2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题(解析版)

1、2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题、单选题 li1,复数z=，则Z =() liA. 1B. 2C. 2D . 2 2答案】解析】运用复数的除法运算法贝帙计算曲的表达式，然后再计算出z . 详解】由题意复数2 1 i得1 i1 21 1 2 i ,所以z=l.1 i 1 i (1 i)(l i) 故选A点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达热能求出复数的模，需要掌握其计算 法则，较为基础.2 .设a,b, c分别是VABC中A, B, c所对边的边长，则直线x sin AaycO 与 bxy sinB sinC 0 位置关系是()A .平行B.重合&am

2、p;垂直D.相交但不垂直【答案】c【解析】a,b,c分别是VABC中A,则直线x sinA a y c 0斜率为：bxy sinB sinC 0的斜率为：B, C所对边的边长，sinA a b sinB sinA b7 n= - 1,，两条直线垂直.a sinB故选C.3.已知下列三个命题：若复数Zl, Z2的模相等，则Zl, Z2是共辗复数； 【解析】运用复数的模、共貌复数、虚数等知识对命题进行判断.第1页共19页Zl, Z2都是复数，若Z1+Z2是虚数，则Z1不是Z2的共辄复数；复数Z是实数 的充要条件是Z Z .则其中正确命题的个数为（）A.0个B.1个c.2个D.3个【答案】C第2页共

3、19页详解】对于中复数Z1和Z2的模相等，例如Zl=l + i ,Z2= 2i ,则Z1和Z2是 共轨复数是错误的 对于Z1和Z2都是复数，若Z1+Z2是虚数，则其实部互为相反数，则Z1不是Z2 的共规复数，所以是正确的；对于复数Z是实数，令Z 则z a所以z z,反之当z z时，亦有复数z 是实数，故复数Z是实数的充要条件毙z是正确的.综上正确命题的个魏段.故选C点睛】本题考查了复数的基本概念判断命题是否正确需要熟练掌握基础知课能运用举例的方法进行判断，本题较为基础X2 24.椭圆 y2 1的长轴为AiA2,短轴为BiB2,将坐标平面沿y轴折成一个锐二 面4角，使点Ai在平面B1A2B2上的

4、射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小 为（）A . 30°B. 45°C . 60°D,以上答案均不正确【答案】A解析】画出满足条件的图形，由AiO BiB2, A2O B1B2可得出FOAi为所求二面角的平面角，通过解三角形FOAi即可求出二面角详解】2由椭圆' y2 1得长轴AiA2 = 4,短轴BiB2 2.4 12 12将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，如图.设点Ai在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F .则 A1F 平面 B1B2A2.所以 A1F F0.由AQ BB , A20 BlB2，所以FOA1为所求二面角的

5、平面角在 AiOF 中，AQ 2, OF 22 1 3OF所以 cos FOAiOAi由条件二面角为锐角，所以FOA尸3032第4页共19页故选：A点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于 中档题5.已知两圆Ci： (x-4) 2+y2=169, C2： (x+4),+/汉.动圆M在圆Ci内部且和 圆Ci相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()2222A烹 L 1B.片"164 yl q 48 642222xy C.1 L 1U , 64 4848 64【答案】D【解析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆 的半径r ,

6、消去r ,再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M的轨迹，进一 步求出其方程.【详解】设动圆的圆心M x, y ,半径为r圆M与圆Ci: x 4 y2 169内切，与C2： x 4 y2 9外切.所以 MCi 13 r, MC2 3r.MCi + MC2 16 CiC2 8由椭圆的定义，M的轨迹是以Ci, C2为焦点，长轴为16的椭圆.则a 8,c4 ,所以 b1 ： 4822x y动圆的圆心M的轨迹方程为：64 48故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档 题a曰一为拗物纬八的隹A,B是该抛物线上的两点，AFBF 3,则线段AB的中点到y轴的距离为

7、A 3B.1c 5D.；答案】c解析】抛物线的准线为1 :x 过A,B作准线的垂线，垂足为G, AB的中点为M ,过M作准线的垂缱足为MH ,则可利用几何性质得至MH32 ,故 得M到y轴的距离.【详解】1抛物线的准线为l:x,过A, B作准线的垂线，垂足为E,G , AB的中点为M ,4过M作准线的垂线，垂足为MH,因为A,B是该抛物线上的两点，艇AF , BG BF所以 AE BG AF BF 3,33 1 5又MH为梯形的中位线，所以MH 3 ,故m到y轴的距离为315 ,故选C.22 4 4【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S-ABCD底面边长为2,高为1, E

8、是棱BC的中点，动点P在四 棱锥表面上运动，并且总保持77丁丁（?1r o,则动点P的轨迹的周长为（）A . 1+ 亚B. 2+3C. 2 7?D . 2 3答案】解析】设F,G分别为DC , SC的中点，则可证明AC平面EFG ,得到满足条件的动点P的轨迹为VEFG ,然后求解即可【详解】o,即满足PE AC .uuuruuur ,：|nn a c设F, G分别为DC , SC的中点，连接AC, BD, EF, FG, GE .设AC, BD交于点0, AC, EF交于点Ol所以在正四棱锥S-ABCD中，SO平 面 ABCD.第24页共19页所以SO AC,且AC BD ,由E, F, G分

9、别为BC, DC, SC的中点.所以 BD / /EF , SO / /GOi ,则有，GOi AC, AC EF ,且 EF I GOi Oi 所以 AC平面EFG .故当点P在平面EFG内时，有PE AC成立.所以动点P的轨迹为平面EFG截正四棱锥S-ABCD的截面，即VEFG.由E, F,G分别为BC,DC,SC的中点.111所以 EF BD, GE SB, FG SD222又正四棱锥S-ABCD底面边长为2,高为1,所以BD 2 2 ,SB 1+ 2之=3.所以EF FG GE 2 3故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题228.设点P为双曲线% (1 a

10、0, b 0)右支上的动点，过点P向两条渐近 线作：b?垂线，垂足分别为V, B ,若点AB始终在第一、第四象限内，则双曲线离此事取值范围是()A. (I,233 B. (1,2 C 23 ,+8) d . 2 , +8)答案】B解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内，则可以得到倾斜角的 范围，再利用离心率的计算方法求出结果详解】根据题意，因为点P为双曲线右支上的动点，过点P向两条渐近线作 垂线，垂足分别为A, B,若点AB始终在第一、第四象限内，则有渐断含x的倾斜角不大4b，即1，则 于双曲线的离心率为e c L ab2 ,又el,则1 6 2.a、2故选B点睛】 本题考查了求双曲

11、线的离心率范围问题牟答时要结合题目中的已知条件，并能熟练运用离心率计算推导公式2b ,考查了理解能力和转化能a力.二、填空题221的右焦点重合，则。9 .若抛物线v2 2dx的焦点与双曲线* y6 3 值.【答案】622【解析】试题：根据题意，由于双曲X 1的A Q(3,0),因此可知抛物线y2 2pxa2 6, b2 3, c2 a2+b2 9 c 3右焦点坐标为的焦点(，0)(3,0) p 3 p 6，故答案为6 22【考点】考查了抛物线与双曲线的性质.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标, 然后得到参数P的值，属于基础题.10 .已知空间四边ABCD的每条边

12、和对角线的长都等于2,点E, F分别是边 uuurAD的中点，则AEW的值为.答案】解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果详解】 因为点E,F分别是逸C, AD的中点，uuru uuruAC AD ) . Y因为空间见访开2 2 cos60 2 2 cos60 ) 1.4uuur 1 uuur uuru iuuru i uuruuur 则euuru的每条边和对角线的长都2,所以原式1 (2 等于故答案为:1【点睛】 本题考查了向量数量积的运算，解题过程中运用向量的加法运算进行转化，转化 为空间四 边形边之间的关系，然后再结合题意计算出结果，需要掌握解题方法.11 .已知A (

13、- 1, 0) , B (1, 0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N, 若uuuur uuur uuurI MN AN NB ,当 0时，动点M的轨迹可以是(把所有可能的序号都写上).圆；椭圆；双曲线；抛物线答案】uuuur uuur uuur解析】设点M的坐标，得到N点坐标，利用条件中am mu "留山壬，I MN |2点M的轨迹方程，然后再进行判断轨迹图形详解】(x 1) (1 x),化简uuuur uuur uuur港 M (y. v) . UH N.由联 AN NR 计曾用徨 v22得x y ,又因为 0,即得X? y 1,当0时,其轨迹方程是双曲线；当0且 1时其轨迹方

14、程是椭圆；当1时其轨迹方程是圆，综上动点M的轨 迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为：【点睛】本题考查了动点轨迹问题，求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程，然后 再进行判断，解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简，注意分类讨论. 112 .过点M ( , 1)的直线1与圆C： (x- 1) 2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当N ACB2最小时，直线1的方程为.【答案】2x- 4y+3 = 0【解析】要NACB最小则分析可得圆心C到直线1的距离最大，此时直线1与直 线CM垂22直，即可算出CM的斜率求得直线1的方程.详解】10由题得，当NACB最小时，直线1与直线CM垂直，止网12

15、,又2k k1111T1T-7 -Jtr /q r 、-X 1 1 r / -i LL l、Iz、日 口1 （X 2）,即2x 4y 3 022故答案为：2x 4y 3 0点本题主要考查直线与圆的位置关系寸定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为 圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为T, 以及用点斜 式写出直线方程的方法H ,斜率为1的直线1与轴y2 1相交于a,B两点，则AB的最大值为_4答案】4 10【解析】设出直线1的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得 弦长的表 达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b ,代入椭圆方程并化简得

16、2228bXI X2,XI X24b2 455 b 5, AB 1 1 6245b216b25 16 2ABmax 28 04 102 55点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,A 1 讣2 Qn n16b225 80,当 b 0 时，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD - AiBiQDi的棱长为2,点P在正方形ABCD的边界及 其内部运动.平面区域W由所有满足5 AiP| 6的点P组成，则W的面积是 一；四面体P - AiBC的体积的最大值是43解析】结合题意先找到满足条件5 AiP 6的平面区域，然后计算出其面积； 要求四面体的体积的最大值，

17、已知高是固定的，当底面面积最大时就可以求得体 积最大详解】连接AP，在正方体中可知AiA AP，则三角形AiAP为直角三角形, 又因为AiA 2, 5 AiP 6，可计算得1 AP 2，又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，则平面区域W是以点A为圆心，半径为1和2之间交正方形ABCD的圆环，所以平面区域W的面积是1 ( 2) 2门；由题意可知当点P在边4 4 41 1 4AD上时，四面体P AiBC的体积最大值是 2 2 2.1 3 2 3故答案为：；443【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题，求解时需要理清题意，计算求出满足题 意的结果在求四面体的最值时可以转化顶点和底面，找到

18、确定值和变量，然后再 求最值.三、解答题15 .已知复数z满足z 2 , z的实部大于0, 一的虚部为2.uuur uuur uuurA d r 土， C A HR 、1)求复数z；2)设复数z, z2, z-z2之在复平面上对应的 点分别为的值.【答案】(1)1+i; (2)-2.【解析】(1)先设出复数Z的表达式，结合已知条件中Z 2，实部大于0，和 广的虚部为2，列出方程求解出复数z的表达式.(2)由(1)求出复数z的表达式，即可得到z, z2 , z z2在复平面上对应的 点坐标，进而求出结果.【详解】(1)设复数 z=x+yi, x> y£R;由 | z | 2 ,得

19、 x2+y2=2;又z的实部大于0即x>0,z2=x- - y2+2xyi 的虚部为 2xy=2,所以xy=l;解得 x= 1, y= 1;所以复数z=l+i;(2)复数 z 1 i,则 z? (1 i) 2 2i,z z2 1 i 2i 1 i ;则 A (1, 1) ,B (0,2) ,C (1, - 1);uuur uuur uuur所以(OA OB) OC (1,3)(1, 1) 1 1 3 ( 1) 2 .【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义，解题时的方法是设出复数的表达 式，按照题意得到方程组进行求解，本题较为基础.16 .如图在 AAOB 中，Z A0B=90&

20、#176; , A0=2, OB=1, AA0C 可以通过 AAOB 以直(1)求异面直线0B与CD所成角的余弦值；(2)求直线0B与平面COD所成角的正弦值.【答案】(1)二2线A0为轴旋转得到，且OBLOC,点D为斜边AB的中点.35【解析】（1）以0为原点,oc为X轴,0B为y轴,0A为Z轴，建立空间直角坐标系，求出异面直线0B与CD的坐标表示，运用公式求出其夹角的余弦值.2)先求出平面COD的法向量，然后运用公式求出直线0B与平面COD所成 角的正弦值.详解】1)以0为原点,0C为x轴,0B为y轴,0A为z轴,建立空间直角坐标系,0 (0, 0,0) ,B (0, 1,0) ,C (1

21、,0,0) , A (Q,E), 2)10, , 1)uuur uuur 1OB ( 0, 1,0) , CD ( - 1,1)，uuuruuur则cos异面直线OB与CD所成角的余弦值为1uuur30, 1,0) , ocuuur uuur(1,0,0)2、 HR设平面COD的法向量nr UUUV1，取 y 2 ,得 n (0,2,-uuuv i) , zo2y设直线0B与平面X)D所成角为9,则直线0B与平COD所成角的正弦值为：面 uuur r 0B nsin 9 uuur0B n【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题，求解过 程中建立空间直角坐标系，运用空间向量知

22、识来求解，需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边 长为2的正方形，4ABE和4BCF均为正三角形，在三棱锥P ABC中: (I)证明：平面PAC平面ABC； (II)求二面角A PC B的余弦值；CM1 2(III)若点M在棱PC上，满足 ,点N在棱BP上，且CP3 3BNBM AN ,求的取值范围.BP【答案】(I )见解析;(II) 3 ; (III) BX E1 ,2.3 BP 4 5【解析】试题分析：第一问取AC中点 0 ,根据等腰三角形的性质求得PO AC ,根据题中所给的边长，利用勾股定理 求得PO 0B ,

23、利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果； 第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得 面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系， 利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0,得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.(I )方法1 ：设AC的中点为0 ,连接BO, P0.由题意PA PB PC 2 , PO 1, AO BO CO 1因为在PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为在POB中,PO 1 , OB 1 , PB 2所以PO OB因为 AC OB 0, AC, OB平面ABC所以PO平面

24、ABC因为PO平面PAC所以平而方法PAC平面ABC设AC的中点为0 ,连接BO, PO.因为在PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC,因为 PA PB PC, PO PO PO, AO所以POA也POB会POCBO CO所以 POA POB POC 90所以PO OB因为 AC OB 0, AC, OB 平面 ABC所以PO平面ABC因为P。平面PAC 所以平PAC平面ABC方法设AC的中点为0 ,连接P0 ,因为在PAC 中，PAPC,所以PO AC所N因为所以因为所以因为所以因为所一PQPQABOPOPABPOPO平以AB°Q Q' PQ,OQ 平面

25、76;PQ平面OPQ平面OPQABAC A, AB, AC 平面 ABC平面ABC平面PACPAC 平面ABC如图建立空间直角坐标系，则设AB的中点Q ，连接PQ , 0Q及0B.因为在OAB中，OA OB, Q为AB的中点所以OQ AB .因为在PAB中，PA PB, Q为AB的中点UUUV nn n 1 n0, C 1,0,0 , B 0,1,0 , A 1, 0, 0 , P矶平面APC ,故平面APC的法向匾)，1为II )第19页共19页由 P0 平面 ABC, OB AC ,uuuv由BCI，。uuu 1,0, 1第33页共19页，Vx, y, z v ' J' n

26、 roil设平PBC的法向量 面 为uuuvnn 0 x n八z 01即nv由 UUUV得：n pc 0x令 x L yzZr-t.cos nv, OBnVuu uv0 B133由二面角A PC B是锐二面角,所以(III面角A PCuuuv uu设 BN BPB的余弦值为31，0 , 则uuu uuuv uuuu uuuBM BC CM BCUUUCP 1, 1,01,0,111,uuu uuuv uuuv uuuv uuuvAN AR RN AR RP 1.1.00. 1.1UUU UUU1UV VBM AN 1111 u是关于的单调递增函数,1所以123时,45BNBP18.如图，在平面

27、直角坐标系xOy中，已知直线1 ：2=0,抛物线 C ： y 2=2px (p（1）若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线C的方2）已知抛物线C上存在关于直线1对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为（2 p, p）；求p的取值范围.答案】（1）; （ 2）证明见解析：.解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）利用抛物 线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证： 利用直线与抛物线位置关系确定数量关 系：224p2 4(4p2 4p) 0,解出p的取值范围.【详解】(1)抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为(p, 0)由点(，0)在直线l:x y 2 0±,得

28、0 2 0,即p 4.22所以抛物线C的方程为y2 8x.“设 P (xx, yi), Q (x2, y2 ),线段 PQ 的中点 M(xo' 7因为点P和Q关于直线1对称，所以直线1垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1,则可设其方程为y x b.2由 ' "x 消去 x 得 y2 2py 2pb 0 (*) y x byi y2,因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而 (2p)2 4( 2pb) 0 ,化简得 p 2b 0.yl y2P-方程)的两根为九2p p2 2pb ,从而yo因为M(xo, yo)在直线1上，所以2 p.因此，线段PQ的中点坐标为(0, p).因为M(2 p, p).在直线y所以 p (2 p) b ,即 b 22p.由知p 2b 0 ,于是p 2(2p) 0 ,所以因此p的取值范围为(0,：). 3考点】直线与抛物线位置关系名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑)利用判别式来构造不等关系, 从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这 类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或