2020年山东高考数学金榜冲刺卷03含解析)

1、2020年高考金榜冲刺卷(三)数 学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4 .测试范围：高中全部内容.一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求.1 .已知集合M (x, y)x y 2 , N (x,y)x y 4 ,那么

2、集合M N为( )A. x 3, y 1 B. 3, 1C. 3, -1D.3, 12 . i是虚数单位，复数L-q为纯虚数，则实数a为()2 iA. 2B. 2C.1D.-223 .在某次学科知识竞赛中(总分 100分)，若参赛学生成绩 服从N (80,2) ( 0),若 在(70, 90)内的概率为0.8,则落在90, 100内的概率为()A . 0.05B. 0.1C. 0.15D, 0.24 .已知x 1,2, x2 ax 0恒成立，则实数a的取值范围是()A. 1,)B. (1,)C. (,1D. (,1)一一1 ex5 .函数f(x) x1 ecosx 的图像大致是6 .在空间四边

3、形 ABCD中，已知AD2, BC 2T2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF J5，则异面直线AD与BC所成角的大小为（B.一3C.一47.设双曲线2当 1(a 0,b b0）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的个焦点到一条渐近线的距离为（A. 2C. 272D. 48.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1,未命中敌机的概率为 0.3,且各次射击相互独立.若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A . 0.23B, 0.2C, 0.1

4、6D, 0.1二、多项选择题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对白勺得5分，部分选对的得 3分，有选错的得0分.9.在ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（A.若A B ,则 sin A sin BB.若 sin Asin B 则 AC.若A 3,则sin2A sin 2BD .若 A B 则 cos2 A2 、cos B10.已知由样本数据点集合Xi, yii 1,2,L ,n ,求得的回归直线方程为 1.5x 0.5,且13,现发现两个数据点1.2,2.2和4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2,则()A.

5、变量x与y具有正相关关系B.去除后的回归方程为 $ 1.2x 1.4C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点2,3.75的残差为0.05_ _一 _111 .如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,线段BR上有两个动点E,F ,且EF -,则下列结论中错误的是()A . AC AFB. EF/平面 ABCDC.三棱锥A BEF的体积为定值D. AEF的面积与VBEF的面积相等12 .若直线l与曲线C满足下列两个条件： 直线l在点P X0,y0处与曲线C相切；曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点p处 切过”曲线C .则下列结论正确的是()A.直线l：y 0在点

6、P(0,0)处切过曲线C:y x3B.直线l:y x 1在点P(1,0)处切过曲线C : y ln xC.直线l : y x在点P(0,0)处切过曲线C : y sin xD.直线l:y x在点P(0,0)处切过曲线C : y tanx三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.vvv13.已知向量a 1, 3 , b m,2 ,若a14.已知定义域为 R的奇函数 “男满足(3 x)3f (x) 0,且当 x ,0 时，f (x) log2(2x 6), 2贝U f (2020)15.将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为 支，则二项式 3x 1I a Vx的展开

7、式中含工项的系数为16 .设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F(1,0),准线为1,过焦点的直线交抛物线于A, B两点，分别过A, B作l的垂线，垂足为C , D ,若| AF | 4|BF |,则p;三角形CDF的面积为(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.517. (10分)在f(x)的图像关于直线 x 对称，f(x) cos x 73sin6这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的 存在，求出 的值，x,f(x) f(0)恒成立若不存在，请说明理由.设函数 f(x) 2cos( x )(0,0是否存在正整

8、数，使得函数f(x)在0, 上2是单调的?(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)18. (12 分)已知数列 an的前n项和Sn2n(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn1log2(an 1),求证：- bb1b2b31b3b4,1 bnbn 126, AD AB PD PB 2.19. (12 分)在四棱锥 P ABCD 中，BC BD DC(1)若点E为PC的中点，求证：BE/平面PAD;(2)当平面PBD 平面ABCD时，求二面角C PD B的余弦值.20. (12分)某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000

9、元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次 1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X和Y ,求X和Y的分布列；(2)若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.2221 .(12分)已知椭圆C : ， 1(a b 0)的左、右焦点分别

10、为F1，F2 .椭圆C的长轴与焦距比为 J2：1 , a b过F2(3,0)的直线l与C交于A、B两点.(1)当l的斜率为1时，求 F1AB的面积；(2)当线段AB的垂直平分线在 y轴上的截距最小时，求直线 l的方程.八、一 j 、“，、，12-22 . (12分)已知函数f(x)lnxgaxx, a R.(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数a,使函数f(x)的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 .已知集合M (x, y) x y 2 , N (x, y

11、) x y 4 ,那么集合M N为(A. x 3, y 1 B. 3, 1C.3, -1D.3, 1【答案】Dx y 2 x 3【解析】由,得 ，所以M N 3, 1 ,选D.x y 4 y 12 . i是虚数单位，复数L-亘为纯虚数，则实数a为（）2 iA. 2B.2C.1D.-221 ai【解析】Q2 i(1 ai)(2 i)(2 i)(2 i)2 a (2a 1)i42 a (2a 1).1 ai-i ,复数 为纯虚数2 a 0,a2a 1 02,故选A.3.在某次学科知识竞赛中（总分 100分），若参赛学生成绩服从 N (80,2) ( 0),若 在(70, 90)内的概率为0.8,则

12、落在90, 100内的概率为（）A . 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2【解析】因为参赛学生成绩2服从N 80,所以P(070)P(901100) - (1 0.8) 0.1 ,故选B.4.已知 x 1,2, x2 ax0恒成立，则实数a的取值范围是（A. 1,)B. (1,)C. (,1D, (,1)【解析】因为x 1,2 ,故x 0,故X2 ax 0在1,2上恒成立等价于x a 0在1,2上恒成立，故1 a 0即a 1 ,故选D.1 ex5.函数f(x) xcosx的图像大致正1 eA .B.C.D.【解析】函数fxexecosx,可得x7 COSxexe1-cosx1函数是

13、奇函数,排除B, x 2 时，f1 e61 e6点在第四象限，排除 C.故选A.6.在空间四边形 ABCD中，已知AD2,BC 2、2F分别是ABCD的中点，EF J5 ,B.一3C.一4则异面直线AD与BC所成角的大小为(3D. 一4【解析】取AC的中点G ,连接EG ,FG则 EGF即异面直线 AD和BC所成的角或补角,1-1,因为 EG -BC 72, FG -AD 1, EF 娓 22EGF中，结合余弦定理可得：所以cos EGF,则异面直线 AD与BC所成角的大 2小为45 .故选：C.2X7.设双曲线C：-ya2自 1(a 0,b b20）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距

14、离为1,则双曲线的个焦点到一条渐近线的距离为（A. 2B.C 242D. 42 y_ b20,b0的两条渐近线互相垂直，渐近线方程为y顶点到一条渐近线的距离为二a 122Da b J2,双曲线C的方程为2标为 2,0 , 2,0 ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d8 .某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1,未命中敌机的概率为 0.3,且各次射击相互独立.若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A . 0.23B, 0.2C, 0.16D, 0.1【解析】A每次

15、射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1,未命中敌机的概率为 0.3，且各次射击相互独立，若 A射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为 0.1;若A射击2次就击落敌 机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为 0.2 0.2 0.04;或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中 了机尾，概率为0.9 0.1=0.09，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1+0.04+0.09 0.23 ,故选A.、多项选择题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对白得5分，部分选对的得 3分，有选错的得0分.9 .在 ABC中，给出

16、下列4个命题，其中正确的命题是（）A .若 A B ,则 sin A sin B4i 11C.若 A B ,则sin 2A sin 2B【答案】ABDB.若 sin A sin B 则 A BD .若 A B 则 cos2 A cos2 B【解析】由大角对大边知，若A B,则a b,由正弦定理得2RsinA 2RsinB ,所以sin A sin B ,故A正确；同理B正确；当a 120, B 30o时， 0, 1 0,故C错误；若A B ,则 sin2A sin2B222222sinA sin B , sin A sin B ,即 1 cos A 1 cos B ,所以 cos A cos

17、B ,故 D 正确.故选：ABD.10 .已知由样本数据点集合x7i i 1,2,L ,n ,求得的回归直线方程为 1.5x 0.5,且7 3,现发现两个数据点1.2,2.2和4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2,则（）A ,变量x与y具有正相关关系B.去除后的回归方程为1.2x 1.4C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点2,3.75的残差为0.05【答案】AB【解析】因为回归直线方程为$ 1.5x 0.5，1.5 0,所以变量x与y具有正相关关系.故A正确.当3时，y 3 1.5 0.5 5,样本点为3,5，去掉两个数据点1.2,2.2和4.8,

18、7.8后，样本点还是3,5 ,又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2,所以5 3 1.2 a,解得a 1.4,所以去除后的回归方程为$ 2x 1/，故B正确.因为1.5 1.2,所以去除后y的估计值增加速度变慢，故 C错误.因为 $ 1.2 2 1.4 3.8,所以 y 9 3.75 3.80.05，故 D 错误.故选：AB.111 .如图，正方体ABCD A1BQQ1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F ,且EF -,则下列结论2中错误的是（）A . AC AFC.三棱锥A BEF的体积为定值【答案】ADB. EF/平面 ABCDD. AEF的面积与VBEF的面积相等CAB1

19、60o故选项A错误;【解析】A.由题意及图形知，当点 F与点Bi重合时,B. EF平面ABCD,由正方体ABCD ABC1D1的两个底面平行,EF 平面AB1C1D1,故有EF/平面ABCD ,此命题正确，不是正确选项；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DDBB距离是定值，故可得三棱锥 A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故 AEF的面积与BEF的面积相等不正确，故D是错误的.故选：AD.12.若直线l与曲线C满足下列两个条件： 直线l在点P x0,y0处与曲线

20、C相切；曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处 切过”曲线C .则下列结论正确的是（A.直线l:y 0在点P(0,0)处切过曲线C:y x3B.直线l：y x 1在点P(1,0)处切过曲线C : y In xC.直线l: y x在点P(0,0)处 切过曲线C : y sin xD .直线l:y x在点P(0,0)处切过曲线C: y tan x【答案】ACD【解析】A项，因为y 3x2，当x 0时，y 0,所以l:y 0是曲线C:y x3在点P(0,0)处的切线.当x 0时，y 0；当x 0时，y 0,所以曲线C在点p附近位于直线l的两侧，结论正确；.1 .B项，y ,当x 1时，

21、y1,在P(1,0)处的切线为l : y x 1.令h(x) x 1 lnx,则x1 x 1h (x) 1 - (x 0),当 x 1 时,h(x) 0；当 0 x 1 时,h(x) 0,x x所以h(x)min h(1) 0.故x 1lnx,即当x 0时，曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y cosx,当x 0时，y 1,在P(0,0)处的切线为l: y x,由正弦函数图像可知，曲线C在点p附近位于直线l的两侧，结论正确；1, ,d项，y ，当x 0时，y 1,在P(0,0)处的切线为l: y x,由正切函数图像可知，曲线c在点p附 cos x近位于直线l的两侧，结论正

22、确.故选：ACD .三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.vvvvv13.已知向量a1, 3 , bm,2 ,若aab,则 m .【答案】4vvv【解析】由题息得 a b (m 1, 1),皆(a b),a a b m 1 3 0,m 4,故答案为4.3,-,0 时，f(x) log2(2x 6),【答案】-16 .设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F(1,0),准线为1,过焦点的直线交抛物线于A, B两点，分别14 .已知定义域为R的奇函数“男满足(3 x) f (x) 0,且当x则 f (2020) .【答案】2【解析】因为函数f(x)为奇函数，则f(- x)+ f (x)

23、= 0,又f(3 x) f (x) 0,则f (3 x) f( x),即函数f(x)的周期为3,则f (2020)f(3 673 1) f(1) f( 1) log22 ( 1) 62,故答案为：2. i Y15 .将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多 2人的分配方法总数为白，则二项式 的展 I。开式中含 工项的系数为(用数字作答).过A,B作l的垂线，垂足为C,D,若|AF| 4|BF|,则p ；三角形CDF的面积为(本题第一空2分，第二空3分)【答案】25【解析】抛物线y2 2 px( p 0)的焦点为F (1,0),所以：1,所以P 2 ;如图所示,过点B作BM / l ,交直线A

24、C于点M ,由抛物线的定义知| AF | | AC |, | BF | |BD |,且 |AF| 4|BF|,所以 |AM | 3| BF | , | AB| 5|BF|,一3所以 |AM|AB|, BM 4|BF|,可知： AFx BAM, 5BM 44,八 .所以直线AB的斜率为k tan BAM 一，设直线AB的方程为y (x 1),点A x,yi ,AM 334y - (x 1)17B X2,y2，由 3 ，消去 y整理得 4x2 17x 4 0,所以 Xi x2 一，2/4y 4x2525 4所以 |AB| x1 x2 p 一，所以 |CD | | AB|sin BAM 一 一 5；

25、44 5所以 CDF的面积为1 5 2 5,故答案为：2； 5. 2四、解答题：本题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.517. (10分)在f(x)的图像关于直线x 对称，f(x) cos x V3sin x,f(x) f(0)恒成立 6这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中.若问题中的存在，求出 的值，若 不存在，请说明理由.设函数f(x) 2cos( x )(0,0),，是否存在正整数，使得函数f(x)在0,上22是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)55【解析】若选，令 x k ,k Z ,代入x ，解得 k ，k Z ,66一、，八

26、冗因为 0,所以当 k 1 时， ，f(x) 2cos( x -),266x 0,1时， x 一 一, 一,266 26若函数f (x)在0,万上单调，则有,解得0所以存在正整数1时，使得函数f(x)在0,上是单调的.2b1b2若选，f(x)cos x ,3 sin x 2cos(x )，所以x 0, 时, 2若函数f (x)在0,上单调，则有2所以存在正整数1时，使得函数f(x)在0,上是单调的.2若选，因为f(x) f(0)恒成立,f(x)max f(0) 2Cos2,所以cos 1因为 0，所以 0, f (x) 2cos x,2当 x 0,-时， x 0,222,若函数f (x)在0,

27、一上单调，则有 一22所以存在正整数1或2时，使得函数f(x)在0,上是单调的.218. (12分)已知数列an的前n项和Sn 2n 1 n 2 .(1)求数列an的通项公式；111,1,一 L 1.(2)设 bn log 2 (an 1),求证:b2b3b3b4bnbn 1【解析】由Sn1当 n 1时，a Si（2）由 bnlog2 anbib2b2b3b3b4Sn2n 1 n 22n n 12 n 2 n3 ,综上 an 21 .n1log22n.111 bnbn1122 31111 3 4 n n 1则 an2n 1 n 211 3 4 n n 111 1 .得证. n 119. (12

28、分)在四棱锥 P ABCD中，BC BDDC 2品,AD AB PD PB 2.(1)若点E为PC的中点，求证：BE/平面PAD;(2)当平面PBD 平面ABCD时，求二面角C PD B的余弦值.【解析】(1)取CD的中点为M ,连结EM ,BM .由已知得,BCD为等边三角形，BM CD.AD AB 2, BD 273, ADB ABD 300, ADC 90,BM/AD.又BM平面PAD , ADBM面PAD .E为PC的中点，M为CD的中点，EMPD .又EM 平面PAD ， PD 平面PAD ，EM面PAD .EM BM M , W面 BEM W面 PAD . OBE 平面 BEM ,

29、BE（D面 PAD.BD , PO BD. O面(2)连结AC ,交BD于点O ,连结PO ,由对称性知，。为BD的中点，且ACPBD 平面 ABCD ,PO BD , PO 平面 ABCD, PO AO 1, CO3.一 ,一 一，LLiuv 一以O为坐标原点，oc的万向为x轴正万向，建立空间直角坐标系O xyz.则 D(0, 0), C(3, 0, 0)P(0, 0, 1).易知平面urPBD的一个法向量为ni1,0,0 .设平面PCD的法向量为uun2x,uvy, z ,贝U n2uuvDCuv uuivn2 DP ，uvr)2 uvn2uuiv DC LUIV DPuuuv Luuiv

30、 DC3,匕0 , DP0, 310.令01,uv -n21,J3, 3 ,Ivuv cosni,明uv uvni n2 uv uv1.13n布.设二面角CPDB的大小为1313n220. (12分)某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次 1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率维修次数23456甲设备5103050乙

31、设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X和Y ,求X和Y的分布列；(2)若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由 .【解析】(1) X的可能取值为10000, 11000, 12000,5 10330351P(X 10000) 一，P(X 11000) - P(X 12000) 一 一.50105055010因此X的分布列为：X100001100012000P31035110Y的可能取值为 9000, 10000,51P(Y 9000)一，P(Y 50 10153P(Y 12000

32、) 一 一.5010因此Y的分布列为：11000, 12000一一，P(Y 11000)一一，50105010Y9000100001100012000P110310310310(2)E(X)310000 一10311000 1200051 10800, 10E(Y)90001 100001011000 10103 1200010800,10设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为的可能取值为2, 3, 4, 5,P( 2) , P( 3) 10 1, P( 4) 303.7.E( ) 21050 1050 55023451131P105510则的分布列为：34515351

33、110的可能取值为3,4,5,6,5P(3) 50110，P(4)15503、15一,P( 5)1050310，P(6)吏3 50103456P110310310310则的分布列为：51E( ) 3 41031031036 4.8,由于 E(X)10E(Y),E()E(),因此需购买甲设备.21. (12分)已知椭圆2 x C :a2 y b21(a b 0)的左、右焦点分别为Fi,F2 .椭圆C的长轴与焦距比为 J2：1 ,过F2 (3,0)的直线l与C交于A、 B两点.(1)当l的斜率为1时，求 FAB的面积;(2)当线段ab的垂直平分线在 y轴上的截距最小时，求直线 i的方程.【解析】(1)依题意，因2a2c”又 c 3, 1得a 3虚，b22所以椭圆C的方程为181 ,设 A Xi,y1、B X2,y2 ，当k 1时，直线3，将直线与椭圆方程联立2 x18y2L 19x 3,消去x得,2y0,解得yi3, Y21V1y24,所以S F1ABF1F2yi y24 12.(2)设直线l的斜率为k ,由题意可知2 x18 y2 y9X1