LQR在单级倒立摆系统中的应用

1、LQR在单级倒立摆系统中的应用【摘要】单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定系统控制问题。单级倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用。针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿动力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到状态空间模型。然后对该模型分别进行LQR控制，在MATLAB环境下进行仿真。实验结果说明，二次型最优控制具有良好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。【关键词】单级倒立摆;线性二次型;最优控制;MATLABpplicationofLQRinSingleInvertedPendulumSystemGaoXiaoq

2、in，ShenXiaolinSchoolofComputerandControlEngineering，NorthUniversityofChina，Taiyuan030051，ChinaAbstract：Single-stageinvertedpendulumcontrolisanonlinearandunstablesystemcontrolproblemthatiscomplicatedandofhigh accuracyandrapidityremands.Themathematicalmodelofsinglestageinvertedpendulumhaveguidanc

3、etostudyitsstability.Formulti-variable，nonlinear，strongcoupling invertedpendulumsystem，usingNewtoniandynamicsmethodtoestablishthedynamicequation，andlinearizationprocessingtogetthestatespacemodel.ThenusingLQRcontrolthemodelofrespectively，undertheenvironmentofMATLABsimulation.Theexperimentalresul

4、tsshowthatquadraticoptimalcontrolhasthecharacteristicsofgoodresponseperformanceandthealgorithmissimple，itisofgreatsignificanceinpracticalapplication.Keywords：ingleInvertedPendulum;LQR;optimumcontrol;MATLAB1.引言单级倒立摆是一种典型的多变量、非线性、强耦合的不稳定系统，对它的研究可归结为对多变量非线性系统的研究，具有一定的理论价值【1】。从工程应用上讲，卫星的姿态控制、机器人的关节运动控制和

5、起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处【2】。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。2.单级倒立摆系统的数学模型2.1一级倒立摆的数学模型利用牛顿-欧拉分析方法来对直线型倒立摆系统进行数学建模【3】。为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车与摆杆构成系统，如图2-1所示。图2-1直线倒立摆系统的抽象图我们不妨做以下假设：小车的质量M;均匀杆的质量m;小车的摩擦系数b;均匀杆的质心到杆轴心长度l;均匀杆的惯量I;均匀杆与垂直向上方向夹角;均匀杆与垂直向下方向夹角考虑摆杆初始位置为竖直

6、向下。分别对小车和均匀杆进行受力分析，建立单级倒立摆系统数学模型。小车水平方向受力：2-1摆杆水平方向受力：2-2摆杆竖直方向受力：2-3可以进行如下处理，设当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，。为了得到控制理論的习惯表达，即u为一般控制量。2.2实际应用在这里，我们参考了一些数据。代入数据得状态方程各矩阵为：3.倒立摆的二次型最优控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。找一状态反响控制律：使得二次型性能指标最小化：其中，xt为系统的状态变量;t0、tf为起始时间与终止时间;S为终态约束矩阵;Qt为运动约束矩阵;Rt为约束控制矩阵。其中Q、R决定了

7、系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：式中，矩阵Pt为微分Riccatti方程：的解。如果令终止时间tf=1，Pt为一个常数矩阵，且Pt=0，因此以上的Riccatti方程简化为：最优反响系数矩阵：Matlab【4】中提供了专门的求解工具lqr来求取K。4.仿真结果及分析取不同的Q，R时，研究LQR控制倒立摆摆角和小车位移零状态仿真结果。设定初始参数为：其中Q11代表小车位置的权重，而Q33是摆杆角度的权重，输入的权重R是1。现在改变Q的权值，本次将通过改变小车位置状态变量的权值观察变化。即：比照仿真结果如图4-1、图4-2所示。图4-1零状态响应曲线

8、一图4-2零状态响应曲线二图4-3最优零状态响应曲线比较不同的Q取值时的响应曲线可以得出：当Q11，Q33比值相同时，对于值较大时系统，其响应速度加快，但是超调量加大;反之那么响应变慢，但是超调量减小。通过比较，我们选取较优的Q值，如下：此时的响应曲线如图4-3所示。从仿真效果可得到：系统经最优反响后，无论零状态响应或者是单位阶跃响应，小车位移和均匀杆角度都可以在较短的时间内回到平衡状态。5.结束语本文针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到倒立摆的状态空间模型。然后，重点基于LQR对一级倒立摆进行了最优控制器的设计;并在MATLAB环境下，对倒立摆系统进行仿真实验，仿真结果说明控制效果良好。参考文献【1】BilingSA，TsangKM.Spectralanalysisfornonlinearsystems.Part：InterpretationofnonlinearfrequencyresponsefunctionJ.MechanicalSystemsandSignalProcessing，1989，34：341-359.【2】ZhangH，BillingsSA.Analyzingthetransferfunctionofnonlinearsystemsinthefrequencydoma