苏教版九年级上册数学全册教案（2021年11月修订）

1、第一章 一元二次方程1.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.2.会判断一个数是否是一元二次方程的根. 【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度与价值观】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 一元二次方程的概念及其一般形式. 从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”. 多媒体课件. （课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为

2、2 m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望. 一、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到x2=2（2-x），即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2

3、页问题1.（课件展示问题）【教学说明】针对上述问题可给予58分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为x m，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3 600 cm2，可得到的方程又是怎样的？【讨论结果】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，由此可得到方程（100-2x）（50-2x）=3 600，整理为：4x2-300x+1400=0，化简，得x2-75x+350=0，由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材23页问题2.【教学说明】教学过程中，教师可设置如下问题：（1）这次

4、排球赛共安排 场;（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛；（3）由此可列出的方程为 ，化简得 .教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到·x·（x-1）=28，化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并

5、且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0？2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a，b，c都一定是正数吗？谈谈你的看法.【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：x12345678910.可以发现，当x=8时，x2-x-56=0，

6、所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m，x2=n.二、典例精析，掌握新知例1 已知关于x的方程（m+2）x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.【分析】观察方程特征

7、，依定义建立关于m的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论.【解】由题意有 ，m=2.因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.例2 将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.【解】去括号，得3x2-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握. (1)一

8、元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；(2)一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a0)中的括号是否可有可无？为什么？ 教材P8习题1.1 第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时1 直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度与价值观】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣. 解形如x2=p(p0)的方程. 把一个方程化成x

9、2=p(p0)的形式. 多媒体课件. （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗? 一、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？探究1 设一个盒子的棱长为xdm，则它

10、的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为 ，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【讨论结果】解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（）

11、有两个不等的实数根x1=- ,x2=;(2)当p=0时，方程（）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x20,所以方程（）无实数根.探究2对上面题解方程（）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【讨论结果】学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）

12、2=5,得x+3=± ,即x+3=或x+3=-.于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.【归纳结论】上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.二、典例精析，掌握新知例1 解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.【解】(1)原方程整理，得2x2=8,即

13、x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=± ,即x1=,x2=-.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=± ，x1=1+,x2=1-;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=± ,x1=2+,x2=2-.（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x20，所以这个方程无实

14、根. 1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：（0）；（a0, a0）。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。2、对于形如（a0,a0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n0）的形式用直接开平方法解。 3、直接开平方法解方程的重要步骤：(1)变形；(2)开方；(3)求解。 教材P10练习1，2题第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时2 配方法（二次项系数为1）【知识与技能】掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 【过程与方法】理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.【情

15、感态度与价值观】在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法和技巧. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法和技巧. 多媒体课件. 问题 要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？思考 如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中

16、，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 一、思考探究，获取新知讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤：【讨论结果】(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程无实根二、典例精析，掌握新知例1 解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0【分析】我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完

17、全平方【解】略 用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、 把常数项移到方程右边；2、 在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。 教材P13练习1，2题 第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时3 配方法（二次项系数不为1）【知识与技能】掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 【过程与方法】理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.【情感态度与价值观】在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的方法和技巧. 用配方法解二

18、次项系数不为1的一元二次方程的方法和技巧. 多媒体课件 问题 要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？思考 如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 一、思考探究，获取新知试一试 1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流.

19、2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程x2+x-3=0.【教学说明】让学生独立思考后，相互交流看法.理解并掌握用配方法解一元二次方程的思维方法.然后选取学生代表发言，最后师生共同总结，完善认知.二、典例精析，掌握新知例1 解下列方程（1）x2-8x+1=0;（2）2x2+1=3x;（3）3x2-6x+4=0.分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如x2+mx=n的方程，利用配方法可求出方程的解.【教学说明】让学生自主探究，独立完成，

20、同时选三名同学上黑板演算，教师巡视，针对学生可能出现的问题，教师应适时予以点拨：（1）二次项系数不是1时，怎么办？（2）配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？（3）配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？（4）配方过程中还需注意哪些问题等等.最后师生共同评析，加深用配方法解一元二次方程的理解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤：1.将二次项系数化为1；2.把常数项移到方程右边；3.在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4.利用直接开平方法解之。 教材P14练习1，2题第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时4 公式法 【知识与技能

21、】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度. 用公式法解一元二次方程. 推导一元二次方程求根公式的过程. 多媒体课件. 我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一

22、般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究. 一、思考探究，获取新知通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a0)的解.由ax2+bx+c=0(a0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+x=-.配方，得x2+x+ =-+，即.至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深

23、认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.【讨论结果】师生共同完善认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用表示，即=b2-4ac.从而有：当=b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实数根；当=b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数解；当0时，方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根可写成x= ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式.二、典例精析，掌握新知例1 用公式法解

24、下列方程：(1) x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x【分析】将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.【解】【教学说明】以上例题可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解. 这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法公式法(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用对于a0，b2-4ac0。以及由a0，知4ac>0等条

25、件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程 教材P16练习 第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时5 一元二次方程的根的判别式【知识与技能】1.熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况；2.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的判别。【过程与方法】经历使用求根公式进行根的判别，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用求根公式进行根的判别的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.

26、 掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 多媒体课件 教师提问：1.什么是求根公式？2.我们在不解方程的情况下是否可以对一元二次方程的根进行判断？3解下列方程:(1)2 x2x60； (2) ；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).4不解方程，判别方程的根的情况。（引入新课，板书课题）. 一、思考探究，获取新知教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为，方程两边都除以，得 你能得出什么结论？ 让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式

27、的一元二次方程的根为，即利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 根的情况： 1）当b24ac0时， ；（2）当b24ac0时， ；（3）当b24ac0时， 。二、典例精析，掌握新知例1 不解方程，判别下列各方程的根的情况.(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2-x=2.【分析】找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.【解】由（1）a=1,b=1,c=1,=b2-4ac=12-4&#

28、215;1×1=-30,原方程无实数解;(2)a=1,b=-3,c=2,=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=10,原方程有两个不相等实数根；（3）原方程可化为3x2-x-2=0,a=3,b=- ,c=-2,=b2-4ac=(-)2-4×3×(-2)=2+24=260.原方程有两个不相等的实数根. （1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用对于a0，b2-4ac0。以及由a0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理（2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计

29、算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程 根的判别式b2-4ac 教材P17练习1，2题 第一章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课时6 因式分解法 【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性. 会用因

30、式分解法解一元二次方程. 理解并应用因式分解法解一元二次方程. 多媒体课件. 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）想一想 你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课. 一、思考探究，获取新知学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：x(10-4.9x)=0. x=

31、0或10-4.9x=0, x1=0,x2=2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想 以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.【讨论结果】当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.二、典例精析，掌握新知例1 解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.【解】（1）因

32、式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.x1=2,x2=-1;（2）原方程整理为4x2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.2x+1=0或2x-1=0.x1=-,x2=.例2 用适当的方法解下列方程：(1)3x2+x-1=0; (2)2(x-3)2=12;(3) (3x-2)2=4(3-x)2; (4)(x-1)(x+2)=-2.【分析】根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.【解】【教学说明】以上两例均应先让学生自主完成，最后共同评析，达到深化理解本节知识的目的.教学时，可选派学生代表上黑板完成.对于学生的解法只要合理就应给予肯定，若有更简捷解法时

33、再予以说明.【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解. 1、 总结因式分解法解一元二次方程的步骤：将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。对两个一元一次方程分别求解。2、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”

34、。正确的因式分解是解题的关键。3、比较配方法、公式法和因式分解法。配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。 教材P19练习1，2题 第一章 一元二次方程1.3 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察发现猜想验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解

35、事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊一般特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神. 一元二次方程根与系数的关系及其应用. 探索一元二次方程根与系数的关系. 多媒体课件. 问题 请完成下面的表格观察表格中的结果，你有什么发现？【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数之间的关系，引入新课. 一、思考探究，获取新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;(2)已知方程

36、x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .答案：（1）4，-7；（2）-3，-5.探究1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.【教学说明】设置上述两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认知.具体推导过程可参见教材.【讨论结

37、果】根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.探究2在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式=b2-4ac0呢？为什么？【教学说明】设置探究2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1,x2，防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.二、典例精析，掌握新知例1 见教材16页例4.【分析】对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根

38、与系数的关系来求解.【解】例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.【分析】设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.【解】设方程另一根为x1，由x1+3=1,x1=-2.又x1·3=-2×3=c,c=-6.例3 已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：（1）x12+x22; （2） .【分析】将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.【解】方程x2-5x-7=0的两根为x1,x2,x1

39、+x2=5,x1·x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;(2) = 【教学说明】例1是根与系数关系的直接应用问题，学生能够自主完成，对于课本的练习老师可让学生稍作思考后解答；例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x1+x2及x1·x2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成

40、绩和问题也给予评析，进行反思.例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.【分析】将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.【解】（1）由题意有x1+x2=6,x1·x2=k.x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,k=11或k=-11.又方程x2-6x+k=0有实数解，=(-6)2-4k0,k9.k=

41、11不合题意应舍去，故k的值为-11;(2)由(1)知，x1+x2=6,x1·x2=-11,x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【教学说明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调. 1一元二次方程根与系数的关系是什么？2应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；3应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b24ac0时，才能应用根与系数的关系 教材P23练习与习题1.3 第一章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题课时1 面积问题

42、和增长率问题【知识与技能】1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.2.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；3.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.【过程与方法】经历数学建模建一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用. 列一元二次方程解决实际应用问题. 寻找问题中的等量关系. 多媒体课件. 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，

43、将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.【教学说明】通过问题引入本节要处理的问题，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课. 一、思考探究，获取新知探究教材20页探究3.【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？

44、（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.二、典例精析，掌握新知例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）【分析】设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的

45、2倍构建方程可获得结论.【解】设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x10.84,x2-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.【分析】如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=

46、(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.【解】(1)设BC=xm,则AB=CD=，依题意可列方程为x·=150,解这个方程，得x1=20,x2=15.当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方

47、形鸡场的长与宽只能是15m和10m;(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=m,从而有x·=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时=352-4×1×320=1225-12800,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.例3某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？【分析】如果设平均每个月增长的百分率为x，那么7月份的利润是2500(1x)元，8月份的利润是2500(1x)2元【解】设平均每个月增长的百分率为x，由题意，得

48、2500(1x)2=3600解得 x1=0.2 x2=-2.2（不合题意，舍去）所以平均每月增长的百分率是0.2【教学说明】以上几个例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知. 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；第一步：设未知数（单位名称）；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义； (2)值是否使所列方程左右相等

49、第五步：答题完整（单位名称） 常见几何图形面积是等量关系.面积问题面积问题和增长率问题 a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.增长率问题 教材Pa(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.25练习1，2，3.第一章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题课时2 销售问题和图表问题【知识与技能】1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.【过程与方法】经历将实际问题抽象为数学问题的过程

50、，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.【情感态度与价值观】通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 列一元二次方程解决应用问题. 寻找问题中的等量关系. 多媒体课件. 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?学生在相互讨论交流中可得出结论为：审题；设未知数；列方程；解方程；答.【教学说明】让学生在回顾解实际问题过程中的思路方法，为进一步学习新的问题作好铺垫，导入新课. 一、思考探究，获取新知某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，

51、商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2x件衬衫根据“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利1250元”，列出方程问题4：某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？教师适当引导学生可从未知数出发，去表示其他的量学生上黑板板书解题过程，师生共同评价，并规范解题格式 二、典例精析，掌握新知例1 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来

52、经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?【解】 设每千克核桃应降价x元，则每千克利润(60-40-x) 元，此时可销售(100+20× )千克 ， 根据题意,得 (60-40-x)(100+ 20× )=2240. 化简,得 x2-10x+24=0, 解得x1=4， x2=6 每千克核桃应降价4元或6元 要尽可能让利于顾客， 每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， ×100%

53、=90%.答: 该店应按原售价的九折出售.例2 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？【分析】由800×30=24 000<28 000，可知参加这次旅游的人数（x）大于30，人均收费降低10（x-30）元，于是可列出方程求解.但考虑到人均收费应不低于550元，因而必须检验求得的解是否符合题意.【解】设参加这次旅游共有x人，由800×30= 24000<28 000，可知x>30，人均收费为800-10（x-30）元，根据题意，得x800一10（x-30）= 28 000.整理，得x2-110x+2800= 0.解这个方程，得x1= 40，x2= 70.当x=40时，800一10（x-30）= 800一10（40-30）=700>550.当x=70时，800一10（x-30）=800-10（70-30）= 400<5