2019高中数学第2章平面向量2.2.3向量的数乘学案苏教版必修4

1、word文档可编辑，欢迎下载支持112.2.3 向量的数乘学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.预习新知夯实基础问题导学知识点一向量数乘的定义 思考1实数与向量相乘结果是实数还是向量?答案向量.思考2向量3a, 3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量 a的方向相同.3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量 a的方向相反.梳理向量的数乘实数入与向量a的积是一个向量，记作

2、 入a,它的长度与方向规定如下:(1)1 入 a| =1 入 II a| ；(2)入a(aw0)的方向，入0时,与a方向相同,入0时,与a方向相反;当入=0或a=0时，入a=0.实数入与向量a相乘，叫做向量的数乘.知识点二向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律.梳理 向量数乘的运算律(1)入(wa) = (入 p)a；(2)(入 +) a=入 a+ 科 a;(3)入(a+b)=入 a+ 入 b.知识点三向量共线定理思考 若b与非零向量a共线，是否存在 入满足b=入a?若b与向量a共线呢？答案 若b与非零向量a共线，存在 入满足b= la；若b与向量a

3、共线，当a = 0, bw0 时，不存在入满足b=入a.梳理(1)向量共线定理如果有一个实数 入，使b= xa(awo),那么b与a是共线向量；反之，如果 b与a(aw。) 是共线向量，那么有且只有一个实数入，使b=入a.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a, b,以及任意实数入，pi,(12,恒有 入(pia± 科2功=入(iia± 入 112b.思考辨析判断正误1 .若向量b与a共线，则存在唯一的实数入使b=入a.( x )提示当b = 0, a=0时，实数入不唯一.2 .若b=入a,则a与b共线.(V )提示 由向量共线定

4、理可知其正确.3 .若入 a=0,则 a=0.( x )提示若入a=0,则a=0或入=0.信渔思维探究重点题里探究类型一向量数乘的基本运算 一 1例 1 (1)化简：彳2(2 a+4b) 4(5 a2b).1解 4【2(2 a + 4b) 4(5 a- 2b)14(4 a + 8b 20a + 8b)1=4( 16a+ 16b) = 4a+ 4b.(2)已知向量为 a, b,未知向量为 x, y,向量a, b, x, y满足关系式 3x 2y=a, 4x +3y= b,求向量x, y.3x-2y= a,4x+ 3y= b,由x 3+x 2,得 x=3a+2b,代入得 3X(3a+2b)-2y=

5、a,所以 x=3a + 2b, y=4a+3b.反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移 项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类 项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练 1 (1)计算：(a+b) 3(ab) 8a.解 (a+b) 3(a b) 8a= (a 3a 8a) + ( b+ 3b)=10a+4b.(2)若 2113a 厂3(c+b-3y) +b=0,其中a,b, c为已知向量，则未知向量

6、221答案 9a-9b+9c11解析 因为 2 ' §a 3( c+b3y) + b=0,2212213y 3a+3b 3c= 0,所以 y=9a-9b + 9c.类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1, e2不共线.(1)若a=阪 ；e2, b=3e1 2e2,判断向量 a, b是否共线; 23(2)若AB= ede2, BC= 2ed8e2, CD= 3(e1 ez),求证：A B, D三点共线.(1)解 b=6a,a 与 b 共线.(2)证明AB= e1+e2, BD>BC>Cd= 2e1+8e2+3e3e2=5(e-

7、e2) =5AB .AB, BD洪线，且有公共点 B,.A, B, D三点共线.反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表 示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两 向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b=入a(aw。)，还要说明向量 a,b有公共点.跟踪训练2 已知非零向量 eb e2不共线，如果AB= e + 2e2, BC= 5ed6e2, Cd= 7a2e2, 则共线的三个点是.答案 A, B, D解析 Ab= e1+2e2, Bb= BC> CD= 5e1 + 6

8、e2+ 7e1- 2e2= 2( e1 + 2e2) = 2AB .AB, BD共线，且有公共点 B, . A, B, D三点共线.命题角度2利用向量共线求参数值 例3已知非零向量ei, e2不共线，欲使kei + e2和ei + ke2共线，试确定k的值.解 : kei+e2 与 ei + ke2 共线，存在实数 入，使kei+ e2=入（ei+ke2）,则（k入）ei = （入 k-1）e2,k入=0,由于ei与e2不共线，只能有，入 k1=0,.k=±1.反思与感悟利用向量共线定理，即 b与a（aw0）共线？ b= la,既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.

9、跟踪训练3已知A B, P三点共线，O为直线外任意一点，若 02 x0佯yOB则x + y =答案 1解析 由于A, B, P三点共线，则属 XP在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数入使得AP=入届 即Op-OA=入（Ob-OA, Op=（1 入）0加 入ob，x=1 入,y =入,贝U x+y=1.类型三 用已知向量表示其他向量例 4 在ABC43, AB= a, A（b,若点 D满足 Bb= 2女 则 Ab=.（用 a, b表示）-12答案 -a+-b 33解析示意图如图所示，由题意可得AD=AB+BD= AB+=AB+ 2( AC-Ab =： AB+ 2 AC= 1a+2b.3

10、3333反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.（2）然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练4 如图，在4ABC中，D, E为边AB的两个三等分点， CA= 3a, CB= 2b,求CD CE解 CA= 3a, CB= 2b,.A B=CB-CA= 2b3a,又D, E为边AB的两个三等分点,Ad= 3AB= 2b-a,_2>CE= C/V AE= 3

11、a+ -AB3=3a + 3（2 b 3 a） = a+3b.检测评价达标过关达标检测1 .已知 a=5e, b= 3e, c=4e,则 2a 3b+c=答案 23e解析 2a 3b+c=2X5e3x（ 3e） + 4e=23e.2 .在ABC43, M是 BC的中点，则 ABAC=答案 2AM解析 如图，作出平行四边形 ABEC M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点,由题意知，Ab+ Ac= AE= 2 AMmi= ei+ke2（ ke R）与向量 n=e22ei共线，则3 .设ei, e2是两个不共线的向量，若向量 k=.-1答案2解析 ,mW n共线，m=入n,即（2 入一

12、l）ei+（k入）e2=0,. ei, e2是两个不共线的向量,2 入一1=0ik=.k 一 入=0,24114 .若2%一ga, 2（c+b3y） + b = 0,其中a, b, c为已知向量，则向量y =.（用a, b, c表示）答案4112ia-7b+7c解析因为2 N3a r-（c+b-3y） + b=2y-a-232c-2b+2y + b=0,所以 2y = |a+2c-2b,411所以丫=/_7b+c.5 .如图所示，已知 AP-而 用OA Oe表示Op3,_ _：> > > > 4> > 4 ：> >1 > 4：>B O

13、母 ON AN ON -AB= ON-（O& OA = -OA-OB 3333规律与方法1 .实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如入+a,入-a是没有意义的.2 .入a的几何意义就是把向量 a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|入|倍.向量看表示与向量a同向的单位向量.3 .向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4 .已知 Q A B是不共线的三点，且 OP= mOA nOB m nCR）, A, P, B三点共线？ m n = 1.注市双基强化落实课时对点练、填空题1. (a+9b2c) + (b+2c)=.答案 a+10b

14、 一 12 .化简 6【2(2 a+8b) 4(4a2b) =.答案 2a+4b一一， 11解析 原式=t(4 a+ 16b- 16a+8b) =-(- 12a+ 24b) = 2a+ 4b. 663 .在ABC,如果AD BE分别为BC AC上的中线，且Xb= a, BE= b,那么於.(用 a, b表木)答案 -a+-b 33解析 由题意，得 BC=Be+EC> b + 2AC= b+2( AD>DC=b+ga+4BC 即 BC= b+2a+4BC；24解得 BC= -a+-b. 337 1 4.在 ABC4已知D是AB边上的一点，若CD=qC加入C玲则入=.3答案3解析 .

15、A B, D三点共线，-+入=1,入=-.335.设向量a, b不平行，向量 入a+b与a+2b平行，则实数 入=.答案2解析,向量a, b不平行，a+2bw0,又二,向量入a+b与a+2b平行，则存在唯一的实 f入=fl ,数！使入a+b=(a+ 2b)成立，即入a + b=科a+ 2b,则，解得 入=科=1 = 2,12 .6.如图，AB是。的直径，点C, D是半圆弧AB上的两个三等分点，AB= a, AC= b,则AD= .(用a, b表示)-1.答案 a+b解析连结CD OD如图所示.点C, D是半圆弧AB上的两个三等分点，.八 一 1. AC= CD /CAD= z DAB=-X90

16、 =30 .31 OA= OD，/ADG /DAG 30 .由此可得/ CAD= /AD9 30° ,AC/ DO由 AC= CD 得/ CDA= / CAD= 30° ,2 .Z CDA= / DAO. CD/ AO四边形ACDO；平行四边形，1>.（用a, b表示）答案 1a + 4b33解析 -. 0= 3加.AC-AB= 3(Ab-AC, 即 4AC- Ab= 3Ab, . .M 弼+ |Ac 43a+3b.9.已知 AB= a+5b, BC= - 2a+8b, Cb= 3(ab),则 三点共线.答案 A, B, D10.如图，在？ABCDK AB= a, A

17、b= b, AN= 3NC M为 BC的中点，则 Mn=.(用 a,1.AD= AOf AC= 2ABAC= 2a+ b.7 .已知m n是实数，a, b是向量，则下列命题中正确的是 .（填序号）n（ab）=ma nb；（m-n）a=nana；若 na= nb,则 a= b；若 ma= na,则 m= n.答案解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若n 0,则不能推出a=b,错误；中，若a=0,则m n没有关系，错误.8 .在 ABC 中，AB= a, AC= b, D 为 ABC 所在平面内一点，且BC= 3 Ct）,则 AB=b表本）-11答案44a解析MIN= M即诵+示匕-2

18、b-a + 4 XC131=一一b a+ ( a+ b) = 一( b a). 244二、解答题11 .若非零向量a与b不共线，ka+2b与3a+kb共线，试求实数 k的值.解 .ka+2b 与 3a+kb 共线，存在实数 入，使得ka+ 2b=入（3 a+ kb）,，（k 3入）a+（2 入 k）b=0,.（k 3入）a=（入 k2）b.k 3入=0广.a 与 b 不共线，. ,，.; k=± 加.X k2= 012.计算: (1)6(3 a2b) + 9( 2a+b)；7 713 f6112a+7(b+1 72(2) 2 |(3a+2b3a b (3)6( a-b+c) -4(a-2b+c) -2( -2a + c).3a 2a+2bb3b)解 (1)原式=18a-12b- 18a+9b=- 3b. 1(2)原式=2 =2!3a+b77171=a + -b-Ta- -b= 0