极限计算方法总结

1、极限计算方法总结靳一东高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。 求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1 定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述) 说明：(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim 一 = 0 (a,b为常数且a = 0)；°a nlm(3x -1) =5

2、 ；lim qnn ”(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。2 极限运算法则定理1已知lim f (x) , lim g(x)都存在，极限值分别为 A, B，则下面极限都存在,且有 (1) lim f (x) _ g(x) = A _ B(2) lim f (x) g(x)二 A B(3) lim f(x)二,(此时需 B = 0成立)g(x) b说明：极限号下面的极限过程是一致的; 不能用。3 两个重要极限同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,(1)sin x limx=Qx=11 1 lim (V x)x = e ；.叩 二 e说

3、明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。例如:1.sin 3x 彳 .“ c 、-2xlim1 , lim (1 - 2x) e ,x >0 3xx >0xxm(1 + ?)3 = e ；等等。4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当XT 0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：X sin x tanx arcs in x arctanx ln (1 X)ex - 1。说明：当上面每个函数中的自变量 x换成g(x)时(g(x)T 0),仍有上面的等价3

4、 x2关系成立，例如：当x； o时，e -13x ； In(1 - x2)-x 。定理4如果函数 f (x), g(x), f1(x), gdx)都是x； x°时的无穷小，且f (x)f,x),g(x)gx),lim凹存在时，x m g,x)I i mf(x)也存在且等于x-；x g(x),.f(x)f(x)fj(x)f (x) I i m - ，即 lim= lim 丄丄。f gd x)y g (x) J" g'x)5 洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f (x)和g(x)满足:(1) f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

5、(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；.f "(x)(3) lim存在(或是无穷大)；g (x).f (x). f x) . f(x)f"(x)贝y极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=limg(x)g (x)g(x) g (x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不 满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1 )是否满足，即验证所求极限0O0是否为“ 0 ”型或“一”型；条件(2) 一般都满足，而条件(3)则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注 意条件

6、。6 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 X。是函数f (x)的定义去间内的一点，则有 lim f(x)二 f (x0)。xtx07 极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。定理8 (准则2)已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1 )y Xn 乞 Zn , (n =1,2,3,)(2) lim y“ = a, lim z alim xn = a。n r-.in则极限lim Xn 定存在，且极限值也是 a，即n_、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 lim 3x 一2xj3x-32 2(P3x+1) -2解：原式=l

7、imlimj (x_1)(J3x+1 +2) J (x_1)(J3x+1 +2)注：本题也可以用洛比达法则。例 2 lim -.yn (；?n ' 2 - n -1)n解：原式=讪 n(n 2)一(_1)n分子分母同除以例 slimVnc 2门 +3“上下同除以解：原式 =lim -n :T 1r1。(l)n 12.利用函数的连续性(定理6)求极限i例 4 lim x2exxt2解：因为X。= 2是函数1f (x)二x2ex的一个连续点,2 x 2sin =limx；ox 212 (-)22i2 2所以原式=2 e2 =3. 利用两个重要极限求极限例5怖上響xt 3x2 x 2sin

8、2 解：原式=!mo2'3 x注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 Iim0(1 - 3sin x) x1_6sin x1_6sin x解：原式=lim(1-3sin x)s1=lim(1-3si二 e»x_0n 2 n 例 7 lim ()n +13 n 1_3n解：原式=nm(1产n申nm(1+齐尸严J3二 e o4. 利用定理2求极限1 sinx解：原式=0 (定理2的结果)5. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限xl n(1 3x)解： x > (时，ln(1 3x)3x ,2 2arctan(x )x ,原式=limx3x=3x2xx sin x e -e例

9、10 limxt x sin xsin xx -sin xe (e解：原式=limxt°-1)x - sin xlimx )0sin x ze (x-si nx)x - si n x注：下面的解法是错误的xsin x.(e -1) -(e -1) 原式= limi0xsi nxx -sin x1。=limx Q x - sin x正如下面例题解法错误一样tan x sin x凹xT四x3tan(x2 sin -)sin xx 例 11 lim 一解：；当x 0时，x2 sin1是无穷小，tan（x2sin1）与x2 sin丄等价,x2si n1xxxx 1所以，原式=凹一xlxm0x

10、sinr0。（最后一步用到定理2）6. 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代 换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1 -COSX例 12 lim 27 3x2(例 4)sin解：原式=lim7 6x1 。（最后一步用到了重要极限）兀x cos2例 13 limj1 x -1解：原式=迎jrsin2 2例 14 lim x_sinx0x31cosx sinx 解：原式=lim= lim2x >0 3x16。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）1sin x xcosx 例15 lim 厂 t x sin x解:sin x - x

11、cosx 原式=lim0-limx >0x2 xsin xcosx (cos x- xsin x) limx >03x23x2例 18 lim 丄-x Q xln(1x)解：错误解法：原式= lim 丄-丄=0。XT。x x例 19 limx - 2sin xx； 3x cosx正确解法:原式=limln(1 x) - xln (1+x)_x lim7xln(1 x)x >0x x1 -1二 lim1 xlimx1= 0x>02xx >02x(1 x) 2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例1-2cosx limx h 3 sinx，此极限xn存在,nmxn

12、 二a。对已知的递推公式xn彳=2 xn两边求极限，得:所以lim xnnn例21_1 1 n21：n22-1（不合题意，舍去）n2 n解:n1易见：-. n2 n . n2 1n22解：易见：该极限是“ 0 ”型，但用洛比达法则后得到:0不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下: 2sinx1 -原式=limx（分子、分母同时除以x）小 cosx3x1=-（利用定理1和定理2）37. 利用极限存在准则求极限例 20 已知 =廟2 , xn d：;2 xn , （n =1,2，），求 lim x*nT00解:易证：数列xn单调递增，且有界（0< xn <2）,由准则1极限lim因为l