二章波函数与薛定谔方程学习教案

1、会计学1二章波函数与薛定谔方程二章波函数与薛定谔方程(fngchng)第一页，共63页。AeEtrpi)(t), r(2、一般F0,在外力场中，势能(shnng) , 满足薛定谔方程和边界条件称为波函数),(tr),(trV2.1波函数的统计波函数的统计(tngj)解释解释自由粒子运动。不变的作用，因而它描写当粒子不受外力PEtrF,),(第1页/共62页第二页，共63页。),(),(),(trPtrEtxy2、量子力学(lin z l xu)的波函数 不表示任何具体物理量),(tr3、 表示在时刻t位置 附近单位体积内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 附近发现粒子的几率密

2、度 2),(trrr4、波函数表示微观体系的量子态（状态、态）， 不仅可以告诉我们在 位置测量出粒子的几率，还可以描写体系的各种性质，测量其他物理量的可能值，及取这些值的几率),(tr),(tr第2页/共62页第三页，共63页。),(tzyx2),(),(),(tzyxcdtzyxdwtzyxwT时刻在(x,y,z)点附近(fjn)单位体积内找到粒子的几率密度由波函数的统计(tngj)解释：dtzyxctzyxdw2),(),(第3页/共62页第四页，共63页。dcdtzyxc2211),(c：成为：成为(chngwi)归一化常数，归一化常数，2cw则令axx2cos21)(例：给定), 0(

3、ax将其归一化第4页/共62页第五页，共63页。)()(),(xcxx设aaaxacacdxcdxaxcdxx822042022212412cos1412cos41)(解得：ac22第5页/共62页第六页，共63页。描写与为复函数，一般ietzyx),(称为相因子化，同一状态，不影响归一ie4，自由粒子(lz)波函数不可归一化 例：dAetrpEtrppi2)(),(而第6页/共62页第七页，共63页。波函数的统计解释(jish)态迭加原理一、量子力学(lin z l xu)的基本原理之一 态迭加原理1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种可能值以一定几率出现，如 x 2-2.5 3-3.5

4、 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%波粒二象性2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出如 Wxt找到粒子的几率时刻，)5 . 3 , 3(第7页/共62页第八页，共63页。dxdydztzyxW25 . 33),( 源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理：在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波的干涉(gnsh)，若 为一列波， 为一列波，则 也是一个可能的波动状态1y2y21yyy4、态迭加原理(yunl)如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性迭加 也是这个体系的一个可能状态，而且当粒子处于 和 的线性迭加态时，粒子是既处于

5、 态，也处于 态 12211221第8页/共62页第九页，共63页。21202101,iiee为复函数，如一般，21212121222211222211222211111122112211222112cccccccccccccccccccc6、态迭加原理(yunl)的一般形式 nnnnncccc2211当 为体系的可能状态(zhungti)时，他们的线性迭加 也是体系的一个可能状态(zhungti)。当体系处于 态时，体系部分的处于 态之中 n,21 n,21第9页/共62页第十页，共63页。 经典力学：已知力经典力学：已知力 F F 及及 x0 x0、v0v0，质点，质点(zhdi(zhdi

6、n)n)的状态变化由牛顿运动方程求出的状态变化由牛顿运动方程求出 当微观粒子在某一时刻(shk)的状态为已知时，以后时刻(shk)粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立(jinl)的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 量子力学量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。2.3 薛定谔方程薛定谔方程第10页/共62页第十一页，共63页。一、薛定谔方程一、薛定谔方程(fngchng)的引入的

7、引入下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调的是：薛定谔方程是量子力学(lin z l xu)最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定，并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确(zhngqu)性，归根结底，只能靠实验来检验下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是 (1)和波矢 （ ），由下式给出 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系的波的角频率 第11页/共62页第十二页，共63页。 ， (2) 或者说，与具有(jyu)一定能量E和动量 的粒子相联系的是平面单色波。 (3) 由(3)式可得第12页/共62页第十三页，共63

8、页。利用(1)式，可以(ky)得出即： (4) ),(tr是一个(y )单色平面波 。注意(zh y)：方程(4)中 而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多单色平面波的叠加。),(tr (5) 式中： ，不难证明 第13页/共62页第十四页，共63页。 0可见(kjin)，如果 ),(tr是波包，仍满足方程(fngchng)(4)，所以方程(4)是自由(zyu)粒子波函数满足的方程。值得注意的是：如果在经典的能量动量关系(1)中，作如下替换：第14页/共62页第十五页，共63页。 ， (6)然后(rnhu)作用于波函数上，就可得到方程(4). 其次(qc)，我们进一步考虑在

9、势场 中运动的粒子(lz)，按照经典粒子的能量关系式 (7) 对于上式作替换(6)，然后作用于波函数上，即得：(8) 这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动的基本规律，是量子力学的基本假设之一。二二、薛定谔方程的讨论薛定谔方程的讨论 1、要求第15页/共62页第十六页，共63页。、对粒子的所有状态成立(chngl)，波动方程系数不能含有状态参量，如 x, p, L 也是其解各为其解，则，性的，当而言是线即方程对于其解、必须满足迭加原理，2121ba)2(2、定域的几率、定域的几率(j l)守恒守恒薛定谔方程是非(shfi)相对论量子力学的基本方程。在非相对论（低能）情况下，实物粒子（

10、 ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即 (9) 第16页/共62页第十七页，共63页。下面(xi mian)我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。对(8)式取复共轭，（注意(zh y)到 ）得 (10) 式，得式由)10(-)8(*(11) 积分可化为面积分定理，等式右边中将上式积分，按高斯在空间闭区域第17页/共62页第十八页，共63页。(12) 的表面，如下图是其中s令： (13) (14) 第18页/共62页第十九页，共63页。可写为式，的物理意义见下，于是表示几率密度，

11、)12(j(15) 上式左边代表(dibio)：在闭区域 中找到粒子(lz)的总几率（或粒 子数）在单位(dnwi)时间内的增量。 而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 的封闭表 量密度的意义，是一个矢粒子数具有几率流所以：。粒子数内的几率而流入面)(j)(S公式(12)或(15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而由(11)式可得其微分表达式： (16) 第19页/共62页第二十页，共63页。这种形式与流体力学(li t l xu)中的连续性方程相同。 应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西

12、在流动来实现这种变化(binhu)。连续性就意味着某种流的存在。3、波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有、波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有物理物理(wl)意义意义，连续的。必须是单值得，有限的由于几率密度) t , r (2第20页/共62页第二十一页，共63页。2.4 2.4 定态薛定谔方程定态薛定谔方程(fngchng) (fngchng) 一、不含时间(shjin)的薛定谔方程易的。是不容去求解末态一般情况下，从初态)0 ,()0 ,(rr以下讨论一个极为重要的特殊(tsh)情况：假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）此时，薛定谔方程

13、(8)可以用分离变量法求其解，令特解为 (17) 代入薛定谔方程中，可得：第21页/共62页第二十二页，共63页。(18) 上式右边(yu bian)E是即不依赖与t，也不依赖与 的常数(chngsh)，于是 (19) /)(iEtetf(20) 可表为：因此，特解) t , r (21)满足下列方程：其中) r (E(22)第22页/共62页第二十三页，共63页。形式如(21)式的波函数所描述(mio sh)的态，称为定态。方程(22)称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。 为能量(nngling)本征函数。薛定谔方程(fngchng)更普遍的表达式为(23)其中 是体系的哈密顿算符。当

14、不显含t时，薛定谔方程为(24)第23页/共62页第二十四页，共63页。(1).粒子(lz)的几率密度 及几率(j l)流 ，显然不随时间(shjin)改变。 (2).任何力学量（不显含t）的平均值，不随时间变化。 (3).任何力学量（不显含t）取各种可能测量值（本征值）的几率分别也不随时间改变。 二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程/) r ()() r () t , r (EiEtetf确定当能量变化不随几率流密度tj,) r () t , r (221、定态的特征：第24页/共62页第二十五页，共63页。2.5 2.5 一维无限一维无限(wxin)(wxin)深势阱深势阱 设势能(shn

15、ng)一、一维定态问题中粒子感受沿一个(y )方向(x)变化的势场U(x),它也是由三维问题分离变量出来的问题。0)(xUaxaxa0axy第25页/共62页第二十六页，共63页。由于势能U(x)不显含时间t，于是(ysh)可得系统的定态薛定谔方程： )()()(2222xExxUdxd(1)对本(dubn)问题有：)()()(2)()(2,0,22xExuxxEx ax 0,uax(2)(3)根据波函数应满足(mnz)连续性和有限性的条件0)()(xx既有0)( ax(4)第26页/共62页第二十七页，共63页。0)()(aa的边界条件：当ax 0)(E2)(2 xx22E2令xBxAxco

16、ssin)(可得通解：(6)0)()() 6 (2 xx式可写为：(7)(5)(8)得带入边界条件将式)5()8(0cossin)(aBaAa0cossin)(aBaAa(9)(10)由上两式得0cos0sinaBaA注意(zh y)：A，B不能同时为零第27页/共62页第二十八页，共63页。定义：代入nE2anEn 8222(11)量子化的能量(nngling)公式2na 即： 2 , 1n子化的。取分立值，即能量是量量可能值。能维无限深势阱中粒子的即为能量本征值，是一nnEE(a)解可得波函数有两组解：02sinxanA axax)( 为偶数n(12)第28页/共62页第二十九页，共63页

17、。(b)解02cosxanB axax)( 为奇数n(13)()()12(xx具有奇宇称，即式)()()13(xx具有偶宇称，即式二式，得合并)13)(12(n0)(2sinaxanAaxax(14)可由归一化条件定出系数AaA1第29页/共62页第三十页，共63页。函数是：深势阱中粒子的定态波由上可以得出一维无限tEniextx)(),(08exp)(2sin1222taniaxanaaxax(15)二、束缚态二、束缚态为实函数且束缚态中波函数可以能级一般是分立的，而称为束缚态。束缚态的的粒子状态通常把之内子被束缚在在一维无限深势阱中粒0)(0,)(,rxax第30页/共62页第三十一页，共

18、63页。三、一维无限(wxin)深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度1n2n3n4n0a1234a2|0aa0pE1E14E19E116E对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子(lz)出现的几率是不同的。第31页/共62页第三十二页，共63页。1n2n3n4n2|0aa 经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续(linx)值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。 随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。n 从以上分析(fnx)可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。第32页/共62页第三十

19、三页，共63页。四、讨论(toln)：anEan8).(222由能量本征值aE8221基态：anEnaEn212222222激发态：第第一激发态：1n2n最小能量是由测不准关系规定的另外，即零，所以粒子的能量不能为因为静止的波无意义，10En 第33页/共62页第三十四页，共63页。) 1().(knkkaxb个节点激发态有态，第点，其他以外，基态波函数无节除端点也连续处有限时，在边界当处不连续。因为在连续，而处波函数在边界)()(,)()()().(axuxuaxaaaxc补充(bchng)：解题技巧不适用界条件。但对边界处边可在边界处应用连续性而不求定态波函数时，如束缚态能级能级当问题只须

20、求定态能量0)(nnEEaxaxlnlnax 第34页/共62页第三十五页，共63页。2.6 线性谐振子线性谐振子221)(kxxUr)(rU0a线性谐振子是许多实际问题的一级近似，简谐振动是许多复杂运动(yndng)的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成一、求解(qi ji)一维线性谐振子的薛定谔方程第35页/共62页第三十六页，共63页。)()(21)(22222xExkxxdxd1、其薛定谔方程、其薛定谔方程(fngchng)为：为：(1)整理(zhngl)得：0)()2()(22 xkEx(2)k令(2)式变为：(3)0)()2()(2222 xEx作变量(binling)代换，使自变

21、量(binling)无量纲化第36页/共62页第三十七页，共63页。，则有：，令,2xE0)()21()(2222 xxEx2/1两边同乘(5)(4)0)()2()(2 xxEx0)()()(222dd(6)(6)为一复系数(xsh)常微分方程2、方程、方程(fngchng)(6)的渐的渐进解进解第37页/共62页第三十八页，共63页。变为：，此时由于使的行为，即为解方程，先考察他在)6(220)()(222dd(9)(8)(7)渐进(jinjn)解2/2)(e可设一般(ybn)解2/2)()(eH号所以余去应有限，时，当根据波函数标准条件，2/2)(e)(为待求函数H第38页/共62页第三十

22、九页，共63页。将(9)代入(6)得 )()(2/2/22 eHeHdd 2/2/2/222 eHeHeH2/22/22)()(eHeH 2/22) 1(2 eHHH相减得将上式与0)()()(2 0) 1(22 HHH厄密方程(fngchng)(9)第39页/共62页第四十页，共63页。3、解厄密方程、解厄密方程(fngchng)关系中，求各级系数之间的级数，再代入展开为上将域为方程的常点，在其邻)9(0H 则令,0nnnaH nnnnnnnnannaH) 1)(2() 1(0222 nnnnaH022:n对任一0) 1(2) 1)(2(02nnnnnananna(11)(10)(12)第4

23、0页/共62页第四十一页，共63页。nnannna) 1)(2(122递推关系(gun x)(13)nnanaanaH的已知，可得奇数，当的数已知，由之可得所有偶的级数解，当式为10)()12(之比：很大，高次项系数，当如果级数含有无限多项nnnnaannn2) 1)(2(122 的级数解比较：与2e(14)第41页/共62页第四十二页，共63页。nbbennnnnnnnnn211)!1()!()!1()!(! 2! 112222222422 不符合波函数标准条件，相同，即时的行为与级数解在 )(2e向无穷不再趋相乘后在某一处中断，使之与件限制使应有限，必须用物理条、实际问题中)()()(42

24、/2eH012)13(0, 02naannn式看就是要求：由。而处即在第42页/共62页第四十三页，共63页。代入得：将E20212En)(21 nEn线性谐振子能级(nngj)公式(15) )(2/2nnnHeN厄密函数(hnsh)(16)有递推关系导出、)(5H1)(0H2)(1H24)(22H1, 00n3, 11n5, 22n为归一化常数nN第43页/共62页第四十四页，共63页。nnnH2)(阶多项式，最高项系数为的宇称：)(nH为偶数时为偶宇称当为奇数时为奇宇称当nn的导数：)(nH!2)()(2)(1nHddnHHddnnnnnn(17)的几个关系式、)(6H128)(33H 7

25、, 33n第44页/共62页第四十五页，共63页。0)(2)(2)(11nnnnHHH(19)(20)() 1()(22eddeHnnnn0)(2)(2)(22nnnnHHddHdd(18) 归一化、对xn7 dHeNdxxxnn)(222deddHNnnnnn)()() 1(22第45页/共62页第四十六页，共63页。1!2!2)() 1()()()() 1(22)(2112222nNdenNdeHNdeddHddHNnnnnnnnnnnnnnnnn!2 nNnn(21)第46页/共62页第四十七页，共63页。 的正交归一化、xn8 mnnmdxxxnmnm, 0, 1二、物理二、物理(wl

26、)意义意义 xn、定态波函数1 )(2/2nnnHeN)(x 称为厄密多项式。称为厄密函数，而)(Hn 值处迅速衰减。个根，在大有次，轴相交在有限范围内与nnnn0第47页/共62页第四十八页，共63页。2、几率(j l)密度 ，微观趋向宏观很大时，量子趋向经典在量子数。除外点个零个极大几率点，有，nnnnn)(123、能级(nngj)(21 nEn讨论(toln)：nE能量等间距：) 1 (为基态，称零点能210, 0)2(EEn第48页/共62页第四十九页，共63页。也不停止振动。，固体中原子使在所要求的最小能量，即，这是测不准关系谐振子的零点振动能KT0) 3(214、基态(j ti)波

27、函数 )(002221xHexx.1,1,)(,/21110101为经典禁区区域运动。，在经典：基态谐振子只能此处在，谐振子特征长度xxExVxEx第49页/共62页第五十页，共63页。2.7 势垒贯穿（隧道势垒贯穿（隧道(sudo)效效应）应）一、方势垒的穿透(chun tu) 粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去，粒子能量事先知道(zh do)。波函数在不远处不为零，体系能量可取任意值，构成连续谱（散射态，不是束缚态）。)(xUaxxaxU, 0, 00 ,0(1)（方势垒）E0axy0U1、方势垒第50页/共62页第五十一页，共63页。.)0(率过势垒在右边出现的几向右运动。求越

28、的粒子由势垒左方设能量为xE右边。，粒子才能运动到势垒经典力学：只有当0UE 。，反射回来的几率不为不为出现的几率，粒子越过势垒在右方量子力学：010UE 02UE 、，薛定谔方程为：在势垒外), 0(axx(2)02222Edxd第51页/共62页第五十二页，共63页。ikxikxBeAexEk)()2(,222式得解：则设)0( x即：反射波。取例。而势垒右边，则无粒子数的比则为反射粒子数占入射。，取面方便，反射波都有，为了后波。在势垒左边，入射方向（左）的为向方向（右）的波，为向, 0,RB1A2BSARxexeikxikx,0,ReikxikxikxSexe)(xax (3)这是入射粒

29、子流密度(md)为：)(21ppJ第52页/共62页第五十三页，共63页。入射波：22)(2)(2hikxikxikxikxikikikiedxdeedxdeiJ2t2RSJRJ透射波几率流密度：反射波几率流密度：TJJrRJJitiR22S透射几率：反射几率：)(透射系数)(反射系数(4)(5)(6)第53页/共62页第五十四页，共63页。，薛定谔方程为：在势垒中)0(ax (7)EUdxd02222变换(binhun)为：0)(22022EUdxd(8)写为：则令,)(2202EU kxkxBeAex)(9)都连续得：和处由在 0 x第54页/共62页第五十五页，共63页。BARikBAR)1 (1:得上两式相加、相减分别(11)(10)1 ()1(21)1 ()1(21ikRikBikRikA都连续得：和处由在 ax(12)eeeeeeikaaaikaaaSikBASBA第55页/共62页第五十六页，共63页。:得上两式相加、相减分别(13)eeaikaaikaikSBikSA)1 (2)1 (2:,)13()11(得式消去式与再利用BA(14)eeaikaaikaikSikRikikSikRik)