专题10,不等式(解析版)

1、专题10,不等式(解析版) 专题 10 不等式 思想方法诠释 1对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主 2对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解 3对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式. 【真题解析】 1若集合 aî ïíï ìþ ï&#

2、253;ï üx ïï xx1 0，bx|x 2 2x，则 ab 等于( ) ax|0x1 bx|0x1 cx|0x1 dx|0x1 解析 集合 aî ïíï ìþ ïýï üx ïï xx1 0x|0x1，bx|x 2 2xx|0x2，所以 abx|0x1 答案 a 2若实数 a，b 满足 1a 2b ab，则 ab 的最小值为( ) a. 2 b2 c2 2 d4 解析 解法一：由已知得 1a 2b b2aab ab，且 a0，b0

3、，ab abb2a2 2 ab，当且仅当îïíïì 1a 2b ab，b2a，时等号成立，ab2 2. 解法二：由题设易知 a0，b0， ab 1a 2b 2 2ab ，即 ab2 2，当且仅当 îïíïì 1a 2b ab，b2a时，取等号，选 c. 答案 c 4(2021山东卷)若 ab0，且 ab1，则下列不等式成立的是( ) aa 1b b2 a log 2 (ab) b.b2 a log 2 (ab)a1b ca 1b log 2 (ab)b2 a dlog 2 (ab)a 1b b2

4、 a 解析 特值法：令 a2，b 12 ，可排除 a、c、d.故选 b. 答案 b 【典例解析】 考点一 不等式的解法 求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax 2 bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax 2 bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解 (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解 【训练】1(2021全国卷)设集合

5、ax|x 2 4x30，bx|2x30，则 ab( ) a. èæøö3， 32 b. èæøö3， 32 c. èæøö1， 32 d. èæøö32 ，3 解析 x 2 4x30(x1)(x3)01x3， ax|1x3 2x30x 32 ，b îíìþýüx|x 32， ab î íìþýüx| 32 x3 

6、32;æøö32 ，3 .故选 d. 答案 d 【训练】2函数 f(x)î ïíïì 2e x 1 ，x2，log 3 (x 2 1)，x2， 则不等式 f(x)2 的解集为( ) a(2,4) b(4，2)(1,2) c(1,2)( 10，) d( 10，) 解析 令 2e x 1 2(x2)，解得 1x2；令 log3 (x 2 1)2(x2)，解得 x 10，故选 c. 答案 c 【训练】3关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 的解集是( ) a(，1)(3

7、，) b(1,3) c(1,3) d(，1)(3，) 解析 关于 x 的不等式 axb0 即 axb 的解集是(1，)，ab0， 不等式(axb)(x3)0 可化为 (x1)(x3)0，解得1x3， 所求不等式的解集是(1,3)故选 c. 答案 c 【训练】4已知函数 f(x)îïíïì |x|2，x1，x 2x ，x1.设 ar，若关于 x 的不等式 f(x) ïïïïx2 a 在 r 上恒成立，则 a的取值范围是( ) a2,2 b2 3，2 c2,2 3 d2 3，2 3 解析 作出 f(x)的图象

8、如图所示，当 y ïïïïx2 a 的图象经过点(0,2)时，可知 a2.当 yx2 a 的图象与 yx 2x 的图象相切时，由x2 ax2x ，得 x2 2ax40，由 0，并结合图象可得 a2.要使 f(x) ï ïïïx2 a恒成立，当 a0 时，需满足a2，即2a0，当 a0 时，需满足 a2，所以2a2. 答案 a (1)求解一元二次不等式的 3 步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用"大于在两边，小于夹中间'得不等式的解集 (

9、2)解一元二次不等式恒成立问题的 3 种方法：图象法；分离参数法；更换主元法 考点二 基本不等式的应用 1基本不等式： ab2 ab (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 (3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 2几个重要的不等式 (1)a 2 b 2 2ab(a，br)当且仅当 ab 时取等号 (2)ab èæøöab22 (a，br)，当且仅当 ab 时取等号 (3) a2 b 22 èæøöab22 (a，

10、br)，当且仅当 ab 时取等号 (4) ba ab 2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号 【训练】1若 a0，b0，lgalgblg(ab)，则 ab 的最小值为( ) a8 b6 c4 d2 解析 由 a0，b0，lgalgblg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有 1a 1b 1，所以 ab èæøö1a 1b(ab)2 ba ab 22 ba ab 4，当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4，故选 c. 答案 c 【训练】2设 a1，b1 且 ab(ab)1，那么( ) aab 有最小值 22 2

11、bab 有最大值 22 2 cab 有最大值 21 dab 有最小值 22 2 解析 a1，b1 且 ab(ab)1，1abab èæøöab22 ，则(ab) 2 4(ab)40，得 ab22 2或 ab2 22(舍去)，当且仅当 ab1 2时等号成立abab122 2，ab32 2，当且仅当 ab 时等号成立，故选 a. 答案 a 【训练】3当 0m 12 时，若1m 212m k2 2k 恒成立，则实数 k 的取值范围为( ) a2,0)(0,4 b4,0)(0,2 c4,2 d2,4 解析 因为 0m 12 ，所以 012 2m(12m)12 &

12、#235;éûù2m(12m)22 18 (当且仅当 2m12m，即 m14 时取等号)，所以1m 212m 1m(12m) 8，又1m 212m k2 2k 恒成立，所以 k 2 2k80，所以2k4.所以实数 k 的取值范围是2,4故选 d. 答案 d 【训练】4若 a，br，ab0，则 a4 4b 4 1ab的最小值为_ 解析 a 4 4b 4 2a 2 2b 2 4a 2 b 2 (当且仅当 a 2 2b 2 时"'成立)， a4 4b 4 1ab 4a2 b 2 1ab4ab1ab ，由于 ab0， 4ab1ab 2 4ab1ab 4

13、èæøö当且仅当4ab1ab 时"'成立 ， 故当且仅当îïíïì a 2 2b 2 ，4ab1ab时， a4 4b 4 1ab的最小值为 4. 答案 4 利用基本不等式求函数最值的 3 个关注点 (1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值 (2)条件：利用基本不等式求最值需满足"正'(即条件要求中字母为正数)、"定'(不等式的另一边必须为定值)、"等'(等号取

14、得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 (3)方法：使用基本不等式时，一般通过"拆、拼、凑'的技巧把求最值的函数或代数式化为 ax bx (ab0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法 【强化训练】 一、选择题 1已知 ab，则下列不等式中恒成立的是( ) alnalnb b. 1a 1b ca 2 ab da 2 b 2 2ab 解析 只有在 ab0 时，a 才有意义，a 错；b 选项需要 a，b 同正或同负，b 错；c 只有 a0 时正确；因为 ab，所以 d 正确 答案 d 2设函数 f(x)î ïíïì x 2 4

15、x6，x0，x6，x0，则不等式 f(x)f(1)的解集是( ) a(3,1)(3，) b(3,1)(2，) c(1,1)(3，) d(，3)(1,3) 解析 由题意得，f(1)3，所以 f(x)f(1)3，即 f(x)3， 如果 x0，则 x63，可得3x0； 如果 x0，则 x 2 4x63，可得 x3 或 0x1. 综上，不等式的解集为(3,1)(3，) 故选 a. 答案 a 3若关于 x 的不等式 axb0 的解集是(，2)，则关于 x 的不等式 ax2 bxx10 的解集为( ) a(2,0)(1，) b(，0)(1,2) c(，2)(0,1) d(，1)(2，) 解析 关于 x 的

16、不等式 axb0 的解集是(，2)，a0，ba 2，b2a，ax 2 bxx1 ax2 2axx1. a0， x2 2xx10，解得 x0 或 1x2.故选 b. 答案 b 4若关于 x，y 的不等式组îïíïì x0，xy0，kxy10表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( ) a. 12 或14 b.12 或18 c1 或 12 d1 或 14 解析 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得 k0 或 1，当 k0 时，表示区域的面积为 12 ；当 k1 时，表示区域的面积为14 ，故选 a. 答案 a 5对一切

17、实数 x，不等式 x 2 a|x|10 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) a(，2) b2，) c2,2 d0，) 解析 当 x0 时，不等式 x 2 a|x|10 恒成立，ar；当 x0 时，则有 a 1|x|2|x| èæøö|x|1|x|，故 a 大于或等于 èæøö|x|1|x|的最大值由基本不等式可得|x|1|x| 2， èæøö|x|1|x|2，即 èæøö|x|1|x|的最大值为2，故实数 a 的取值范围是2，)，故

18、选 b. 答案 b 6已知 a0，b0，且 2abab，则 a2b 的最小值为( ) a52 2 b8 2 c5 d9 解析 a0，b0，且 2abab，abb2 0，解得 b2. 则 a2bbb2 2b12b2 2(b2)4522b2 2(b2)9，当且仅当 b3，a3 时等号成立，其最小值为 9. 答案 d 7已知 f(x)î ïíïì x 2 4x3，x0，x 2 2x3，x0， 不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) a(，2) b(，0) c(0,2) d(2,0) 解析 二次函数 yx 2 4x3 的对称轴是 x2， 该函数在(，0上单调递减， x 2 4x33. 同样可知函数 yx 2 2x3 在(0，)上单调递减， x 2 2x33， f(x)在 r 上单调递减， 由 f(xa)f(2ax)得 xa2ax，即 2xa， 2xa 在a，a1上恒成立， 2(a1)a，a2， 实数