函数的幂级数展开实用教案

1、1一、泰勒一、泰勒(ti l)(ti l)级数级数上式两端(lin dun)逐项求导，得第1页/共33页第一页，共34页。2 )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn且展开式是唯一(wi y)的. 第2页/共33页第二页，共34页。3定义(dngy)的泰勒(ti l)级数. 的麦克劳林级数(j sh).第3页/共33页第三页，共34页。4二、泰勒二、泰勒(ti (ti l)l)公式公式第4页/共33页第四页，共34页。5上述(shngsh)公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式.证略.第5页/共33页第五页，共34页。6三、函数三、函数(hnsh)(hnsh)的的泰勒展开泰勒

2、展开证由泰勒(ti l)公式证明(zhngmng)是显然的.第6页/共33页第六页，共34页。7 0)(!)0(nnnxnf函数 f(x) 展开成幂级数 的具体步骤：2. 写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 0)(!)0(nnnxnf如果(rgu)是,则 f(x)在 D上可展开成麦克劳林级数 第7页/共33页第七页，共34页。8例1解第8页/共33页第八页，共34页。9即证得第9页/共33页第九页，共34页。10第10页/共33页第十页，共34页。11例2解第11页/共33页第十一页，共34页。12第12页/共33页第十二页，共34页。13例3收敛(shulin)域为：( n 不为正整数)特别(

3、tbi)，牛顿(ni dn)二项展开式第13页/共33页第十三页，共34页。14 一般用间接法：根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量代换、 四则运算、 恒等变形(bin xng)、 逐项求导、 逐项积分等方法, 求展开式 .例4所以(suy)第14页/共33页第十四页，共34页。15两边(lingbin)求导, 得例5),( x第15页/共33页第十五页，共34页。16例6解第16页/共33页第十六页，共34页。17例7解第17页/共33页第十七页，共34页。18基本基本(jbn)(jbn)展开式展开式第18页/共33页第十八页，共34页。19( n 不为正整数)特别(tbi)1,

4、 1( x第19页/共33页第十九页，共34页。20),( x),( x例8解所以(suy) 第20页/共33页第二十页，共34页。21例9解法(ji f)1,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn第21页/共33页第二十一页，共34页。22所以(suy)解法(ji f)2),( x),( x例9第22页/共33页第二十二页，共34页。23例10解1| x第23页/共33页第二十三页，共34页。24例11解第24页/共33页第二十四页，共34页。25例12解由幂级数展开式的唯一性， 因此(ync)，第25页/共33页第二十五页，共34页。26 以上讨论的均为麦克劳林级数

5、(j sh)，下面讨论一下一般的泰勒级数(j sh)：其收敛(shulin)域为D， )(Dx 一般利用麦克劳林级数(j sh)间接展开.第26页/共33页第二十六页，共34页。27例13解第27页/共33页第二十七页，共34页。28例14解而第28页/共33页第二十八页，共34页。29；1|34| x例14展展开开函函数数2312 xx为为( (4 x) )的的幂幂级级数数. . 解第29页/共33页第二十九页，共34页。30例15解),( x第30页/共33页第三十页，共34页。31例16解),( x第31页/共33页第三十一页，共34页。32练习(linx)：P251 习题(xt)七第32页/共33页第三十二页，共34页。33感谢您的观看(gunkn)！第33页/共33页第三十三页，共34页。NoImage内容(nirng)总结1。上述公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式.。函数 f(x) 展开成幂级数 的具体步骤：。如果是,则 f(x)在 D上可展开成麦克劳林级数。( n 不为正整数)。一般用间接法：根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量(binlin