二阶非齐次线性微分方程的解法

1、目 录待定系数法常数变异法幂级数法特征根法升阶法降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法解决常系数齐次线性微分方程特征方程 (1) 特征根是单根的情形设是特征方程的的个彼此不相等的根，则相应的方程有如下个解： 如果均为实数，则是方程的个线性无关的实值解，而方程的通解可表示为如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设是一特征根，则也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程有两个复值解它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，我们可求得方程的两个实值解（2） 特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，对应于方程的个

2、线性无关的解。若这个重零根设特征根为其重数为。方程的解为对于特征方程有复重根的情况，譬如假设是重特征根，则也是重特征根，可以得到方程的个实值解例1 求方程的通解。解 特征方程的根为有两个实根，均是单根，故方程的通解为这里是任意常数。例2 求解方程 的通解。解 特征方程的根为有两个复根，均是单根，故方程的通解为这里是任意常数。某些变系数线性齐次微分方程的解法（1） 化为常系数1. 在自变量变换下，可化为常系数的方程一类典型的方程是欧拉方程 我们想找一个变换，使方程的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。根据方程本身的特点，我们选取自变量的变换，并取，即变换 就可以达到上述目的（这里设，当时

3、，取，以后为确定起见，认为）。事实上，因为代入方程，则原方程变为方程常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换，代回原来的变量，就得到原方程的通解。例 求方程的通解解 此方程为欧拉方程，令，则由知，原方程化为 其特征方程为特征根为，故方程的通解为换回原自变量，则原方程的通解为2. 在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程现在考虑二阶变异系数线性方程 的系数函数满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换化为常系数方程。这里是待定函数。为此，把代入方程，可得到欲使为常系数线性齐次方程，必须选取使得及的系数均为常数。特别地，令的系数为零，即可求得再代入，整理之，得到 由此可见，方程可经

4、线性齐次变换化为关于的不含一阶导数项的线性齐次方程，且当的系数为常数时，方程为常系数方程。因方程在形如的变换下，函数的值不会改变，故称为方程的不变式。因此，当不变式为常数时，方程可经变换化为常系数线性齐次方程。例求方程的通解解 这里，因故令就可把原方程化为常系数方程可求得其通解为代回原变量，则得原来方程的通解为（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。已知的一个特解，试求该方程的通解解 作变换，则原方程可化为一阶线性微分方程求解，得所以原方程的通解为法二 设是方程的任

5、一解，则有刘维尔公式得其中常数，亦即以积分因子乘上式两端，就可推出积分上式可得到例 求方程的通解解 由观察知方程有一特解，令则，代入方程，得再令，得一阶线性齐次方程从而可得取便得原方程的另一解显然，解线性无关，故方程的通解为幂级数法考虑二阶线性微分方程及初值及的情况可设一般性，可设，否则，我们引进新变量，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于的就是了.因此总认为. 定理 若方程中的系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为,则方程有形如的特解，也以为级数的收敛区间.定理 若方程中的系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为,则方程有形如的特解，也以为级数的收敛区间.定理 若方程中的系数和具有这样的性质，即

6、和都能展成的幂级数，且收敛区间为,若，则方程有形如的特解，是一个待定的常数.级数也以为级数的收敛区间.例 求方程的满足初值条件及的解解 设 为方程的解.利用初值条件，可以得到因而将的表达式代入原方程，合并的同次幂的项，并令各项系数等于零，得到因而最后得对一切正整数成立.将的值代回就得到、这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程解 因为，所以在的邻域内有形如的幂级数解.将代入原方程，得比较的同次幂的系数，得解得 所以，原方程的通解为即方程组的消元法 在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例 求解线性微分方程组解

7、 从第一个方程可得 把它代入第二个方程，就得到关于的二阶方程式不难求出它的一个基本解组为把和分别代入式，得出的两个相应的解为由此得到原来微分方程组的通解为其中和为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程类型一 的特解，其中为特征方程的根的重数(单根相当于；当不是特征根时，取),而.类型二 的特解，其中为特征方程的根的重数，而均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式，.求方程的通解解 先求对应的齐次线性微分方程的通解.这里特征方程有两个根.因此，通解为，其中为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里又因为不是特征根，故可取特解形如,其中待定常数.为了确定

8、A,B,将代入原方程，得到，比较系数得由此得从而因此，原方程的通解为求方程的 通解.解 特征方程有重根，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为其中为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为不是特征根，我们求形如的特解，将它代入原方程并化简得到比较同类项系数得从而因此原方程的通解为方法二由方法一知对应的齐次线性的通解为为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程 的特解.这是属于类型一，而不是特征根，故可设特解为分出它的实部于是原方程的通解为注：对于这是因为，求的通解.对应的齐次方程的特征方程为即得特征根为对应方程，设其特解为代入方程则的即方程的一个特解为对应方程，设其特解为代入方程则的

9、 即方程有一个特解为对应方程，设其特解为代入方程则的 即方程有一个特解为所以原方程的通解为这里是任意常数.升阶的方法升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】 例 用升阶法求方程的一个特解 解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得令，则代回原方程，得，解之，有，该表达式几位方程的一个特解. 例 用升阶法求方程的一个特解解 先求解方程，令，代入方程，得，取，进一步取，则其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为 常数变

10、易法定理 如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程的基本解组，那么，非齐次线性微分方程的满足初值条件的解有下面公式给出这里是的朗斯基行列式，是在中的第列代以后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解都具有形式这里是适当选取的常数.特别地，当时的特解为其中因此，当时，常数变易公式变为 而通解就是 法二设是方程的基本解组，当满足以下条件时，是方程的通解，满足条件的，则为二阶非齐次线性微分方程的通解例 试求方程的一个解解 易知对应的齐次线性微分方程的基本解组为我们直接利用公式来求方程的一个的一个解。这时取是对应的齐次线性微分方程的一个解，所以函数也是原方程的一个解。 218页13题165页6题参考文献1王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社 常微分方程第三版2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社3都长清