第11章 位移法

1、1结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数11.3、位移法计算连续梁和无侧移刚架、位移法计算连续梁和无侧移刚架11.4、位移法计算有侧移刚架、位移法计算有侧移刚架11.5、对称结构的计算、对称结构的计算第第1111章章 位移法位移法2结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法要求：要求：理解：位移法的几个基本概念（基本结构、基本未理解：位移法的几个基本概念（基本结构、基本未知量及如何确定）、基本原理及典型方程的建立。知量及如何确定）、基本原理及典型方程的建立。掌握：用位移法计算超静定掌握：用位移法计算超静

2、定结构（梁、刚架）；结构（梁、刚架）；对对称性利用称性利用第第1111章章 位移法位移法3结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法1、位移法的几个基本概念、位移法的几个基本概念1）角位移：）角位移：在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，故一个刚结在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，故一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，角位移为点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，角位移为0 0。铰结点。铰结点或铰支座处各杆端的转角或铰支座处各杆端的转角( (弯矩为弯矩为0)0)可不作为基本未知量。可不作为基本未知量。112（1）基本未知量：结点位移）基本未

3、知量：结点位移角位移、线位移角位移、线位移ABCD结构独立结构独立角位移数目角位移数目就等于结构就等于结构刚结点的数目刚结点的数目1234 456有几个有几个角位移角位移？本章所说的角位移均指位移法的基本未知量本章所说的角位移均指位移法的基本未知量4结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法2）线位移：）线位移：每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设符的两个假设。根据上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。根据上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。a a、忽略轴向力产生的轴向变形

4、、忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的杆与原直杆等长；变形后的杆与原直杆等长；b b、弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保持不变。、弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保持不变。112ABCDCDCD两端距离保持不变，故两端距离保持不变，故C C、D D水平线位移相等。水平线位移相等。如何确定线位移数目？如何确定线位移数目？几何方法几何方法独立结点线位移的数目等于将刚结点改为铰节点后得到的体系的自由度。独立结点线位移的数目等于将刚结点改为铰节点后得到的体系的自由度。 （W W、几何组成分析）、几何组成分析）ABCD有几个有几个线位移线位移？本章所说的线位移均指位移法的基本未知量本章

5、所说的线位移均指位移法的基本未知量5结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法确定图示结构的线位移数确定图示结构的线位移数W W（P20P20）、几何组成分析）、几何组成分析结点法：结点法：W=6W=6* *2-8=42-8=4刚片法：刚片法：W=8W=8* *3-83-8* *2-4=42-4=4解：刚结点改为铰节点解：刚结点改为铰节点W W（P20P20）、几何组成分析）、几何组成分析刚片法：刚片法：W=4W=4* *3-33-3* *2-6=02-6=0解：刚结点改为铰节点解：刚结点改为铰节点6结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法确定

6、结构按位移法求解的基本未知数确定结构按位移法求解的基本未知数角位移？角位移？线位移？线位移？4 42 27结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法（3）基本体系：）基本体系：基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的体系基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的体系ABCD基本结构基本结构基本体系基本体系（2）基本结构：施加约束后得到的）基本结构：施加约束后得到的无结点位移（位移法的基本未知量）无结点位移（位移法的基本未知量）的超静定结构的超静定结构在哪施加约束？在哪施加约束？产生位移（角位移、产生位移（角位移、线位移）的位置施线位移）的位置施加约束加约束112ABCD附加刚

7、臂（附加约束力）：阻止刚结点转动、不能阻止移动。附加刚臂（附加约束力）：阻止刚结点转动、不能阻止移动。链杆（附加约束力）：阻止结点线位移链杆（附加约束力）：阻止结点线位移112F1F28结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法2、位移法的基本原理、位移法的基本原理以独立结点位移作为基本未知量，以独立结点位移作为基本未知量，将超静定问题转化为三类基本构件将超静定问题转化为三类基本构件（其中的一种或几种）的（其中的一种或几种）的分析问题，再根据静力平衡条件进行求解。分析问题，再根据静力平衡条件进行求解。11.1、位移法、位移法三类基本构件？三类基本构件？如何转化？如何转化？用力法求得常见荷载、支

8、座位移下三类基本构件的内力用力法求得常见荷载、支座位移下三类基本构件的内力并制成表格，详见并制成表格，详见P220-221表表11.1、2为什么要转化为三类基本构件？为什么要转化为三类基本构件？一端固定：一端固定： 远端固定远端固定 远端铰支远端铰支 远端远端定向支座定向支座 BABAAB分解（叠加原理）分解（叠加原理）+施加约束（三类基本构件）施加约束（三类基本构件）9结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法112ABP产生内力产生内力变形变形单独荷单独荷载作用载作用结点位移作用结点位移作用单独荷载作用引起内力：单独荷载作用引起内力：在在可动结点上附加约束（三类基本构件）可动结点上附加约束

9、（三类基本构件），在荷，在荷载作用下，附加约束上载作用下，附加约束上产生附加约束力产生附加约束力；结点位移作用引起内力：结点位移作用引起内力：在在可动结点上附加约束（三类基本构件），可动结点上附加约束（三类基本构件），使使结构发生结点位移结构发生结点位移,附加约束上产生附加约束力附加约束上产生附加约束力 。内力内力= =荷载荷载单独作用下引起单独作用下引起+ +结点位移单独作用下引起结点位移单独作用下引起静力平衡条件如何运用？静力平衡条件如何运用？CDC C、D D结点处附加约束力之合均为结点处附加约束力之合均为0 0F FC C=F=FD D=0=011.1、位移法、位移法哪几种基本构件？哪

10、几种基本构件？F1PF2P112F1F2F FC C=F=FD D=0=0F FC C=F=F1P1P+F+F1 1=0=0F FD D=F=F2P2P+F+F2 2=0=0此时结点位移与原结构一致的此时结点位移与原结构一致的10结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位移法、位移法3、位移法的典型方程、位移法的典型方程(两个基本未知量）两个基本未知量）112ABP产生内力产生内力变形变形单独荷单独荷载作用载作用CDF FC C=F=FD D=0=0F1PF2Pk211=11 1 2k112=1k22k12P如何求如何求C C、D D结点处附加约束力？结点处附加约束力？荷载、荷载、

11、 1 、2作用下的约束力；叠加作用下的约束力；叠加荷载作用下荷载作用下1作用下作用下K11 ：刚度系数，产生单位变形需要的力：刚度系数，产生单位变形需要的力2作用下作用下0022221211212111PPFkkFkkF FC C=F=FD D=0=0Kij ：基本结构在结点位移：基本结构在结点位移j=1单独作用下，附加约束单独作用下，附加约束i处产生的约束力处产生的约束力FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力处产生的约束力n个基本未知量？个基本未知量？F1PF2P112F1F211结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.1、位

12、移法、位移法4、位移法的典型方程、位移法的典型方程(n个基本未知量）个基本未知量）Kij （ij） ：基本结构在结点位移：基本结构在结点位移j=1单独作用下，附加约束单独作用下，附加约束i处产生的约束力处产生的约束力FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力处产生的约束力 对于具有对于具有 n 个基本未知量的超静定结构，基本结构在荷载、位移作个基本未知量的超静定结构，基本结构在荷载、位移作用下叠加后的内力与原结构等价的条件是用下叠加后的内力与原结构等价的条件是n个静力平衡条件（结点处约个静力平衡条件（结点处约束力束力=0），）， F1=0、

13、 F2=0、 Fn=0。00022112222212111212111 nPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkKii ：基本结构在结点位移：基本结构在结点位移i=1单独作用下，附加约束单独作用下，附加约束i处产生的约束力处产生的约束力Kij=Kji？反力互等定理反力互等定理12结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法5、位移法的求解步骤、位移法的求解步骤11.1、位移法、位移法1 1）确定基本未知量个数，选取位移法基本体系；）确定基本未知量个数，选取位移法基本体系；2 2）按照静力条件，列出位移法方程；）按照静力条件，列出位移法方程；3 3）求位移法方程中的各项系数；）求位移法方

14、程中的各项系数；4 4）解方程，求位移；）解方程，求位移；5 5）叠加最后内力图。）叠加最后内力图。13结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法6、位移法与力法、位移法与力法11.1、位移法、位移法 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）。（变形协调条件）。 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁（三类基本构件）（三类基本构件）位移法分析中应解决的问题是：位移

15、法分析中应解决的问题是：确定结构独立的结点位移。确定结构独立的结点位移。确定单确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。跨梁在各种因素作用下的杆端力。力法基本原理：力法基本原理：以多余未知力作为基本未知量，以多余未知力作为基本未知量，将超静定问题转将超静定问题转化为静定问题再根据变形协调进行求解。化为静定问题再根据变形协调进行求解。位移法基本原理：位移法基本原理：以独立结点位移作为基本未知量，以独立结点位移作为基本未知量，将超静定问题转化将超静定问题转化为三类基本构件为三类基本构件（其中的一种或几种）的（其中的一种或几种）的分析问题，再根据静力平衡条分析问题，再根据静力平衡条件进行求解。件进行求解。

16、14结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法 位移法是将超静定问题转化为三类基本构件（其中的一种或几种）位移法是将超静定问题转化为三类基本构件（其中的一种或几种）的分析问题，因此在的分析问题，因此在用位移法计算超静定刚架、梁时，要用到用位移法计算超静定刚架、梁时，要用到三类基本三类基本构件构件在杆端产生位移在杆端产生位移( (线位移、角位移线位移、角位移) )时的杆端内力时的杆端内力( (弯矩、剪力弯矩、剪力),),以以及在荷载等因素作用下的杆端内力及在荷载等因素作用下的杆端内力( (弯矩、剪力弯矩、剪力) )。11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数一端固定：一端固

17、定： 远端固定远端固定 远端铰支远端铰支 远端远端定向支座定向支座 BABAAB1 1、杆端力和杆端位移的正负规定、杆端力和杆端位移的正负规定: : 杆端弯矩、转角杆端弯矩、转角A、B ，弦转，弦转角角/l都以顺时针为正。都以顺时针为正。 杆端剪力以使截面产生顺时针杆端剪力以使截面产生顺时针转动为正为正转动为正为正ABMABQABQBAMBAAB15结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数2 2、形常数、形常数刚度系数只与杆件材料性质、尺寸及截面几何形状有关，故称为形常数。刚度系数只与杆件材料性质、尺寸及截面几何形状有关，故称为

18、形常数。刚度系数：杆端产生单位位移所需要的力刚度系数：杆端产生单位位移所需要的力如何求三类基本构件的形常数？如何求三类基本构件的形常数？力法力法支座位移下超静定结构内力支座位移下超静定结构内力只要求理解怎么求，但要记住结论只要求理解怎么求，但要记住结论P220P220表表11.111.116结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=1ii0li 3三类基本构件的形常数（以顺时针为正）三类基

19、本构件的形常数（以顺时针为正）17结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数3 3、载常数、载常数固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力如何求三类基本构件的载常数？如何求三类基本构件的载常数？力法力法荷载作用下超静定结构内力荷载作用下超静定结构内力只要求理解怎么求，但要记住结论只要求理解怎么求，但要记住结论P221P221表表11.211.218结构力学结构力学第第11章章 位移法位

20、移法11.2、等截面直杆的形常数和载常数、等截面直杆的形常数和载常数单跨超静定梁简图mABmBAABq212ql212qlABP8Pl8PlABq28qlABl/2l/2P316Pl00三类三类基本基本构件构件的载的载常数常数（以（以顺时顺时针为针为正）正）19结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法20kNABC3m3m6mii2kN/m2kN/m20kNABC15159F1P15 9 F1P=159=61=12i4i ABC3ik114i 3i k11=4i+3i=7iikFP761111MPM111.3、位移法计算连续梁和无侧移刚架、位移法计算连续梁和无侧移刚架解：解：1 1）确定基本

21、未知量个数，）确定基本未知量个数，选取位移法基本体系；选取位移法基本体系；求图示超静定连续梁的内力求图示超静定连续梁的内力4 4）解方程，求位移；）解方程，求位移；01111PFk2 2）按照静力条件，列出位移法方程；）按照静力条件，列出位移法方程；3 3）求位移法方程中的各项系数；）求位移法方程中的各项系数；（画（画 、MPMP图，求对应的约束力）图，求对应的约束力）P220-221P220-221表表11.111.1、2 2M1F1Pk1120结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法2kN/m20kNABC151591=12i4i ABC3iikFP761111MPM111.3、位移法计

22、算连续梁和无侧移刚架、位移法计算连续梁和无侧移刚架F1Pk11ABC16.7211.57930M图 (kN.m)5 5）叠加最后内力图。）叠加最后内力图。iiPMMM 21结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/mF1P=40-41.7= -1.7kNmABCDEF4041.741.7荷载作用荷载作用下：下：MPF2P=41.7kNm20kN/m解：解：1 1）确定基本未知量个数，）确定基本未知量个数，选取位移法基本体系；选取位移法基本体系；求图示超静定刚架的内力求图示超静定刚架的内力2 2）按照静力条件，列出位移法方程；）按照静力条件，列出位移法方

23、程；0022221211212111PPFkkFkk3 3）求位移法方程中的各项系数；）求位移法方程中的各项系数；（画（画M MP P图、图、 、 ，求对应的约，求对应的约束力）束力）P220-221P220-221表表11.111.1、2 2M1M240 41.7 F1PF1PF2PB21408BAMqlkNm2141.712CBMqlkNm41.7F2PC11.3、位移法计算连续梁和无侧移刚架、位移法计算连续梁和无侧移刚架4I4I5I3I3Iiii0.75 i0.5i i=EI/l=EI22结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法ABCDEF3i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3

24、i= 10ik21 = k12=2ik111=111M 作用下：k213i3i B4i k112iCk21ABCDEF3i4i2i2ii22M 作用下：k122=1k224i2i C3i k22k22=4i+2i+3i= 9i4 4）解方程，求位移；）解方程，求位移；1212102ii+2i-1.7=0+9i+41.7=01=1.15/i2=-4.89/i5 5）叠加最后内力图。）叠加最后内力图。iiPMMM 11.3、位移法计算连续梁和无侧移刚架、位移法计算连续梁和无侧移刚架23结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法ABCDEF3i4i2i2ii22M 作用下：k122=1k22ABCD

25、EF4041.741.7荷载作用荷载作用下：下：MP20kN/mF1PF2PABCDEF43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图图(kNm)ABCDEF3i4i2i3i1.5ik111=111M 作用下：k21iiPMMM 1=1.15/i2=-4.89/i5 5）叠加最后内力图。）叠加最后内力图。24结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法3kN/m8m4m2iii22144MPF2P=662ql0F2P21F1F23kN/mF1PF2P04求图示超静定刚架的内力求图示超静定刚架的内力解：解：1 1）确定基本未知量个数，）确定基本未知量个数，选取位移法基本体

26、系；选取位移法基本体系；2 2）按照静力条件，列出位移法方程；）按照静力条件，列出位移法方程；0022221211212111PPFkkFkk3 3）求位移法方程中的各项系数；）求位移法方程中的各项系数；（画（画M MP P图、图、 、 ，求对应的约，求对应的约束力）束力）P220-221P220-221表表11.111.1、2 2基本体系基本体系M1M2ABCDF1PC F1P=4CD11.4、有侧移刚架、有侧移刚架25结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法k12k222k1111=12=14i2i6i6i4i k11=10iM143i163i k21 M2 k22=15i/161.5i1.5i0.75ik21 k11 Ck21=1.5iii5 . 146 001.5i k22 k12 Ck12=1.5i11.4、有侧移刚架、有侧移刚架4 4）解方程，求位移；）解方程，求位移；121210151.516iii-1.5i+4=0-6=01=0.74/i2=7.58/i26结构力学结构力学第第11章章 位移法位移法k114i2i6iM1k21k12k222=1M21.5i1.5i0.75i44MP3kN/mF1PF2P5