一元函数的导数和微分

1、一、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。导数： 样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。二、常数和基本初等函数求导公式(1)(C)0(2)(x ) x 1(3)(sin x) cosx(4)(cos x) sin x(5)(tan x)sec2 x(6)(cot x) csc2 x(7)(sec x) secxtan x(8)(csc x) cscxcot x(9)(ax)axlna(10)(ex)ex(11)1(log a x)xlna(12)(ln x) 1 x，(13)1(arcsinx)1x(14)(arccosx) 11x(15)(arcta

2、n x)1 x2(16)(arccot x) 1 21 x2三、函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x)， v v(x)都可导，则1)(u v) u v3)(uv) u v uv若函数 x ( y)在某区间Iy内可导、 单调且 (y) 0， 则它的反y f (x) 在对应区间I x内也可导，且f (x)1(y)dydxdxdy五、复合函数求导法则设 y f(u)，而 u (x)且 f(u)及 (x)都可导，则复合函数y f (x)的导数为dydy dudxdu dx 或y f (u) (x)六、高阶导数的莱布尼兹公式七、隐函数的导数一般地，如果变量x， y之间的函数关系是由某一个方程F

3、x, y 0 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数(包括幂指函数)的求导. 这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，. 幂指函数的一般形式为y uv u 0 ，其中u,v是 x的函数 .八、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程x t ， （ t为参数） yt确定 y与 x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如果函数x t ， y t 都可导，且t0，又x t 具有单调连续的

4、反函数t 1 x ，则由参数方程所确定的函数可以看成 y t 与 t 1 x 复合而成的函数y 1 x ，根据复合函数与 反函数的求导法则，有dydy dtdy1t，dxdt dxdtdxtdtdyt ，dxt ，dy也可写成dy dt .dx dxdtt2求方程 x 3e 所确定的函数的二阶导数d 2y .y 2etdx2dy2et2et 2 2t，tedx3e t3e t 34 e2td 2 yd dyd22t d22t dt42t 1343te2teet edx2dx dxdx3 dt3 dx3 dx3e9dt注意二阶导的求法。九、微分1、定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义，

5、x0及x0x在此区间内，如果函数的增量yf(x0x) f (x0)可表示为y A x o( x)其中 A是不依赖x的常数，那么称函数y f(x)在点x0点可微的，而 A x叫做函数y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy A x dy f ( x) dx2、可微与可导关系对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的结论 y f(x)在点x0处可微y f(x)在点x0处可导，且 f (x0) A，由此 dy f (x0) x。主部的定义y dy o( x)dy是 y的主部，因而y dy3、微分的几何意义函数 y f (x)的图形是一条曲线，y函数 y f (x)是可微的，当 y是曲线 yf(x)的点的纵坐标的增 量 时 ， dy 就 是 曲 线 的 切 线 上 点 的 纵 坐 标 的 增 量当 x很小时 , 在点 M的附近 , 切线段近似代替曲线段。因而，y dy4、微分在近似计算中的应用利用为微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当| x |很小时，有y dy f (x0 ) x 即f(x0 x)f(x0) f (x0) x 或 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)