一元二次根的分布情况归纳完整版(1)

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1,x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0，方程 的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况0于0根都 x2两0负根 x10大于 0 都2 两0 根 x1小 x2 个根 0 即一 x1 即根0 负于 一大 根 个大 一正 ，一个0于0 大致图象（ ）a得出的结论000b 2a0f000b 2a0f00f0 大

2、致图象（ ）a得出的结论000b2a0f000b2a0f00f综合结论（不讨论a）000b2af0a000ba0b2fa00 f a12表二：（两根与 k 的大小比较）分布情两根都小于 k 即x1 k, x2 k两根都大于 k 即x1 k, x2 k一个根小于 k ，一个大于 k即x1k x2大致图象（k得出的结k0b2a大致图象（得出的结b2ak0b2a综合结论（不讨论a）k0b2ak0bab2表三：（根在区间上的分布）0分布情况 大致图象（ ） 得出的结a大致图象（得出的结论综合结论（不讨根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n 外，即在区间两侧 x1 m,x2 n ，（图形分别

3、如下）需满足的条件是f n 02) a若 f m 0或 f n 0 ，则此时m f n 0不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m或 n，可f m 00时，f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1）两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况：以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 2 x 2 0在区222m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为 ，由 13 得m 2mm3m,n 内，即0 ，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的间 1,3 上有一根， 因为 f 1 0，所以 mx2 即为所求；方程有且只有一根，且这

4、个根在区间值带入方程， 求出相应的根， 检验根是否在给定的区间内， 如若不在， 舍去相应的参数。 如方程 x2 4mx 2m 6 0 有且一根在区间 3,0 内，求 m的取值范围。分析：由 f 3 f 0 0即 14m 15 m 3 0得出153 m ；由1420 即 16m24 2m630 得出 m 1 或 m，当 m21 时，根 x2 3,0 ，即m 1 满足题意；当 m时，根 x33,0，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 3 m15或m12214根的分布练习题例 1 、已知二次方程2m 1 x22mxm1 0 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。解：由 2m 1 f 0 0 即

5、 2m 1 m 1 0 ，从而得 1 m 1即为所求的范围。2例 2、已知方程 2x2 m 1 x m 0 有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。解：由02m 1 8m 0m 3 2 2或 m 3 2 2m10m12 2 0f 0 0m0m00 m 3 2 2 或 m 3 2 2 即为所求的范围。2例 3 、已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与 x 轴有两个交点， 一个大于 1，一个小于 1 ，求实数 m 的取值范围。解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0 2 m 1 即为所求的范围。例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小

6、于 1，求实数 m 的取值范围。 解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根， 则 f 0 f 1 0 4 3m 1 0 m 1 即为所求范 围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1 内，由 0 计算检验，均不复合题意， 计算量稍大）例 1、当关于 x的方程的根满足下列条件时，求实数 a 的取值范围：22（1）方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；22（2）方程 7x2 （a 13）x a2 a 2 0的一个根在区间 （0,1） 上，另一根在区间 （1,2） 上；2（3）方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 0； 变题：方程

7、x2 ax 2 0 的两根都小于 122（4）方程 x2 （a 4）x 2a2 5a 3 0的两根都在区间 1,3 上；（5）方程 x2 ax 4 0在区间（ 1， 1）上有且只有一解；2例 2、已知方程 x2 mx 4 0在区间 1，1 上有解，求实数 m的取值范围例 3、已知函数 f （x） mx2 （m 3）x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围检测反馈：11若二次函数 f（x） x2 （a 1）x 5在区间 （ 1 ,1）上是增函数，则 f（2） 的取值范围是 22 2 22若 、 是关于 x 的方程 x2 2kx k 6 0的两个实根 , 则 （1）2

8、（ 1） 2的最小值为3若关于 x的方程 x2 （m 2）x 2m 1 0只有一根在 （0,1） 内，则 m _ _ 4对于关于 x 的方程 x2+（2m 1）x+4 2m=0 求满足下列条件的 m的取值范围：（ 1）有两个负根（2） 两个根都小于 1（ 3）一个根大于 2，一个根小于 2（4） 两个根都在（ 0 ，2）内（ 5）一个根在 （ 2， 0） 内，另一个根在 （1 ， 3） 内（ 6）一个根小于 2，一个根大于 4（7） 在（0， 2）内 有根（ 8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数 f（x） mx2 x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值

9、范围。2、二次函数在闭区间 m,n 上的最大、最小值问题探讨 设 f x ax2 bx c 0 a 0 ，则二次函数在闭区间 m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况：b2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。2）若n ，则 f x maxmax f m , f n ，f x min min f m , f n二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例 题各代表一种情况。例 1 、函数 f

10、xax2 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a,b 的值。解：对称轴 x0 12,3 ，故函数 f x 在区间 2,3 上单调。1）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是增函数，故xmaxx minf33a b 2 52）当 a 0 时，函数 f x 在区间2,3 上是减函数，故xmaxxmin25a1f33ab22b3例 2 、求函数 f xx2 2ax 1,x1,3 的最小值。（1）当a1 时， yminf12 2a （ 2）当 1 a 3时f310 6a改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何解：（1）当a 2 时，f x max m

11、axf310 6a ；（2）当a 2 时，f x max maxf12 2a 。2 本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行解：（ 1）当 a1时， fxmaxf 3 106a，（2）当1a 2 时，f x max maxf310 6a ，fx（3）当2a 3 时，f x max maxf12 2a ， fxm（4）当a3 时， fx max f122a ， f xminmin上的最小值。4x 3 在区间ymin例 3 、求函数 y x2解：对称轴 x0 ayminfaa2 ；（3）当 a 3 时，x minfa1a2a；3 106a 。解：对称轴 x0 21）当 2 t 即 t 2时， ymin3）当 2 t 1即 t1时，ymin例 4 、讨论函数 f xxa