数学实验三：用迭代法求代数方程的近似根-实验三

1、1实验三实验三用迭代法用迭代法求代数方程的近似根求代数方程的近似根2l 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一众多应用领域中不可避免的问题之一l 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要l 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方

2、法：不不动点迭代法动点迭代法 和和 牛顿法牛顿法。同时要求大家学会如何利用。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解来求方程的近似解l 问题背景和实验目的问题背景和实验目的代数方程近似求解代数方程近似求解3相关概念相关概念( )0f x l 若若 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方程线性方程；否；否则称之为则称之为非线性方程非线性方程l 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程本实验主要讨论本实验主要讨论非线性方程非线性方程的数值求解的数值求解4内容提要内容提要n 求解非线性方程的数值算法求解非线性方程的数值算法l 牛顿迭代法牛顿迭代法

3、l 不动点迭代法不动点迭代法5不动点迭代法不动点迭代法l 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程： ( )xx l 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点l 不动点迭代基本思想不动点迭代基本思想6若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 连续，则连续，则l 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛迭代法的收敛 1limlim ()limkkkkkkxxx lim*kkxx

4、*x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！注：若得到的点列发散，则迭代法失效！例例：用迭代法求用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中的解。中的解。fuluA.m7q 定义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 2：如果定理如果定理 1 的条件成立，则有如下估计的条件成立，则有如下估计10|* |1kkqxxxxq 11|* |1kkkxxxxq 如果存在如果存在 x* 的的某个某个 邻域邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛都收敛,

5、则称该迭代法在则称该迭代法在 x* 附近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理 1：设设 x* = (x*)， (x) 在在 x* 的的某个某个 邻域邻域 内内连续，且对连续，且对 x 都有都有 | (x)| q 1, 则对则对 x0 ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列收敛得到的点列收敛8迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断10|* |1kkqxxxxq q 定理定理 3：已知方程已知方程 x = (x)，且且(1) 对对 x a, b，有有 (x) a, b；(2) 对对 x a, b，有有| (x)| q 1；q 越小越小，迭代收敛，迭代收敛越快越快 (x*) 越小越小，迭代收敛，

6、迭代收敛越快越快则对则对 x0 a, b ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都得到的点列都收敛，且收敛，且9牛顿牛顿迭代法迭代法000()()()f xfxxx令：令：( )0P x 000()()f xxxfx0()0)fx l 牛顿法基本思想牛顿法基本思想 用用线性方程线性方程来来近似非线性方程近似非线性方程，即采用，即采用线性化方法线性化方法20000( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx l 设非线性方程设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 x0 处的处的 Taylor 展开为展开为( )P x10牛顿牛顿法迭代公式法迭代公式l 牛顿迭

7、代公式牛顿迭代公式000()()f xxxfx1()()kkkkf xxxfx k = 0, 1, 2, . . l 牛顿牛顿法的收敛速度法的收敛速度( )( )( )f xxxfx 令令2( )( )( )( )f x fxxfx 牛顿法至少二阶局部收敛牛顿法至少二阶局部收敛当当 f (x*) 0 时时 (x*)=0 (x) 即为牛顿法的迭代函数即为牛顿法的迭代函数例例：用牛顿法求用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中的解。中的解。 fuluB.m11牛顿牛顿法迭代公式法迭代公式l 牛顿牛顿法的优点法的优点l 牛顿牛顿法是目前求解非线性方程法是目前求解非线性方程 (组

8、组) 的主要方法的主要方法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。充分靠近精确解时。l 牛顿牛顿法的缺点法的缺点l 对重根收敛速度较慢（线性收敛）对重根收敛速度较慢（线性收敛）l 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。糙近似，然后再用牛顿法求解。12Matlab 解方程函数解方程函数roots(p)：多项式的多项式的所有零点所有零点，p 是多项式系数向量是多项式系数

9、向量fzero(f,x0)：求求 f(x)=0 在在 x0 附近的一个根，附近的一个根，f 是函是函数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！但不能是方程或符号表达式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，求方程关于指定自变量的解，f 是是符号表达符号表达式式或或符号方程符号方程；l solve 也可解方程组也可解方程组 (包含非线性包含非线性)l 得不到解析解时，给出数值解得不到解析解时，给出数值解linsolve(A,b)：解线性方程组解线性方程组13上机作业与要求上机作业与要求l 分别用普通迭代法、牛顿法，求方程分别用普通迭代法、牛顿