6-7微积分ppt课件

1、一、定积分的元素法一、定积分的元素法二、平面图形的面积二、平面图形的面积第七节第七节 定积分的几何应用定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的四、平行截面面积已知的 立体的体积立体的体积五、小结五、小结回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题( )dbaAf xx 一、定积分的元素法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。abxyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下iiixfA )( iix （3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值

2、.)(1iinixfA （4）求极限，得）求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 ( )dbaf xx abxyo)(xfy 提示提示lim( )dAf xx ( )d .baf xx xdxx dA面积元素面积元素当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。xyo)(xfy ab二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分

3、析？如何用元素法分析？dA？， xyo)(xfy ab二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ xxfA xyo)(xfy ab二、平面图形的面积xxx ddAfxx如何用元素法分析？如何用元素法分析？xyo)(xfy ab第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。 ( )dbaAf xx 二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ ddAfxxxyo)(1xfy )(2xfy ab二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？dA？xyo)(1xfy )(2xfy ab二、平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析

4、？ 21ddAfxfxx xyo)(1xfy )(2xfy ab21( )( )dbaAfxfxx 二、平面图形的面积xxx 第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。如何用元素法分析？如何用元素法分析？ 21ddAfxfxx 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素2d()dAxxx 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所

5、所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( x321d(6)dAxxxx,3 , 0)2( x232d(6 )dAxxxx 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA 0322(6)dAxxxx 3230(6 )dxxxx .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？xxyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd观察下列图形，选择合适的积分

6、变量求其面积：观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？ ( )ddcAyy xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd21( )( )ddcAyyy yyy yyy 观察下列图形，选择合适的积分变量：观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？ 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积

7、分变量为积分变量y4, 2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积04daAy x 204sin d( cos )btat 2204sindabt t .ab 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴立体这直线叫做旋转轴圆圆柱柱三、旋转体的体积(volume of body)（1）圆圆锥锥圆圆

8、台台三、旋转体的体积(volume of body)（3）（2）一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，2d ( ) dVf xx xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为2 ( ) dbaVf xx )(xfy yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx xo

9、直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为2ddrVxxh 圆锥体的体积圆锥体的体积20dhrVxxh hxhr03223 2.3hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积32233daaVaxx .105323a xyo)(yx cd 2ddcVyy 解解 120 arccosdVyy 012 xyyxarccos ytarccos 设设 2

10、20d costt 22200cos2cos dtttt t 202d sintt 22002sin2sin dttt t 202cos2 t 22 补充补充2|( )|dbyaVxf xx 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中 2222002002202cosd2d sin2 sin2sin d2cos2Vxxxxxxxx xx 例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为22ddVPMQMy 22(34)(34) dyyy1

11、2 4d ,y y40124dVy y .64 3dyPQMxoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数d( )d ,VA xx ()d .baVA xx 立体体积立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底

12、底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积221()tan d2RRVRxx .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截

13、截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积22dRRVhRxx .212hR 五、小结定积分的元素法定积分的元素法平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积()dbaVA xx 2 ( ) dbaVf xx 2 ( ) ddcVyy 21( )( )dbaAfxfxx 思考题思考题1 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中

14、中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.思考题思考题1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS 20( )dxSf xx 120( )dxSxySxyf xx 00( )d2( )d xxf xxxyf xx 03( )d2,xf xxxy 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函

15、数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy )(xfy 设函数曲线 y = f (x) 及直线 y = kx + b ,)0(k、11bxky)(1212bbbxky所围成的曲边梯形, 求D绕直线y = kx + b旋转所成立体的体积.,21xx在上有连续导数, D为思考题思考题2如右图示, bkxyL：NTMMN1xxdxx 2xxy y =f (x)dlD为曲线设),(yxM,)(上任一点xfy 曲线在M点处的切线MT为：)()(xXxfxfY的垂线为：点作直线过bkxyLM)()(1xfxXkYMM：0)( xkfxYkX即即思考题思考题2解答解答应用定积分的元素法，考虑子区间x, x

16、+dx. 设相应于x, x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl, 则当子区间的长充分小时, 取切线MT上对应于右端点x +dx的点 到垂线 (d ,( )( )d )N xx f xfxx MM 的距离为dl, 则21d(d ) ( )( )d ( )1lxxk f xfxxxkf xk 21( )d(0)1kfxxdxk 而M点到直线L的距离为21)(kbkxxfd从而得22221( ) ( )ddd11kfxf xkxbVdlxkk 223 2 ( ) 1( ) d(1)f xkxbkfxxk 所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为21223 2 ( ) 1( ) d(1)xxVf

17、xkxbkfxxk 思考题思考题3 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.思考题思考题3解答解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积21dyVxy 2116dyy 116y.16 1 y练练 习习 题题！四、四、 抛物线抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处处 的切线所围成的图形的面积的切线所围成的图形的面积 . . 五、五、 位于曲线位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的左方下方，该曲线过原点的切线的左方以以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . . 六、六、 由抛物线由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形面积与过焦点的弦所围成的图形面