()(trtc其传递函数是一个其传递函数是一个超越函数超越函数 sesRsCsG)()()(式中式

21、中称延迟时间称延迟时间 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。稳定。 1 2 3 4 5 2 4 4 + + + 2y y1 y0 y3 y4 y5 u1 u2 u3 u5 被仿真的系统框图被仿真的系统框图 u4 CUDUsAYBYs则整个系统的动态方程则整个系统的动态方程 )5 , 4

22、 , 3 , 2 , 1( isBAsDCYiiiii对于每个环节都有对于每个环节都有（1）（2） W W称为系统的连接矩阵，它描述了系统内部各环节连接情况，每个元素称为系统的连接矩阵，它描述了系统内部各环节连接情况，每个元素Wi j Wi j 表表示第示第 j j 个环节的输出到第个环节的输出到第 i i 个环节的输入之间的联接系数个环节的输入之间的联接系数 W0W0称为外部输入的连接矩阵，它描述了外部输入对系统的作用情况。对单输入称为外部输入的连接矩阵，它描述了外部输入对系统的作用情况。对单输入系统，系统，W0W0是一个列矢量，是一个列矢量，Woj Woj 表示外部输入信号表示外部输入信号

23、 y y0 0 作用在第作用在第j j个环节上的作用个环节上的作用系数。在上图中，系数。在上图中，y0 y0 只作用在第一个环节上，故只作用在第一个环节上，故W0 1W0 11 1。若为多输入系统则。若为多输入系统则W0W0也是一个矩阵，它的列数等于输入量的个数。也是一个矩阵，它的列数等于输入量的个数。 05432142454321000010010000100001010010000yyyyyyuuuuu00yWWYU 将将(2)式代入式代入(1)式，则可得：式，则可得： 其中：其中：Q=BDW，P=CWA ，V1=CW0 ， V2=DW0 如果如果Q 阵的逆存在，那么上式两边左乘阵的逆存在

24、，那么上式两边左乘Q1，则得：，则得： 这是一个标准的一阶常微分方程组。这是一个标准的一阶常微分方程组。 000CWYYDWCWYYDWAYYB0201YVYVPYYQ0210111YVQYVQPYQY 说明：说明：（1 1）矩阵方程的右端有两项与外加作用信号）矩阵方程的右端有两项与外加作用信号 有关，有关，一项是一项是 ，另一项，另一项 。若外加作用函数是。若外加作用函数是单位阶跃阵，此时单位阶跃阵，此时 ，为了便于计算，就要求，为了便于计算，就要求V V2 2是零向量。如果外加作用信号是阶跃信号，那么必是零向量。如果外加作用信号是阶跃信号，那么必须限制外加作用信号所用的那个环节须限制外加作

25、用信号所用的那个环节D Di i=0=0。（2 2）只有当）只有当Q Q 阵能求逆时，才能获得阵能求逆时，才能获得(3)(3)式。当系统中式。当系统中各环节不存在纯微分环节和各环节不存在纯微分环节和/ /或纯比例环节时就能保或纯比例环节时就能保证证Q Q阵可以求逆。阵可以求逆。（3 3）关于）关于Q Q 的逆阵不存在时的结构变换，以下例说明：的逆阵不存在时的结构变换，以下例说明： Y0011YVQ021YVQ0YSBA221C1D3S 1 2 3+结构变换举例结构变换举例y2y3y1y0 101000112CAP=CW-A C100V1=CW0因为因为Q Q 阵中出现阵中出现1 1、3 3两列

26、全零，两列全零，所以所以Q Q -1-1不存在。其原因是不存在。其原因是1 1、3 3两两个环节是比例和微分环节（都不个环节是比例和微分环节（都不存在存在 ）。对于上述系统，）。对于上述系统，可以将其结构加以变换。可以将其结构加以变换。 )3 , 1( iYi 000000023BDQ=BDW设系统的状态方程为：设系统的状态方程为：Q Q 阵中有阵中有(N(NM)M)列元素为全零，这说明有列元素为全零，这说明有(N(NM)M)个环节的个环节的 不出现在方程的左端。也就是说，系统中有不出现在方程的左端。也就是说，系统中有(N(NM)M)个代数个代数方程。方程。 系统结构变换程序法就是通过矩阵的初

27、等变换，把系统中系统结构变换程序法就是通过矩阵的初等变换，把系统中(N(NM)M)个代数方程分离出来。具体做法，就是对个代数方程分离出来。具体做法，就是对Q Q、P P、V V各矩阵线性变换，使上述方程中的各矩阵变各矩阵线性变换，使上述方程中的各矩阵变为为 ，从而，从而Y Y变为变为 ，方程变为：，方程变为： 01YVPYYQ1VPQ、Y01YVYPYQ程序法：程序法：Y 其中：其中： |0|0|Q MNNMMMMMMMMQQQQQQQQQQ,1 , 11 , 11221111 |QQMNM00P |,PPPPPPPPPPMMM MMMMNN MMNM11111 111001100 |0110

28、V1 ,VVMNM11 在变换的过程中，对在变换的过程中，对Q Q、P P、V V作列变换，将使作列变换，将使Y Y原来的原来的编号改变。所以程序中应将列变换的情况记录下来，编号改变。所以程序中应将列变换的情况记录下来，以便在最后求出以便在最后求出 后，经过反变换而仍能恢复后，经过反变换而仍能恢复Y Y。 完成变换后，系统可以分为完成变换后，系统可以分为M M个微分方程与个微分方程与(N-M)(N-M)个代个代数方程。而该数方程。而该M M个微分组的个微分组的 的逆存在。因此的逆存在。因此: 由此解得由此解得 及其导数，然后再解及其导数，然后再解(N-M)(N-M)个代数方程：个代数方程： Y

29、QM0111YVQYPQYMMMMMMMMM,yyyM12 由当由当 时，时， ，上，上式可以写成：式可以写成： ), 2, 1( 0111NMMiYVyPYQijMjNjijjij1, 1, 2, 1MNNiNMMj，Pij 1NMMiYVyPyQyijMjNjijjijiMN, 2, 101111 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。 （泰勒级数展开）（泰勒级

30、数展开）线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和主要使用传递函数和状态空间表达式来描述状态空间表达式来描述线性时不变系统线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为简记为LTI)。 单输入单输出线性连续系统的传递函数为单输入单输出线性连续系统的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中其中mn。G(s)的分子多项式

31、的根称为系统的零点的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零于零,得系统的特征方程得系统的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 系统的传递函数在系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来式唯一地确定出来,其格式为其格式为 sys=tf(num,den) 其中其中num为分子多项式，为分子多项式，den为分母多项式为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；对于其它复杂的表达式对于其它复杂的表达式,如如)432

32、)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列语句来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss 传递函数传递函数G(s)输入之后输入之后,分别对分子和分母多项式分别对分子和分母多项式作因式分解作因式分解,则可求出系统的零极点则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多提供了多项式求根函数项式求根函数roots(),其调用格式为其调用格式为 roots(p)其中

33、其中p为多项式。为多项式。 例如例如,多项式多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来反过来,若已知特征多项式的特征根若已知特征多项式的特征根,可调用可调用MATLAB中的中的poly( )函数函数,来求得多项式降幂排列时来求得多项式降幂排列时各项的系数各项的系数,如上例如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 而而polyval函数用来求取给定变量值时多项式函数用来求取给定变

34、量值时多项式的值的值,其调用格式为其调用格式为 polyval(p,a)其中其中p为多项式为多项式;a为给定变量值为给定变量值 例如例如,求求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在在s=5时值：时值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66p,z=pzmap(num,den)其中其中, p传递函数传递函数G(s)= numden的极点的极点 z传递函数传递函数G(s)= numden的零点的零点例如例如,传递函数传递函数 传递函数在复平面上的零极点图传递函数在复平面上的零极点图,采用采用pzmap()函数函数来完成来完成,零极点图上零极

35、点图上,零点用零点用“。”表示表示,极点用极点用“”表表示。其调用格式为示。其调用格式为13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用用MATLAB求出求出G(s)的零极点的零极点,H(s)的多项式形的多项式形式式,及及G(s)H(s)的零极点图的零极点图 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的极点 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2

36、;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表达式pzmap(num,den) %零极点图title(pole-zero Map) 零极点图如图所示 ： 若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。 （1）串联）串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series( )来求G1(s)G2(s),其调用格式为 num,den=series(num1,den

37、1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(21(2)并联并联 如图所示如图所示G1(s)和和G2(s)相并联相并联,可由可由MATLAB的并联的并联函数函数parallel( )来来实现实现,其调用格式为其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(21(3)反馈反馈 反馈连接如图所示。使用反馈连接如图所示。使用MATLAB中的中的feedback( )函数来实现反馈连接函数来实现反馈连接,其调用格式为其调

38、用格式为 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign为反馈极性为反馈极性,若为正反馈其为若为正反馈其为1,若为负反馈其为若为负反馈其为1或缺省或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)= ,H(s)= ,负反馈连接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss MATLAB中的函数中的

39、函数series,parallel和和feedback可用来简化多回路方框图。另外可用来简化多回路方框图。另外,对对于单位反馈系统于单位反馈系统,MATLAB可调用可调用cloop( )函函数求数求闭环传递函数闭环传递函数,其调用格式为其调用格式为 num,den=cloop(num1,den1,sign) 传递函数可以是时间常数形式传递函数可以是时间常数形式, ,也可以是零极也可以是零极点形式点形式, ,零极点形式是分别对原系统传递函数的分零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。子和分母进行因式分解得到的。MATLABMATLAB控制系统控制系统工具箱提供了零极点模型

40、与时间常数模型之间的工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数转换函数, ,其调用格式分别为其调用格式分别为 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式示形式, ,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。递函数模型。 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB语句表示：num=12 24 12 20;den=2 4 6 2 2;z,p,k=tf2zp(num,den

41、) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即变换后的零极点模型为G(s)= )9287. 00353. 0)(9287. 00353. 0)(9294. 1(6sss)2272. 19567. 0)(2272. 19567. 0(isis)640. 0433. 0)(640. 0433. 0(isis 可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0

42、000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 即 132106126)(23423ssssssssG 状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中 x(t)Rn 称为状态向量,n为系统阶次; ARnn 称为系统矩阵;BRnp 称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn 称为输出矩阵; DRqp 称为连接矩阵,q为输出量个数。 在一般情况下,控制系统的状态空间表达式项简记为(A,B,C,D)。 例如：设一个

43、双输入双输出系统的状态空间表达式为uxtx202264510623421)( xy020100系统模型可由MATLAB命令直观地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D= zeros(2,2) MATLAB的控制系统工具箱提供了由状态空间表达式转换成传递函数或由传递函数转换成状态空间表达式的转换函数ss2tf( )和tf2ss( )。其调用格式为num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) 反过来,若已知系统的传递函数,求取系统状态空间表达式的调用格式为 A,B,C,D=tf2ss(num,den) 例如系统的传递函数为 16332)(232ssssssG系统的状态空间表达式为 num=1,2,3; den=1,3,6,1;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -3 -6 -1 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 1 2 3D = 0（1）单位脉冲响应 当输入信号为单位脉冲函数(t)时