2019年一模试题分类几何综合教师版

1、2019年一模试题分类几何综合教师版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解!等边三角形、等腰三角形 +旋转变换1.燕山：如图，点P是线段AB上的动点，分别以 AR BP为边向线段 AB的同侧作正APCF口正 BPD AD和BC交于点 M1当APG口 BPD1积之和最小时，直接写出 AP: PB的值和/ AMC勺度数；2将点P在线段AB上随意固定，再把 BPDK顺时针方向绕点 P旋转一个角度“，当a <60。时，旋转过程中，/ AMC勺度数是否发生变化？证明你的结论.3在第2小题给出的旋转过程中，假设限定60。<“<120。，/ A

2、MC勺大小是否会发生变化？假设变化，请写出/ AMC的度数变化范围；假设不变化，请写出/AMC的度数.24. 1 , 60° 2 分C不变化.证明：如图，点 E在AP的延长线上，M/BPE=a <60。.只要画出了符合题意的图形即可得分-忑-3分 / BPCh CPD+60 , / DPA4 CPD+60 / BPC4 DPA.在 BPDA DPA中，又 BP=DP PC=PA . .BPe DPA. 4 分 / BCP4 DAP./ AMC=180 - / MCPZ PCA / MAC= 120 - / BCP- / MAC=120° - / DAPfZ MAC -

3、 / PCA=120° - /PAC=60 ° ,且与a的大小无关 6分不变化，60° 7分2.东城 /AB(=90° ,点P为射线BC上任意一点点 P与点B不重合，分别以AB AP为边在/ ABC勺内部作等边 ABE4APQ连结QE延长交BP于点F.1如图1,假设AB=26，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时 EF的长直接写出结果；2如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想 EF与图中的哪条线段相等不能添 加辅助线产生新的线段，并加以证明；3假设ab=2-,设BP=x ,以QF为边的等边三角形的面积 V,求y关于x的函数关系式、图I24.本小题总

4、分值7分解：1EF=2、Q图22EF=BF证明： / BAPN BAE / EAP60 - / EAP , / EAQ= QAP/EAP60 -/EAP，/ BAPEAQ、 在 AB刖 AAEC,AB=AE / BAPN EAQ AP=AQ AABF AAE(Q/ AEQ= ABP=90 、/ BEF=1800一/AEQ -ZAEB =180s-90°-600 = 30s'又: /EB乒90° -60 ° =30° ,EF=BR 4 分(3)在图1中，过点F作FDL BE于点D AB%等边三角形，BE=AB2 百、由2得 4BF =30°

5、;，在 R/D叶，bD=BF= BG 二2 cos30EF=2 、AB陛 AEQ, :.QE=BPx、QF=QEb EF=x 2以QF为边的等边三角形的面积y小x第十x23x、33、顺义问题：如图1,在RtA ABC中，/C =903/ABC =30%点D是射线CB上任意一点，AD既等边三角形，且点 D在/ACB的内部，连接BE、探究线段BE与DE之间的数量关系、请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明1当点D与点C重合时如图2，请你补全图形、由 ZBAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；2当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究

6、线段BE与DE之间的数量关系是否与1中的结论相同，写出你的猜想并加以证明、一 ACF是等边二角形、一 AC=AF、ADE等边三角形， /2=60JAD=AE、/1 =/2、4+/BAD =22+2BAD、即 /CAD =/FAE、 5 分由得 4AC挈AAFESAS、 6分/ACD =/AFE =90 口、.F是AB的中点，.二EF是AB的垂直平分线、BE=AE 7分ADE等边三角形，DE=AE/. BE = DE、 8分4.延庆如图1,:等边 ABG点D是边BC上一点点D不与点 曰 点C重合，求证:ABD+DC > AD下面的证法供你参考:把&ACD绕点A瞬时间针旋转60

7、9;得到 MBE，连接ER那么有：ACD 三. ：ABE，dc=eb,AD=AE,. DAE = 604ADE是等边三角形 .AD=DE在 ADBE 中，BD+EB> DE 即：BD+DCAD实践探索：1 如图请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题:2,点D是等腰直角三角形 ABC边上的点点 D不与AEB2连接求证：BD+DC> 2 AD如果点D运动到等腰直角三角形4 ABC外或内时，BD/DC和AD之间又存在怎样的数量关系？证明：把ED, -1那么有直接写出结论.ACD绕点A瞬时针旋转90得至B：ACD 三.ABE，dc=eb;ad=ae，/dae =90 &ade 是等

8、腰直角二角形 b，CAE图3 .DE= 2 AD在 &DBE 中，BD+EB > DE即：BD+DC>2AD2BD+DO 拒AD3猜想 1: BD+DC2AD证明：把AACD绕点A顺时针旋转，得到 ABE那么有 aAcD 三 aabe，DC=EB, / ACDW ABE5 分. / BAC+Z BDC=180 o.1.Z ABD吆 ACD=180 o ./ ABD+Z ABE=180 o即：E、B、D三点共线6 分. AD=AE,在 Aade 中 : AE+AD>DE即 BD+DC2AD7或者猜想2：证明把AJCD缝点A|«时铜雕Q,得到氏狐EJS有三3ZA

9、CD=ZAHE5 分VZBAC+ZKDC=18B*AZABD+2AO1SWAZABD+ZAEEM80*即：E.B. D三戊蝴6分7 分间接利用旋转变换添加辅助线5、密云：正方形 ABCD中，/MAN =45,绕点A顺时针旋转，它白两边分别交 CBDC或它们的延长线于点 M N、1如图1,当/man绕点a旋转到bm = dn时，有bm + DN = MN、当/MAN绕点A旋转到BM D DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;2当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段 BM , DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明、解：1答：

10、1 中的结论仍然 成立，即BM +DN =MN、证明：如图2,在MB勺延长线上截取BE=DN连结AE、易证 /XABEW/XADNSAS、易证 ABMW/XADESAS、A附AE / MAB/ EAD易证 AMN AENSAS、=EN 、DN -DE = EN，DN-BM =MN、26、平谷如图，四边形 ABCO正方形，对角线 ACBDf交于O(1) 如图1,设E、F分别是AD AB上的点，且ZEOI=90 ,线段AR BF和EF之间存在一定的数量关系、请你用等式直接写出这个数量关系；2如图2,设E F分别是ABlB同的两个点， 且/ EO=45 ,请你用等式表示线段 AEBF和EF之间的数量

11、关系，并证明. EF2 =AF2 +AE2.1 分(2)线段AE BF和EF之间的数量关系：EF2 ;BF2 +AE2. .2 分 证明：过O作OHL OF交ADT点H,连结HE.3分 / 1=45 , / AOB=90口，. / 2+/3=/2+/4=45° .3=7 4.由正方形性质可知，O/=OB Z 5=7 6=45° .DBAOH 9BOF4分 .BF=AH OF =OH 5分在 EOHF 口 EO升OE=OE,.EOH =. EOF =45 ,HO =FO,EO津 EOF .EF=EH 6分在 RtAAEHI,EH2 = AH2 AE2222. EF2 ; BF

12、2 AE2.7、怀柔探究：1如图1,在正方形 ABC珅，E F分别是BC CD上的点，且/ EAF=45。，判断BE DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：2如图2,假设把(1)问中的条件变为“在四边形 ABC珅，AB= AD / B+ / D= 180° ,E F分别是边BC CD上的点，且/ EAf= 1 / BAD,那么1问中结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明，假设不成立，说明理由；3在2问中，假设将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别 E F运动到BC CD®长线上时，如图3所示，其它条件不变，那么1问中的结论是否发生变化？假设变化，请给出结论并予以

13、证明.24、探究：At4 EAF=1通过观察可知， EF= BE+ DF.2 0论EF= BEDF仍然成立如图2.卡DF绕点A做时针旋转，使 AD即/ 4=Z2+Z 3.A2,ABADE 月 E2 C4=/ 1+13.又 / ABO / D= 180° , ./ Abf ' + / AB E=180° ,即:1在 AEF与 AEF中，AF=A F ', 1/ 4=/ 1+Z 3, AE=AE . AEH AEf '中， .EF=Ef',又 Ef'=BE+ Bf', 即：EF= BE+ DF. AABF'EB1分2分,B

14、F'=df. / AB2)3发生变化.EF、 BE DF之间的关系是 EF= BE DF.证明：将 ADF绕点A顺时针旋转，使 AD与AB重合，点F落在BC上点F'处, 得到 ABF',如图3所示. . ADH ABf ',/B A f '=/ DAF , A f ' =AF, Bf'=DF.又. / EAF=i / BAR 且/ B Af '=/ DAF./ F 'AE=Z FA E. 在 f 'AE与AFA E中 XF=A F ',/ F 'AE=Z FA E, AE=AE, f 'A&

15、#174; FA E. ef=eF', 又. BE= Bf ' + Ef ', . Ef ' =BE Bf '.即 EF= BE- DF.与中点有关的问题BA=BC DA=DE 联结 EC8、丰台：4ABCmAAD蕾两个不全等的等腰直角三角形，其中取EC的中点 M联结 BM DM1如图1,如果点 D E分别在边 AC AB上，那么 BM DM的数量关系与位置关系2将图1中的4AD或点A旋转到图2的位置时，判断1中的结论是否仍然成立，并 说明理由、DM2分2成立、BM:DMS BM理由如下：延长 DM至点F,使MF=MD联结CFBE BD易证 EM孽ACM

16、FED=CF, / DEM/ 1、 AB=BC AD=DE 且/ ADE/ABG90，/2=/3=45° ,/ 4=/ 5=45 、 / BAB/2+/4+/6=90° +/6、8=360 °-Z5- Z 7- Z1, / 7=180°-/ 6- / 9,/ 8=360°=360°-45180。 - /6- /9-45° -180+/ 6+Z 9- 45/ 3+Z 9-/ 9 =90° +/6、 ./ 8=Z BAD又 AD=CE .AB四 4CBF . BD=BF, / ABB/CBF ./ DBF：/AB090

17、 、.MF=MD .BM:DMM BML DM .9、石景山1如图1,在矩形 ABCM, AB：2BC M是AB的中点、直接写出/ BMD<Z ADM勺倍数关系；2如图2,假设四边形 ABCDI平行四边形， AB=2BC M是AB的中点，过C作CEL AD 与AD所在直线交于点 E、假设/ A为锐角，那么/ BMET/ AEMT怎样的倍数关系，并证明你的结论；当时，上述结论成立;/ BMD= 3 / ADM联结BM取CE的中点CF,联结 MF M茎、AB 的中点，MF/ AE/ BC,AE1 , / 2=/ 4.BM=BC3=7 4. AB=2BC _ _ _ _ _. CAL AE,

18、MfL EG 史 : F 是 EC.点，MME=MC W11=/2. .4 分 图 2 D1 = /2=/3. ./ BME=3/AEM. .5 分 A当0° </A<120°时，结论成立；当2分交FCBM°<ZA<180°时，上述结论不成立、当120中W/A < 180$时，结论不成立.10、海淀在 DABCDK / A =/DBG 过点 D作 DE=DF,且/ EDFZ ABC) 连接 EE EC,M P分别为EC BC的中点，连接 NP1如图1,假设点E在DP上，EF与DC交于点M试探究线段NP与线段NM的数量关系及/

19、ABD/MNP1足的等量关系，请直接写出你的结论；2如图2,假设点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在1中得到的结论仍然成立，写出你确定的点 M的位置，并证明1中的结论.图21解：A,DABD+ / (或其/表达，各 / E <2咫M是级段1 NPMMN /MNP =180F它变式及文字分）.2证明：如图，分别连接BE CF.四边形ABCD平行四边形，. AD/ BC AB/ DC / A=/DCB. / ABB/BDC. /A=/DBC . /DB6/DCB. DB=DC 3分. / EDF= / ABD / EDF= / BDC. / BDCjEDC= / EDFZ EDC即/BD

20、E=/CDF 又DE=DE由得 BDEE 4CDF 4分N、P分别为EG BC的中点，NP/ EBEB=FC /1 = /2.NP=1EB2同理可得MIN/ FG M= 1.1 FC 2NP= NM 5 分 NP/ EB NP(=/4./ ENI=Z NCF+Z NPCZ NCPZ 4. MN/ FC, ./ MNEZ FCE=Z 3+/2=/3+/1. ./ MNPZMNEZ ENP/3+/1 + Z NCF+Z 4=/ DBC/ DCB180曰/ BDC1802/ABDZ ABD+ Z MNP=180 ° 7 分轴对称+中点+旋转思想添辅助线11、西城：在如图1所示的锐角三角形

21、AB8, C也AB于点H,点B关于直线CH的对称 点为D, AC边上一点E满足/ EDA/A,直线DE交直线CH于点F、(1)求证：BF/ AQ(2) 假设AC边的中点为 M求证：DF =2EM ；(3)当AB=BC时如图2，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图 2中所有与 BE相等的线段，并证明你的结论、图1图224、证明：1如图6、点B关于直线CH的对称点为 D, CH，AB于点H, 直线DE交直线CH于点F,BF=DF DH=BH 1分/1 = /2、又. /EDA/A, /EDA/1, / A= / 2、BF/ AG 2分2取FD的中点N连结HM HNBE H是BD的中点，N是FD

22、的中点，.二 HN/ 由1得 BF/ AC HN AG 即 HN EM 在 RtAACH, / AHC90 , AC边的中点为M 1、HM = AC =AM 2 / A= / 3、 /EDA/3、 . NE/ HM四边形ENHM1平行四边形、HN=EM在 RtDFH中，/ DHI=90 , DF的中点为 N,1 ，即 DF =2HN、HN DF 2DF =2EM、2中所有与BE3当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图相等的线段是 EF和CE 只猜想结论不给分证明：连结 CD如图8点B关于直线 CH的对称点为 D, CHLAB于点H图8- NABC =180一2/A，AB=CD

23、 /EDA/A,/6=180°2/A，AE=DE BC=CD / ABC= / 5、. AB= BC/ABC= /6=/5、 /BDE ADE勺外角,/BDE =/A+/6、 /BDE=/4+/5，/ A= A 4、由，得 AB彦ADCE 5分BE= CE、 6 分由1中 BF=DF# /CFE= BFC由1中所得 BFII AC可得 /BFCNECF /CFEW ECFEF=CEBE=EF 7分BE=EF=CE阅卷说明：在第 3问中，假设仅证出 BE=EF或BE=CE只得2分轴对称思想添辅助线12.门头沟：在 ABC中，BG2AC / DBC/ACB BD=BC CD交线段 AB于

24、点 E、1如 图l ,当/ ACB90。时，直接写出线段 DE CE之间的数量关系；2如图2,当/ ACB120。时，求证：DE=3CE;3如图3,在2的条件下，点 F是BC边的中点，连接 DF, DF与AB交于G DKGF口 DB爻于直线 DG对称点B的对称点是点 K,延长DK交AB于点H假设BF+10,求CE 的长.DBC=60 BC=2AC . BM=AC.Z ACB=120 , . /ACE=90 . / BMEh ACE / MEBh AEC2. ME=CE=| CMDE=3EC. / DBF=120/ FBN=60(3) 过点B作BML DC于M,过点F作FN± DB交D

25、B的延长线于点 N.FN3 BF,BN= 1 BF -5 分22DB=BC=2BF,DN=DB+BN= BFBNF图3CDF=5 BF7(AC=1 BC,BF=1 BG-. AC=BF22, / DBCh ACB /DBHBCA Z BDF4 CBA./ BFGh DFB, FBGA FDBBF bgBFJ7BF - DF - DBbf2=fg FD ' ''' FG DG=6 后 BF，BG=2；7BFDM称TT DKCDA DB或于直线Z GDH4 BDF.Z ABC? GDH. / BGFh DGA/. BGfA DGH. 当 _GF ' '

26、;- GH=377 BF-DG -GH 7BH=BG+GH=y BF=10,7BF=2V7-.6分 BC=2BF=4/y ,CM= 2后.CD=2CM=.DE=3EC.7分ECq cd=/2113、昌平 如图，在四边形 ABC3,对角线 AG BD相交于点0,直线M陷过点Q设锐 角/ D0Z a,将4 D03直线 吊题对称轴翻折得到 D' 00,直线AD'、BC'相交于点P、1当四边形 ABC虚矩形时，如图1,请猜想 AD BC'的数量关系以及/ APBZ a 的大小关系；2当四边形 ABCO平行四边形时，如图 2,们中的结论还成立吗？3当四边形 ABCO等腰梯

27、形时，如图 3, Z APBZ a有怎样的等量关系？请证明、图1图225、解:图1图21A D' =B C' , / APR/ “、 2 分2A D' =B C 仍然成立，/ APB/ a不一定成立、3分3/ APB=180 - / a 4分 证明：如图3,设OC, PD交于点E、将DOCA直线MM对称轴翻折得到 D OC, ADO© D OC,:.ODOD, O©OC, /DOC/D OC、四边形ABCD1等腰梯形， AGBD A&CD, / ABC / DCB . BC=C B,. AAB( ADCB /DBC/ACBOBOC OAOD.

28、 Z AOB /COD/C' O D / BOC = DC O A、. OD =OA OC =OBAD5 OC AAOB /OD C' = /OAB、. OD =OA OC =OB / BOC = DC O A, /OD A = ZOAD =Z OBC =/OC B、. /C EP= /D' EO/C' PE= /C' OD =ZCODZ a、/ C P曰/APR180 , ./ APB180 -/ a、 8分14.朝阳阅读下面材料：,DG2、问题：如图，在ABC43, D是BC边上的一点，假设/ BAH/C=2/DAC45 求BD的长、小明同学的解题思

29、路是：利用轴对称，把ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决、1请你回答：图中 BD的长为；2参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在 ABC中，D是BC边上的一点, 假设 / BAD/C=2/DA©30 , DG2,求 BD和 AB 的长、图图2分23.解：1 bd = 292把 ADC& AC翻折，得 AEC连接DE.AD生 AEC . . / DAB / EAC / DCAZ ECA DC= EC/ BAB/BC盒2/DAC30 , . / BAB/DA=30 , D DCE60.CD助等边三角形 3分 A. DC= DE在AE上截取 AF= AB连接 DF .

30、.AB国AFD，BD= DF 在 ABD43, / ADB：/ DAO / DCA45 /AD曰/AED=75 , / ABD=105.Z AFD=105 ./DFE=75 . . . / DF: /DEF . . DF= . BD= DC= 2. 4分作 BGL AD点 G, 在 RtABDCG, D0日 5分BG = 2在 RtAABG, 2" 6分AB =2.2几何探究与函数关系式问题15、通州四边形 ABCD点E是射线BC上的一个动点点 E不与B C两点重合，线段BE的垂直平分线交射线 AC于点P,联结DR PE.AACBC1假设四边形 ABC奥正方形，猜想 PD与PE的关系

31、，并证明你的结论.2假设四边形 ABC虚矩形，1中的PDW PE的关系还成立吗?填：成立或不成立3假设四边形 ABC虚矩形，AB=6, cos/ACD3设AP=x PCE勺面积为y,当AP>1 AC时，求y与x之间的函数关系式251P口PD, .（1分）PEE± PD .（2分）当点E在射线BC边上，且交点P在对角线AC上时，连结PB四边形ABCLg正方形，.-.AB= AQ / BAP= /DAP又AP= AP, .BA国ADAPSAS。 P五 PD/ 点P在BE的垂直平分线上/PB=PE, .PE= PD八 '卜BA国ADAP . ZDPA= ZAPB.又/APB=

32、 180° 45° /ABP= 135° / ABP ./DPA= 135/ABP又. PE= PB, . ./BPE= 180° 2/PBE ./DPE= 3600 /DPA- ZAPB- / BPE= 360° -2135° 一/ABF? 180° +2 /PBE =360° 270° +2/ABP-180° +2ZPBE=90°. PEE± PDP、C两点重合.（3 分）PE = PD, PE _ PD.（4 分）当点E在BC边的延长线上且点P在对角 线AC的延长线上时

33、，连2g PB同理可证. BA国DAPSAS。. PB=PD / PBA力 PDA丁 / PBEW PDC点P在BE的垂直平分线上 .PB=PE / PBEW PEB . / PDC= PEB / DFCW EFP丁. / EPF =/ DCF900.PE± PD 结论成立.（5 分）31中的猜想不成立.4当点P在线段AC上时 四边形ABCLg矩形，AB=6 DC=AB= ./ABCW ADC900. cos/AC= 3.-.AD=8, AC=105作PCL BC于点Q . PQ/ AB.（6 分）PC =CQPA BQ10 x=8 -BQx BQBQ=4 x, .-.BE=8x,C

34、E=8x-8555.CPQ ACABPQ =CPAB CAPQ =10 -x6105PQ=6- o x3.(7分). y= 1 ECX PQ2二(8x 8)( 6- 3x)12 x + 36 x- 24( 5<x<10)255当点P在线段AC的延长线上时PQ/ AB.CPQACAB;PQ = PCAB ACPQ =x -10610PQ=3 x-6'PC =CQAC BC:x -10 =CQ108 .CQ=4x-85 .BQ=4x5.-.BE=Qx85.EC=8x-85. .y =1 ECX PQ2=1 ( 8 x 8) ( 3 x- 6)=12 x2- 36x+24(x&g

35、t;10) .(8 分)255几何最值问题16、房山如图1,在ABC,/ ACB90, AC=BG= jg,以点B为圆心，以J为半径作圆.设点P为。B上的一个动点，线段C啖着点C顺时针旋转90。，得到线段CD联结DADB PB，如图 2、求证：AD=BP在的条件下，隹i设/ CP=135 ,那么BD=;在的条件下，当/ PBG°时，BD有最大值，且最大值为 ;当/ PBB° 时，BD有最小值，且最小值为 、证明：. / ACB：90 , ZDCI=90 ,/ ACDW BCP AC=BC,CD=CP .AC里 BCP(SAS) .AD=BP2 分在的条件下，假设/ CPB1

36、35。，那么BD=2j5或2;答对一个给1分当/ PBB135时，BD有最大值，且最大值为 国土叵；.10-2当/ PBG 45_°时,BD有最小值，且最小值为每空1分旋转变换中不变量+辅助圆的构造17.朝阳 在矩形 ABCDK 点P在AD上，AB=2, AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB BC边相交于点E、F,连接EF、1如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；2将三角板从1中的位置开始，绕点 P顺时针旋转，当点 E与点A重合时停止， 在这个过程中，请你观察、探究并解答：/PEF的大小是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长、备用图25