材料力学第七章组合变形

1、第七章第七章组合变形组合变形组合变形（组合变形（combined deformation）是指在外力作用下杆件将同是指在外力作用下杆件将同时产生两种或两种以上的基本变形。时产生两种或两种以上的基本变形。7-1 概概 述述压弯组合的压弯组合的烟囱烟囱偏心压缩的厂房吊车立柱偏心压缩的厂房吊车立柱弯扭组合的皮带轮轴弯扭组合的皮带轮轴 组合变形杆的计算方法组合变形杆的计算方法 （杆件在线弹性，小变形情况下）（杆件在线弹性，小变形情况下） 1. 1. 将作用在杆上的将作用在杆上的荷载分解或简化荷载分解或简化，使杆在每种荷载作用下使杆在每种荷载作用下,只产生一种基本变形只产生一种基本变形。2. 2. 分别

2、分别计算每一种基本变形下杆的应力和变形。计算每一种基本变形下杆的应力和变形。3. 3. 用用叠加原理叠加原理可得杆在组合变形下的应力和变形。可得杆在组合变形下的应力和变形。7-2 斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲：具有纵向对称平面的梁，当：具有纵向对称平面的梁，当外力作用在纵向对称平外力作用在纵向对称平面面内时内时, ,梁的轴线在此平面内弯成一条曲线，梁发生梁的轴线在此平面内弯成一条曲线，梁发生平面弯曲平面弯曲。zyoF对于不具有纵向对称平面的梁对于不具有纵向对称平面的梁, ,只有当外力作用在通过弯曲只有当外力作用在通过弯曲中心的中心的弯心平面弯心平面内时内时, ,梁只产生梁只产生平面弯曲平面弯曲

3、。zyoA弯心平面弯心平面：过：过，而且与形心，而且与形心主惯性平面平行的主惯性平面平行的平面。平面。 但工程上有些梁但工程上有些梁, , 外力虽然经过弯曲中心（或形心）外力虽然经过弯曲中心（或形心）, ,但但其其作用面与形心主惯性平面既不重合作用面与形心主惯性平面既不重合, ,也不平行也不平行，这时，这时梁变形梁变形后轴线不在后轴线不在形心主惯性平面形心主惯性平面( (或与之平行的平面或与之平行的平面) )内，内，梁发生梁发生斜斜弯曲弯曲。zyoFzyoA以矩形悬臂梁为例：以矩形悬臂梁为例：一、正应力计算一、正应力计算1 1. 外力分解外力分解Fy = Fcosj jFz = Fsinj j

4、Mz2 2. x截面的内力截面的内力( (不计剪力不计剪力) )xMy=Fy(l-x)=F(l-x)cosj j=M M cosj j=Fz(l-x)=F(l-x)sinj j=Msinj jlxK(y,z)3. x截面任一点处正应力截面任一点处正应力IzMz y= -= -s sIyMy z= = s sFy引起的正应力引起的正应力Fz引起的正应力引起的正应力IyMy z= = s s = =s s + +s sIzMz y - -+ +x截面任一点处正应力：截面任一点处正应力：l（分析横（分析横截面上正应力分布）截面上正应力分布） )sincos(zIyIMyzjj+-=（正应力为平面分布

5、）正应力为平面分布） 二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件中性轴是一条过截面形心的直线。中性轴是一条过截面形心的直线。 abcd中性轴中性轴abcd中性轴中性轴+ += =oyzabcd中性轴中性轴IyMy z= = s s = =s s + +s sIzMz y - -+ +令令得得= = 0 0Izcos - -yIy+ +sinz中性轴方程中性轴方程0)sincos(=+-=zIyIMyzjjzyoF中性轴中性轴但对于但对于Iy=Iz的截面的截面( (如正方形、圆形等如正方形、圆形等正多边形），正多边形），梁只发生平面弯曲。梁只发生平面弯曲。对于对

6、于IyIz的截面，的截面，中性轴与中性轴与F力作力作用方向不垂直用方向不垂直。这是斜弯曲的一个重要特。这是斜弯曲的一个重要特征。征。= = 0 0Izcos - -yIy+ +sinz设中性轴与设中性轴与z轴夹角轴夹角，则，则tan= =yz= =IyIztan 中性轴方程中性轴方程最大正应力最大正应力WyMy= = s s tmaxWzMz+ +中性轴将截面分成两部分，一部分受拉，另一部分受压，最大正中性轴将截面分成两部分，一部分受拉，另一部分受压，最大正应力发生在离中性轴最远的点。应力发生在离中性轴最远的点。对于有凸角的截面（如矩形、工对于有凸角的截面（如矩形、工字形截面），最大正应力在角

7、点字形截面），最大正应力在角点。abcd中性轴中性轴abcd中性轴中性轴+ += =oyzabcd中性轴中性轴)(maxcyyzzWMWM+-=szy 对于没有凸角的截面，可用作图方法确定最大正应力的点。对于没有凸角的截面，可用作图方法确定最大正应力的点。D2D1中性轴中性轴例如椭圆形的截面例如椭圆形的截面: :先确定了中性轴位置先确定了中性轴位置再作平行于中性轴并与截面再作平行于中性轴并与截面周边相切的两条直线，切点周边相切的两条直线，切点即为最大正应力点即为最大正应力点。强度条件强度条件危险点为危险点为单向应力状态单向应力状态，强度条件为，强度条件为先确定危险截面，再确定危险点先确定危险截

8、面，再确定危险点tmaxtsscmaxcss三、斜弯曲变形特点三、斜弯曲变形特点对于上面悬臂梁自由端的挠度对于上面悬臂梁自由端的挠度zyyEIlFw33=Fy引起的挠度引起的挠度Fz引起的挠度引起的挠度yzzEIlFw33=合合挠度挠度22zywww+=设合挠度方向与设合挠度方向与y轴成轴成角，则角，则jtantanyzyzIIww=zyoF中性轴中性轴wzyoF中性轴中性轴w因为因为IyIz，故，故。合挠度方向与合挠度方向与F力作用方向不重合力作用方向不重合。tan= =yz= =IyIztan 故故= =，合挠度方向与合挠度方向与中性轴垂直中性轴垂直。 对于对于Iy=Iz的截面的截面( (

9、如正方形、圆形等正多边形），如正方形、圆形等正多边形），梁只发生梁只发生平面弯曲，平面弯曲，故故= = ，合挠度方向与合挠度方向与F力作用方向重合，均与力作用方向重合，均与中性轴垂直中性轴垂直。jtantanyzyzIIww=合挠度方向与合挠度方向与y轴成轴成角角双向弯曲：双向弯曲：当梁在通过弯曲中心的互相垂直的两个主惯性平当梁在通过弯曲中心的互相垂直的两个主惯性平面内分别有横向力作用时发生的弯曲。面内分别有横向力作用时发生的弯曲。双向弯曲梁的分析方法同斜弯曲梁。双向弯曲梁的分析方法同斜弯曲梁。 例例 屋架上的桁条屋架上的桁条, ,可简化为两端铰支的简支梁。梁的跨可简化为两端铰支的简支梁。梁的

10、跨度度l=4m, ,屋面传来的荷载可简化为均布荷载屋面传来的荷载可简化为均布荷载q=4kN/m, ,屋面与屋面与水平面的夹角水平面的夹角=25o。桁条的截面为矩形。桁条的截面为矩形h=28cm, ,b=14cm。设桁条材料的容许应力设桁条材料的容许应力=10MPa, ,试校核其强度。试校核其强度。解：将均布荷载解：将均布荷载q沿沿y轴和轴和z轴分解轴分解qy = qcosqz = qsinqy使梁在使梁在xy平面内产生平面弯曲平面内产生平面弯曲; ; qz使梁在使梁在xz平面内产生平面弯曲。平面内产生平面弯曲。危险截面在跨中。其上的危险截面在跨中。其上的1点和点和2点是危险点点是危险点, ,它

11、们分别产生最大它们分别产生最大拉应力和最大压应力拉应力和最大压应力, ,且且数值相等数值相等。故可校核。故可校核1点和点和2点中的任一点中的任一点。点。现校核现校核1 1点点, ,得得zzyyWMWM+=maxtsMPa10=s故桁条满足强度要求。故桁条满足强度要求。6816812222bhlqhblqyz+=MPa68. 7=q=5kN/mF=2kNxl =2myzO 例例 悬臂梁悬臂梁,采用采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载号工字钢。在竖直方向受均布荷载q作用作用, ,在自由端受水平集中力在自由端受水平集中力F作用。作用。 Iz=5023.54cm4, ,Wz=401.9cm3，Iy

12、=280.0cm4, Wy=48.28cm3, ,E=2105MPa， =160MPa。试求。试求（1 1）梁的最大拉应力和最大压应力；）梁的最大拉应力和最大压应力；（2)2)固定端截面和固定端截面和l/2截面上的中性轴位置；截面上的中性轴位置；（3)3)自由端的挠度。自由端的挠度。解：解： (1)均布荷载均布荷载q使梁在使梁在xy平面内弯曲平面内弯曲, ,集中力集中力F使梁在使梁在xz 平平面内弯曲，故为面内弯曲，故为双向弯曲双向弯曲。两种荷载均使固定端截面产生最大。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩弯矩, ,固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面。由变形情况可知。由变形情况可知, ,在该

13、截面上的在该截面上的A点处产生最大拉应力点处产生最大拉应力, ,B点处产生最大压应力点处产生最大压应力, ,且两点处应力且两点处应力的数值相等。则的数值相等。则q=5kN/mF=2kNxl =2mAByzOyyzzAWMWMmaxmaxmaxt+=ssyzWFlWql+=221MPa7 .107=33cm28.48mkN4cm9 .401mkN10+=MPa7 .107maxc-=ssBq=5kN/mF=2kNxl =2mAByzO（2 2）中性轴位置）中性轴位置0=-=yIMzIMzzyysyzzyIIMMzy=tan固定端截面固定端截面18. 721tan21=yzyzzyIIqlFlII

14、MMzyo11 .82= 不同截面上中性轴与不同截面上中性轴与z轴夹角不同轴夹角不同中性轴中性轴1 1过形心，与过形心，与z轴夹角轴夹角中性轴中性轴2 2l/2/2截面截面35.14)2/(212/tan22=yzyzzyIIlqFlIIMMzyo20 .86=q=5kN/mF=2kNxl =2mAByzO（3 3）自由端挠度）自由端挠度q=5kN/mF=2kNxl =2myzO自由端的总挠度等于自由自由端的总挠度等于自由端在端在y和和z方向的挠度方向的挠度wy和和wz的矢量和。的矢量和。mm995. 084=zyEIqlwmm52. 933=yzEIFlwmm57. 922=+=zywww对

15、圆形、正方形等正多边形截面，如何进行计算？对圆形、正方形等正多边形截面，如何进行计算？7-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合 杆件受到轴向力与横向力共同作用时，杆件将产生杆件受到轴向力与横向力共同作用时，杆件将产生拉伸拉伸（压缩）与弯曲组合（压缩）与弯曲组合变形。变形。 当杆件产生的弯曲变形很小时，轴力在弯曲变形上所引起当杆件产生的弯曲变形很小时，轴力在弯曲变形上所引起的附加弯矩很小，可忽略不计，故可的附加弯矩很小，可忽略不计，故可由叠加原理求得轴向力和由叠加原理求得轴向力和横向力横向力两种荷载共同引起的正应力。两种荷载共同引起的正应力。轴向力轴向力F作用作用= = s sI

16、zMz (x)y - - s s = =FN横向力横向力q q作用作用叠加后（叠加后（F、q共同作用共同作用) )A点正应力点正应力= = s s s s + + s s = =FN+ +IzMz (x)y (- (- ) )任一截面任一点正应力任一截面任一点正应力拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力及强度计算：拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力及强度计算：，叠加以后应力分布可能，叠加以后应力分布可能abdcabcdabcd中性轴中性轴abcdabcd中性轴中性轴= = s s s s + + s s = =FN+ +IzMz (x)y (- (- ) )固定端截面为危险截面，危险点（上边缘）的

17、应力为固定端截面为危险截面，危险点（上边缘）的应力为= = s smaxFN+ +WzMzmax危险点为单向应力状态危险点为单向应力状态强度条件强度条件max 例例 如图所示托架受荷载如图所示托架受荷载F=45kN作用。设作用。设AC杆为杆为22b22b的工字钢的工字钢，材料材料容许应力容许应力=160MPa，试校核试校核AC杆强度。杆强度。F=45kNADBC3m1m30BCAFAxFBxFAyFByF=45kN解：解：1.1.分析分析AC杆变形杆变形AC杆杆AB段为拉弯组合段为拉弯组合FAy=15kNFBy=60kNFAx=FBx=104kN+FN图图/kN104-M图图/kNm45F=4

18、5kNADBC3m1m30BCAFAxFBxFAyFByF=45kN2.2.危险截面为危险截面为B点左侧截面点左侧截面危险点为危险点为B点左侧截面上边缘各点点左侧截面上边缘各点zzWMAFmaxNmax+=sMPa9 .160=32cm325mkN45cm6 .46kN104+=1.05=10=10MPa杆不安全杆不安全7-5 截面核心截面核心 偏心压缩时，横截面上中性轴的截距偏心压缩时，横截面上中性轴的截距ay和和az随压力作用点随压力作用点坐标坐标yF 和和zF 变化；当变化；当压力作用点离横截面形心越近压力作用点离横截面形心越近时，时，中性轴中性轴离横截面形心越远离横截面形心越远。中性轴

19、可能与横截面边界相切或在横截面中性轴可能与横截面边界相切或在横截面以外以外, ,此时，整个横截面只产生压应力。此时，整个横截面只产生压应力。 工程上有些材料（如混凝土、砖、工程上有些材料（如混凝土、砖、石等），其抗拉强度很小，因此，偏心石等），其抗拉强度很小，因此，偏心受压杆要求横截面上不产生拉应力，压受压杆要求横截面上不产生拉应力，压力必须作用在横截面形心附近的某一区力必须作用在横截面形心附近的某一区域内，该区域称为域内，该区域称为截面核心（截面核心（core of a section）。D1D2zy中性轴中性轴任意形状截面的截面核心确定：任意形状截面的截面核心确定： 作中性轴作中性轴1 1

20、与周边相切，其截距为与周边相切，其截距为ay1和和az1，故外，故外力作用点的坐标为力作用点的坐标为即可确定即可确定1 1点。点。 再分别作中性轴再分别作中性轴2、3，用相，用相同的方法，可得到同的方法，可得到2、3等点。连等点。连接这些点所得的闭合区域就是截面接这些点所得的闭合区域就是截面核心。核心。121yzFiy-=121zyFiz-=1yF1zF123az1ay1123 例例 试确定下图所示矩形截面的截面核心。试确定下图所示矩形截面的截面核心。 yzhbABCD解：矩形截面的对称轴解：矩形截面的对称轴y和和z是形心主轴。该截面的是形心主轴。该截面的 1222bAIiyy= = =122

21、2hAIizz= = =,1 = =ya21baz- -= =先将与先将与AB边重合的直线作为中性轴边重合的直线作为中性轴，它在，它在y和和z轴上的截距分轴上的截距分别为别为 yzhbABCD621201221212121bbbizhiyzyFyzF= =- - -= =- -= = = - -= =- -= = 则则b/61h/62同理可求得当中性轴同理可求得当中性轴与与BC边重合时，与之对应的边重合时，与之对应的2 2点的坐标为点的坐标为0,622= =- -= =FFzhy6, 033bzyFF- -= = =0,644= = =FFzhy中性轴中性轴与与CD边重合时，与之对应的边重合时

22、，与之对应的3 3点的坐标为点的坐标为中性轴中性轴与与DA边重合时，与之对应的边重合时，与之对应的4 4点的坐标为点的坐标为yzhbABCDb/61h/62b/63h/64 连接连接1 1点、点、2 2点、点、 3 3点和点和4 4点点就是截面核心的边界。最后得就是截面核心的边界。最后得到矩形截面的截面核心是一个到矩形截面的截面核心是一个菱形菱形，其对角线的长度分别是，其对角线的长度分别是h/3/3和和b/3/3。（。（中间三分点中间三分点）例例 试确定下图所示圆形截面的截面核心。试确定下图所示圆形截面的截面核心。 解解 由于圆形截面对于圆心是极对称的，所以截面核心的边由于圆形截面对于圆心是极

23、对称的，所以截面核心的边界也是一个圆。只要确定了截面核心边界上的一个点，就可界也是一个圆。只要确定了截面核心边界上的一个点，就可以确定截面核心。以确定截面核心。 yzdyzd设过设过A点的切线是中性轴，它在点的切线是中性轴，它在y，z轴上的截距为轴上的截距为 2,daazy= = = =1646422422dddiizy= = = = 8, 0dzyFF- -= = =截面核心是直径为截面核心是直径为d/4/4的圆。的圆。 与之对应的外力作用点与之对应的外力作用点1 1的坐标为的坐标为 而而Ad/817-6 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合曲拐曲拐AB段、传动轴将发生弯曲与扭转的组合变形段、传

24、动轴将发生弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转组合变形下应力和强度计算：弯曲与扭转组合变形下应力和强度计算：一、危险截面一、危险截面A端截面为危险截面，端截面为危险截面，1. F向向AB杆杆B截面形心简化截面形心简化2. AB杆内力杆内力lalFMz=FlaFMx=截面内力：截面内力：一、危险截面一、危险截面上顶点上顶点c1 1= =WzMz = =WPMx二、危险点为二、危险点为c c1 1、c c2 2点点lFMz=aFMx=A截面截面上顶点处于二向应力状态，上顶点处于二向应力状态，强度计算（塑性材料）按强度计算（塑性材料）按强度理论进行。强度理论进行。第三强度理论第三强度理论r3 3=1 1-

25、 -3 3 第四强度理论第四强度理论 (1 1- -2 2)2 2+ +(2 2- -3 3)2 2+ +(3 3- -1 1)2 2r4 4= r4 4 = = r3 3 = =上顶点上顶点圆截面圆截面 Wp=2Wz= =WzMz = =WPMx r4 4 = = r3 3 = = r4 4 = =Wz1Mz2+0.75Mx2 r3 3 = =Wz1Mz2+Mx2 当圆杆同时产生当圆杆同时产生拉伸拉伸( (压缩压缩) )和扭转和扭转两种变形时，上述分析两种变形时，上述分析方法仍然适用，只是方法仍然适用，只是弯曲正应力需用拉伸弯曲正应力需用拉伸( (压缩压缩) )时的正应力代时的正应力代替替。在这种情况下，。在这种情况下，危险截面上的周边各点危险截面上的周边各点均为危险点。均为危险点。 当圆杆同时产生当圆杆同时产生弯曲、扭转和拉伸弯曲、扭转和拉伸( (压缩压缩) )