等差数列的性质总结

1、桑博教育教学设计主备：刘德志等差数列的性质总结1.等差数列的定义：an an 1 d (d为常数)(n 2)；2 等差数列通项公式:ana1 (n 1)d dn a1 d (n N )首项：a1，公差:d，末项：an推广： an am (n m)d .从而da namn m3.等差中项(1) 如果a , A , b成等差数列，那么(2) 等差中项：数列an是等差数列A叫做a与b的等差中项.即:" a b亠A 或 2A a22anan-1an 1 (n 2)2an 1 an an 2-4 -4.等差数列的前n项和公式:Snn(a12an)na1n(n(其中A、E是常数，所以当d工0时,

2、d 212n -d)n An Bn2 2S是关于n的二次式且常数项为0)特别地，当项数为奇数2n 1时，an 1是项数为2n+1的等差数列的中间项S2n 12n 1 a1 a2n 122n 1 an 1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5.等差数列的判定方法(1) 定义法：若an an 1 d或an 1(2) 等差中项：数列 an是等差数列an d (常数n N )an是等差数列.2anan-1an 1(n 2)2a n 1an an 2 .数列an是等差数列(4)数列an是等差数列an kn b (其中k, b是常数)。2Sn An Bn ,(其中A、B是常数)。6.等差数

3、列的证明方法定义法：若an an 1 d或an 1 an d (常数nN) an是等差数列.7.提醒：、d称作为(1) 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中基本元素。只要已知这5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。(2) 设项技巧： 一般可设通项an a1 (n 1)d 奇数个数成等差，可设为，a 2d,a d,a,a d,a 2d(公差为d )； 偶数个数成等差，可设为，a 3d, a d,a d,a 3d , (注意；公差为2d )8.等差数列的性质：(1)当公差d 0时， 等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a

4、1 d是关于n的一次函数，且斜率为公差 前n和Sn n 呃dn2 (a1 -)n是关于n的二次函数且常数项为0.2 2 2(2)若公差d 0,则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d 0 ,(3)当 m n p注：a1 anq时,则有ama2an 1a3anap aq ,特别地，当m nan 2,2p时，则有am and ;则为常数列。2ap.(4)若an、bn为等差数列，则an b , 1an2bn都为等差数列若an是等差数列，则Sn,S2nSn,S3n S2n，也成等差数列)仍为等差数列(6)数列an为等差数列，每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am 2k,am 3

5、k,(7)设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和, 1当项数为偶数2n时，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和S奇a1a3a5a2n 12nanS偶a2a4a6na2a2nnan 1a2n2S偶S奇 na,n 1nann an 1an =ndS奇ria.anS偶nan 1an 12、当项数为奇数攵2n1时，则S2n1S奇S偶(2n1) an+1S奇(n 1)an+1S奇S偶an+1S偶n an+1n 曰 a2n i(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项)(8) anA、bn的前 n和分别为A、Bn，且f(n),Bn则西bn即17餌5 1).(2n 1)bnB2n 1(9)等

6、差数列an的前n项和Sm n，前m项和Sn m，则前m+n项和Sm n m n(10)求Sn的最值法一：因等差数列前 n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N。法二：(1) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和an 0即当a1 0, d 0,由n可得Sn达到最大值时的n值.an 10(2) “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。an 0即当a1 0, d 0,由可得Sn达到最小值时的n值.an 10或求an中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值(或最小值