要点梳理一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二PPT学习教案

1、会计学1 2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解的算法过程为 一元二次方程一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0( (a a0)0)的根的根有两相异有两相异实根实根x x1 1, ,x x2 2( (x x1 1 00( (a a0)0)的解集的解集_axax2 2+ +bxbx+ +c c00)0)的解集的解集_ab2x|xx1x|xRx|xx2x|x1x0 (0)中的a均大于0,若a0的解集为x|-1x , 则ab的值为 （ ） A.-6 B.-5 C.6 D.5 解析 因x=-1, 是方程ax2+bx+1=0的两根, a=-3,b=-2

2、,ab=6. 3131,1311,32,311aabab又C第5页/共49页3.(2009四川理，1)设集合S=x|x|5,T=x|x2+ 4x-210,则ST= （ ） A.x|-7x-5 B.x|3x5 C.x|-5x3 D.x|-7x5 解析 S=x|-5x5,T=x|-7x3, ST=x|-5x3. C第6页/共49页4.不等式 的解集是 （ ） A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2 解析 (x-2)(x+1)0且x-1-1x2.012xx012xxD第7页/共49页5.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a的取值范围 是 （ ） A

3、.a|0a4 B.a|0a4 C.a|00时，相应二次方程中 的=a2-4a0,解得0a4, 综上得 a|0a4. Da第8页/共49页 题型一 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x2+4x+30; (2)-3x2-2x+80; (3)8x-116x2. 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.题型分类 深度剖析思维启迪第9页/共49页解 （1）=42-423=16-24=-80.方程2x2+4x+3=0没有实根.2x2+4x+30的解集为 .

4、（2）原不等式等价于3x2+2x-80(x+2)(3x-4)0 x-2或x 不等式的解集为(-,-2 ,+).（3）原不等式等价于16x2-8x+10 (4x-1)20.只有当4x-1=0,即 时不等式成立，故不等式解集为 .343441x.41第10页/共49页探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化 为标准形式;(2)确定判别式的符号;(3)若0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若0，则对应 的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集. 第11页/共49页知能迁移1 解下列不等式： 解

5、（1）两边都乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的解是 所以原不等式的解集是.)( ;)(221618203221xxxx ,331,33121xx.331331 |xx第12页/共49页(2)方法一 原不等式即为16x2-8x+10, 其相应方程为16x2-8x+1=0,=(-8)2-416=0,上述方程有两相等实根 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知,原不等式的解集为R.方法二 8x-116x2 16x2-8x+10 (4x-1)20,xR,不等式的解集为R. ,41x第13页/共49页题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】已知不等式 (aR). (1

6、)解这个关于x的不等式; (2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围. 讨论a的取值,首先看是否可化为一元二 次不等式，其次看根的大小. 011xax思维启迪第14页/共49页解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0.当a=0时,由-(x+1)0,得x0时,不等式化为 解得x 当a0时,不等式化为 若 即-1a0,则 若 即a=-1,则不等式解集为空集;若 即a-1,则 , 0) 1)(1(xax;1a; 0) 1)(1(xax, 11a, 11a, 11a; 11 xa.11ax 第15页/共49页综上所述,a-1时,解集为 a=-1时,原不等式无解;-1a0时,解集为 a=0时,

7、解集为x|x0时,解集为 (2)x=-a时不等式成立, 即-a+11,即a的取值范围为（1，+）.11| xax;11|axx.11|axxx或, 0112aa第16页/共49页探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若不易分解因式,则要对判别式分类讨论,分类应不重不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小,以便写出解集.(2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分

8、类讨论的数学思想. 第17页/共49页知能迁移2 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30.解 原不等式可变形为(x-a)(x-a2)0,则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2.当a0时,有aa2,xa2,此时原不等式的解集为x|xa2;当0aa2,xa,此时原不等式的解集为x|xa;当a1时,有a2a,xa2,此时原不等式的解集为x|xa2;当a=0时,有x0,原不等式的解集为x|xR且x0;第18页/共49页当a=1时,有x1,此时原不等式的解集为x|xR且x1.综上可知:当a1时,原不等式的解集为x|xa2;当0a1时,原不等式的解集为x|xa;当a=0时,原

9、不等式的解集为x|x0;当a=1时,原不等式的解集为x|x1. 第19页/共49页题型三 一元二次不等式的应用 【例3】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价 上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变 成现在的z倍. (1)用x和y表示z; (2)设y=kx(0k1),利用k表示当每月售货总金额最 大时x的值; (3)若 求使每月售货总金额有所增加的x值的 范围. 通过代数化简,将问题转化成解一元二次 不等式问题. ,32xy 思维启迪第20页/共49页解 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为 元,每月卖出数量为 件,每月售货总金额是npz元,因而 所以 (2)在y=kx

10、的条件下， 整理可得 由于0k1，应有 即x(x-5)0，解得0 x0，方程R2-10R+16=0的两个实数根为x1=2,x2=8.然后画出二次函数y=R2-10R+16的图象，由图象得不等式的解为2R8. 第24页/共49页题型四 一元二次不等式的恒成立问题 【例4】（12分）已知不等式mx2-2x-m+10.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范 围；（2）设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立, 求x的取值范围. （1）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解. （2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式， 利用其解集为-2，2，求参数

11、x的范围. 思维启迪第25页/共49页解 （1）不等式mx2-2x-m+10恒成立，即函数f(x)= mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时，1-2x 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分 当m0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即综上可知不存在这样的m. 6分21.,0)1 (440无解则mmmm第26页/共49页(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式, 可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为-2,2,求参数x的范围. 7分设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),则其为一个以

12、m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2m2时线段在x轴下方，分即901220322,0)2(0)2(22xxxxff第27页/共49页分分的的取取值值范范围围为为分分得得由由得得解解或或得得解解12231271-11231271-231231271271.|., xxxxxxx第28页/共49页探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 第29

13、页/共49页知能迁移4 已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时, f(x)a恒成立，求a的取值范围. 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a, 当a(-,-1)时，结合图象知，f(x)在-1,+) 上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina, 即2a+3a,解得a-3,又a-1, -3a0或ax2+bx+c0. 如解不等式6-x25x时首先化为x2+5x-60或ax2+bx+c0)与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.方法与技巧思想方法 感悟提高第32页/共49页（1）知道一元二次方程ax

14、2+bx+c=0的根可以写出对 应不等式的解集；（2）知道一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0或ax2+ bx+c0，如果a=0它实际上是一个 一元一次不等式； 只有当a0时它才是一个一元二次不等式.2.当判别式0 (a0)解集为R; ax2+bx+c0)解集为 .二者不要混为一谈. 失误与防范第34页/共49页一、选择题1.(2009陕西理,1)若不等式x2-x0的解集为M,函 数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则MN为 ( ) A.0,1) B.(0,1) C.0,1 D.(-1,0) 解析 不等式x2-x0的解集M=x|0 x1,f(x)= ln(1-|x|)的

15、定义域N=x|-1x1, 则MN=x|0 x1.定时检测A第35页/共49页2.已知不等式ax2-bx-10的解集是 则不等 式x2-bx-a0的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. 解析 由题意知 是方程ax2-bx-1=0的根,所 以由韦达定理得 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a0即为x2-5x+60的解集是R,q:-1 a0的解集是R等价于4a2+4a0, 即-1a0. C第37页/共49页4.设命题p:|2x-3|1,q: 则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 不等式|2x-3|

16、1的解是1x2, 不等式 的解是1x2,则实数t的取值 范围是 （ ） A.（-,-1）(4,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) 解析 由题意知t2-2t-12且t0,或-2t+62且t3或t0. . 0, 62, 0, 122xxxxxD第39页/共49页6.在R上定义运算：x*y=x(1-y).若不等式（x-a）* (x+a)1对任意实数x恒成立，则 （ ） A.-1a1 B.0a2 C. D. 解析 依题设得x-a-x2+a20,y0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+ f(x)2f(4)的解集为_. 解析 由已知得

17、f(x+6)+f(x)=f(x+6)x, 2f(4)=f(16).根据单调性得(x+6)x16, 解得-8x0,x0,所以0 x2. (0,2)第41页/共49页8.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_. 解析 令f(x)=x2+ax+a2-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负根， 则只需f(0)0,即a2-10, -1a1. -1a0恒成立,则b的取值范围是_. 解析 依题意，f(x)的对称轴为x=1,又开口向下， 当x-1，1时，f(x)是单调递增函数. 若f(x)0恒成立， 则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+10, 即b2-b-20,(b-2)(b+1)0, b2或b2或b1或x0时，不等式即为 故其解集为 当a0时，不等式即为, 0) 1)(2(xax;12|xaxx或,2) 1(2, 0) 1)(2(aaaxax第45页/共49页当-2a0时， 故其解集为 当a=-2时，不等式即为(x+1)20,故其解集为x|x=-1；当a0