2019年高中数学第二章几个重要的不等式3

1、2019年高中数学第二章几个重 要的不等式32019 年高中数学第二章几个重要的不等式31 进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧2了解贝努利不等式，并能利用它证明简单的不等式1 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式尤其是第二步：一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”，另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法【做一做 1 1】 设 f(k) 是定义在正整数集上的函数， 且 f(k) 满足： 当"f(k) nk2成立时，总可推出f(k +1) A(k+1)2成立.”那么下列 命题总成立

2、的是() A.若f(3) >9成立，则当k>l时，均有f(k) >k2成立B.若f(5) A25成立，则当k<5时，均有f(k) Ak2成立C.若f(7) <49成立，则当k>8时，均有f(k) < k2成立D.若f(4) =25成立，则当k>4时，均有f(k) >k2成立【做一做 12】证明 <1 + + + + + < n+1(n>1).当 n=2 时, 中间式子等于2贝努利不等式对任何实数x>- 1和任何正整数n,有(1 +x)n >.当指数n推广到任意实数且x>1时，右 0<%<1,则

3、(1+x)%w1+%x;若 < 0 或% > 1,则(1 +x) % n 1+ % X.当且仅当X = 0时等号成立.【做一做2设n6N+,求证：3n>2n.答案：【做一做1 1】D由题意，设f(k)满足：“当f(k) Ak2成立时, 总可推出f(k +1)>(k+ 1)2成立.”因此对于选项A,不一定有k=1,2 时成立.对于选项 B, C显然错误，对于选项 D, f(4) =25>42,因 此对于任意的kA4,总有f(k) Ak2成立.【做一做12】1 + + + 当n = 2时，=,中间式子为1 + + + .2 1 nX【做一做2】分析：利用贝努利不等式来

4、证明.证明：3n=(l + 2)口，根据贝努利不等式，有(l+2)n、l+nX2 = l+2n.上式右边舍去L得(l + 2)n>2n.A3n>2n 成立.L观察、归纳、猜想、证明的方法剖析:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题 的成立或不成立都需要预先归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从 特例入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是由归纳法 得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以通过观察、分析、归纳、 猜想，探索一般规律，其关键在于正确地归纳猜想，如果归纳不出正确 的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时，n的取值不能太少，因为前

5、n项的关系可能只是 特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论.2.从“n=k”到*n=k+l”的方法与技巧剖析.在用数学归纳法证明不等式的问题中，从“n = k"到“n=k + 1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法 证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第 二步中，从到，=k+l”,只用拼凑的方法，有时也行不通, 因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放 大"或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比 较法” “综合法”“分析法”等来分析从"n=k*到“n=k+

6、l"的变 化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构.题型一 用数学归纳法证明不等式【例 1】已知数列an满足：al = , a+(an+l + 2) an+2an+ 1 + 1 = 0.求证；一l<an<0.分析；利用数学归纳法证明，反思：在利用数学归纳法证明不等式时，要注意式子的变形，通过 放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等 式.题型二 利用贝努利不等式证明不等式【例2】设n为正整数，记an=n+l, 口=1,2, 3,.求证：an+lVan*分析：用求商比较法证明an+lVan,其中要用贝努利不等式.反思：本题在证明的过程中，综合

7、运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.题型三易错辨析【例3】求证：+ + > 1.错解：证明：(1)当n=1时，左边= + + = > 1成立.(2)假设当 n=k(k6N+,且 k>1)时，+ + + > 1 成立，则当n = k+1时，+ + + > 1 + >1成立.由(1) , (2)知，原不等式成立.错因分析：上述证明中，从k到k+1,只添加了一项是错误的.分 母是相邻的自然数，故应有+ + .反思：在利用数学归纳法证明的过程中，第 (2)步由n=k到n=k + 1时，注意项数的增加和减少，往往会有减项也有增项，这些一定要

8、弄清楚.答案：【例1】证明：(1)当n=1时，a1 = - (-1,0),结论成立.(2)假设当 n=k(k >1 且 k6N+)时，1<ak<0 成立.当门=卜+ 1 时，ak + 1 = -(ak+2) - + 2,1<ak<0, .1<2卜 + 2<2,又丫 = 1+在 t 6(1,2)内为增函数， ak+ 2 + 6 .，ak+1 6 ,贝！J 1<ak+1<0,.当门=卜+1时，1<ak+1<0成立.综合(1) , (2)知，对一切 n6N+, 1<an<0成立.例2证明：由an的定义，知对一切n= 1,2

9、,3 ,，an为正数， 所以只需证>1, n=1,2,3 ,.11 + nn+1由于=n+1x 1=n+ 1 xn+ 1n+23 "6 6=n+ 1 xn+ 1n+2=n+1x,因此，根据贝努利不等式,有乂n+ 1n+2>xn+ 1n + 2=X = 1 .an>an+1对于一切正整数n都成立.【例3】正解：证明：(1)当n=1时，左边= + + = > 1成立.(2)假设当 n=k(k6N+,且 k>1)时，+ + + > 1 成立，则当 n = k+1 时，+ + - + + + + = + + - + + > 1 + + -= 1 +

10、- =1 H > 1,当n = k+ 1时，等式成立，由(1)(2)知原不等式成立.1用数学归纳法证明 + + + + < n(n6N+,且n>1)时，第一 步即证下述哪个不等式成立().A. K2 B . 1 + <2 C , 1 + + <2 D , 1 + <22f(n) =1 + + +(n6N+ ),经计算得 f(2) =, f(4) >2, f(8) >,f(16) >3, f(32) >.推测：当 n>2 时，有().A.f(2n1)> B . f(2n) > C . f(2n) > D .f(2

11、nn-1)>23用数学归纳法证明+ + + + >,假设n=k时，不等式成立，则当n = k+1时，应推证的目标是().1k+3B.c.1k+21k+11D. + + > 7 k4已知a>c>d>b>0, a+b=c + d, n为大于1的正整数，求证： an + bn>cn + dn.答案：1. C n = 2时，左边=1 + + ,右边=2,所以应证1 + + <2成立.2. B vf(2) =; f(4) >2,即 f(22) > f(8) >,即 f(23) > f(16) >3,即 f(24) > f(32) >,即 f(25) >.故猜想 f(2n) >(n >2).3. A注意不等式两边含变量“ n”的式子，因此当n=k+1时， 应该是含“n”的式子发生变化，所以 n=k+1时，应为+ + + + >4. 证明：设 a=c+m, b=dm 且 m>0,于是(an + bn) (