多元函数的基本概念

1、第一讲 多元函数的基本概念 一元函数一元函数类比法类比法 多元函数多元函数 推广、深化推广、深化 学习方法学习方法 一元函数一元函数 多元函数多元函数 温故知新、注意差异温故知新、注意差异 二元函数二元函数 n元函数元函数 以二元函数为主以二元函数为主多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义(

2、(一一) )引例引例圆柱体的体积圆柱体的体积rh三角形的面积三角形的面积abcu例例1hrV2 底面半径：底面半径：r高：高：hu例例2三边长：三边长：cba,)()(cpbpappS )(21cbap (海伦公式海伦公式)两边长：两边长：ba,夹角：夹角：C(1)(2)CabSsin21 (正弦定理正弦定理)C二元函数二元函数三元函数三元函数一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义( (二二) )平面点集平面点集圆柱体的体积圆柱体的体积rh三角形的面积三角形的面积abcu例

3、例1hrV2 底面半径：底面半径：r高：高：hu例例2三边长：三边长：cba,)()(cpbpappS )(21cbap (海伦公式海伦公式)两边长：两边长：ba,夹角：夹角：C(1)(2)CabSsin21 (正弦定理正弦定理)C定义域定义域0, 0| ),( hrhrDf0, 0, 0| ),( cbacbaDf0 , 0, 0| ),( CbaCba平面点集平面点集空间点集空间点集二元函数二元函数三元函数三元函数平面点集的有关概念平面点集的有关概念二维空间：二维空间：二元有序实数组二元有序实数组(x,y)的全体的全体, 即：即：记作：记作：l注注二维空间的几何意义二维空间的几何意义坐标平

4、面坐标平面二维空间的元素二维空间的元素( ,)Px y坐标平面内的点坐标平面内的点平面点集：平面点集：二维空间的任一子集二维空间的任一子集,记作：记作：平面点集平面点集E通常是具有某种性质的点的集合通常是具有某种性质的点的集合, 记作：记作：E=(x,y)|(x,y)具有性质具有性质P(1)(2),| ),(RyRxyx 2RE l注注或或RR 2R例例第一象限内的点第一象限内的点n维空间中的点集：维空间中的点集：记作：记作：(1)y轴上的点轴上的点(2)(3)单位圆内的点单位圆内的点n维空间：维空间：n元有序实数组的全体构成的集合元有序实数组的全体构成的集合, 即：即：n维空间中的元素：维空

5、间中的元素：| ), 0(Ryy 0, 0| ),( yxyx1| ),(22 yxyx, 2 , 1,| ),(21niRxxxxin 或或nRRRR ),(21nxxx中的一个点或一个中的一个点或一个n维向量维向量nR中的任一子集中的任一子集nR一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义二元函数的定义二元函数的定义的一个非空子集的一个非空子集,设设D是是2R称映射称映射R:Df为定义在为定义在D 上的上的二元函数二元函数 ,记为记为 f ( D )因变量因变量自变量自变量定

6、义域定义域值域值域Dyxyxfz ),(),(l注注（2）注意符号注意符号f 和和f (x,y)的区别的区别.（3）表示函数的记号可以任意选取表示函数的记号可以任意选取.（1）二元函数也常记作：二元函数也常记作：.),(DPPfz n元函数的定义元函数的定义 把二元函数定义中的平面点集把二元函数定义中的平面点集D换成换成n维空间维空间 的点集的点集D，映射映射f:DR就称为定义在就称为定义在D上的上的n元函数元函数.nR对于在对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的，对应的函数值为函数值为z=f(x,y).当当(x,y)遍取遍取D上的一切点时，得到

7、的空间点集上的一切点时，得到的空间点集称为称为二元函数的图形二元函数的图形.M二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xoyz二元函数的图形二元函数的图形),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 二元函数的定义域二元函数的定义域使算式有意义的点的集合使算式有意义的点的集合.求下列函数的定义域求下列函数的定义域:u例例3(1)2221)ln(yxxyz (2)21),(xyxf 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性二二 多元函数的

8、极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性邻域邻域 )(0oPPU00 PP点点 P0 的去心邻域记为的去心邻域记为l注注设设的距离小于的距离小于 的点的点P(x,y)的全体的全体,称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.),(000yxP是是xoy平面上的一个点平面上的一个点, 是某一正数是某一正数. 与点与点),(000yxP记作记作),(0 PU即：即：|),(00 PPPPU也就是：也就是：)()(| ),

9、(),(20200 yyxxyxPU若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,邻域也可写成邻域也可写成)(0PU聚点聚点E若对任意给定的若对任意给定的 , 点点P 的去心邻域的去心邻域) ,(PU内总有内总有E 中的点中的点 , 则称则称P 是是 E 的聚点的聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E , 也可以不属于也可以不属于 E l注注二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性也记作：也记作：记

10、作记作:定义定义设二元函数设二元函数常数常数 A 为函数为函数是是D的聚点的聚点,若存在常数若存在常数 A ,都有都有对任意给定的正数对任意给定的正数 ,),()(yxfPf 的定义域为的定义域为D,),(000yxP总存在正数总存在正数 ,使得当点使得当点),(),(0o PUDyxP 时时, |),(|)(|AyxfAPf成立，那么就称成立，那么就称),(yxf当当),(),(00yxyx时的极限时的极限,Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或),(),(),(00yxyxAyxfAPfPP )(lim0或或)()(0PPAPfl注注 二元函数的极限也称二元函数的极限也称二重极

11、限二重极限.证明下列极限证明下列极限:u例例4(1)01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx(2)0lim222)0 , 0(),( yxyxyx二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性l四则法则四则法则l夹逼准则夹逼准则l复合法则复合法则运算法则运算法则u例例5 求下列极限求下列极限: (1)(2)xxyyxsinlim)2 , 0(),(222)0 , 0(),()s

12、in(limyxyxyx 22)0 , 0(),(1sin)(limyxyxyx (3)二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二二 多元函数的极限多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性u例例6 讨论下列函数极限的存在性讨论下列函数极限的存在性:(1) ),(yxf22yxxy 022 yx022 yx0当当)0 , 0(),(yx时时(2)242),(yxyxyxf 当当)0 , 0(),(yx时时多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的

13、概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质定义定义设二元函数设二元函数是是D的聚点的聚点,),()(yxfPf 的定义域为的定义域为D,),(000yxP且且.0DP 如果如果),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则称函数则称

14、函数),(yxf在在),(000yxP连续连续.设函数设函数),(yxf在在D上有定义，上有定义，D内的每一点都是函数定义域的内的每一点都是函数定义域的聚点，如果函数聚点，如果函数),(yxf在在D的每一点都连续，那么就称函数的每一点都连续，那么就称函数),(yxf在在D上连续，或者称上连续，或者称),(yxf是是D上的上的连续函数连续函数.u例例7 设设,sin),(xyxf 证明证明),(yxf是是2R上的连续函数上的连续函数.定义定义定义定义设函数设函数是是D的聚点的聚点,),(yxf的定义域为的定义域为D,),(000yxP如果函数如果函数),(yxf在在),(000yxP不连续不连续

15、, 则称则称),(000yxP为函数为函数),(yxf的的间断点间断点.u例例8 指出下列函数的间断点指出下列函数的间断点: ),(yxf22yxxy 022 yx022 yx0(1)11sin),(22 yxyxf(2)三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到

16、的一个式子表示的多有限次的四则运算和复合运算得到的一个式子表示的多元函数称为元函数称为多元初等函数多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.结论结论u例例9 求下列函数的极限求下列函数的极限:xyyxyx )2 , 1(),(lim(1)(2)xyxyyx11lim)0 , 0(),( 三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质（

17、三）有界闭区域上多元连续函数的性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1有关概念2有关性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1有关概念2有关性质内点、外点、边界点内点、外点、边界点 若存在点若存在点P的某邻域的某邻域U(P),使得使得U(P) E, 若存在点若存在点P的某邻域的某邻域U(P),使得使得U(P)E= ,E则称则称P为为E的内点；的内点；则称则称P为为E的外点的外点;则称则称P为为E的边界点的边界点 . 若点若点P的任一邻域的任一邻域U(P)内既含有属于内既含有属于E的点也含有不属于的点也含有不属于的点的点, E的内点必属于的内点必属于E E的

18、外点必不属于的外点必不属于E E的边界点可能属于的边界点可能属于E, 也可能不属于也可能不属于E. 设有点集设有点集 2RE 及点及点 2RP l注注D开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集E的点都是内点，则称的点都是内点，则称E为开集；为开集； 若点集的边界若点集的边界 E E, 则称则称E为闭集；为闭集； 开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域. 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域 ,简称区域简称区域 ;。 。 E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的边界的边界, 记作记作 E ; 若点集若点集E内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于的点都属于E,则称则称E为连通集为连通集 对于平面点集对于平面点集E,如果存在某一正数如果存在某一正数r,使得使得 E U(O,r),其中其中O是坐标原点，则称是坐标原点，则称E为有界集为有界集,否则称为无界集否则称为无界集例例 0),( yxyx 41),(22 yxyx 0),( yxyx 41)