1月全国自考线性代数试题及答案解析

1、全国 2018 年 1 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码： 02198一、填空题 (每小题 2 分，共 36 分 )abc1.行列式 a 2b 2c 2=_.a3b 3c 32.设三阶方阵 A 的行列式 det(A)=3 ，则 A的伴随矩阵 A * 的行列式 det(A * )=_.(a 2)x14 x2x 3 03.当 a=_时，方程组4x 1(a3)x 24x 30 有非零解 .x1 4 x2(a4)x 304.设 A=abc，且 det(A)=ad-bc 0，则 A - 1=_.d5.设 A=12， B=21310，C=(2 - 1)，则 (A - B)C T=_.36.设向量1

2、=(1,2,0),2 =( - 1,0,3),3 =(2,3,4), 且满足： 2(1 -)+(+ 2)=3( 3- )，则=_.7.若 1 ,2 线性无关， 而1, 2,3 线性相关，则向量组1 ,22 ,33 的最大无关组为 _.8. n 元齐次线性方程组AX=0 的系数矩阵 A 的秩 r<n，则 AX=0的基础解系所含向量的个数是_.x 1 x 22x 319.设方程组x 1x32，当 a 取 _时，方程组无解 .5x13x 2(a8)x 3810.若 =3 是可逆方阵 A 的一个特征值，则A - 1 必有一个特征值为 _.11.设1 , 2 分别属于方阵A 的不同特征值1, 2

3、的特征向量，则1 与 2 必线性 _.12.设1 =(1,0,1),2 =(0,1,1), 则与1 , 2 均正交的非零单位向量为_.13.设 A 为实对称矩阵，1 =(- 1,1,1) T ， 2 =(3, - 1,a)分别是属于A 的相异特征值1 与 2的特征向量，则a=_.14.设三阶方阵 A 的特征值为 1，- 1， - 1，且 B=A 2，则 B 的特征值为 _.115.设向量组1 =(1,2,3),2 =(2,1,3),3 =( - 1,1,0),则向量组1, 2,3 的秩是 _.16.设 1,2 是方程组 AX=b的两个解，则 _必是 AX=0的解 .21017.设实对称矩阵 A

4、=11a是二次型 f(x 1,x2,x3)矩阵，则二次型f(x 1,x2,x3)=_.0a318.1 2x212+2x21 2设实二次型f(x,x )=1+txx2 ，则当 t 的取值为 _时，二次型 f(x ,x )是正定的 .二、计算题 (共 54 分 )112312x 223=0.1. (5 分 )解方程：31522319x 21111112. (5 分)设 A=022，B=110 且满足 XA=B ，求 X.1102113. (6 分 )已知向量 =(- 1,2, )可由1 =(1, - 1,2)，2 =(0,1, - 1)，3 =(2, - 3, )唯一地线性表示，讨论的取值范围 .

5、4. (5 分 )设 1R3 的一组基为 1 =(0,1,1),2 =(1,1,0),3 =(1,0,1), 试将1 ， 2， 3 化为 1R3的一组标准正交基.5. (5 分 )设三阶方阵 A 的特征值为 1，2，- 2，又 B=3A 2- A 3,说明 B 能否对角化 ?若能对角化，试求与 B 相似的对角阵 .6. (8 分 )设矩阵 C=A (A - 1)2+A *BA - 1 A.110123其中， A=011,B= 456.111789A *为 A 的伴随矩阵 .(1) 化简 C(2)计算 det(C).1427. (10 分 )求方阵 A=340的特征值及特征向量 .3131111x 18. (10 分)设 A= 2a2b2 ,B=3,X= x2,就 a,b 各种取值，讨论非齐次线性方程03aa2b3x32组 AX=B 的解，如有解，就求出解.三、证明题 (每小题 5 分，共 10 分 )1.设