华师大八上数学-第13章全等三角形整理与复习

1、一、全章知识结一、全章知识结构图构图全等三角形全等三角形全等三角形的判定全等三角形的判定S.A.S.A.S.A.A.A.S.S.S.S.H.L.（Rt）证明证明基本作图基本作图作线段作线段作角作角作角平分线作角平分线作垂线作垂线作垂直平分线作垂直平分线命题与定理（定义、命题与定理（定义、命题、基本事实、命题、基本事实、定理）定理）逆命题与逆定理逆命题与逆定理垂直平分线性质定理垂直平分线性质定理垂直平分线判定定理垂直平分线判定定理角平分线性质定理角平分线性质定理角平分线判定定角平分线判定定理理基本概念1、叙述什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？2、命题的条件和结论？改写命题3、命题的逆命题4

2、、定理的逆定理一、知识点一、知识点1、可以判断出它是、可以判断出它是正确正确的还是的还是错误错误的句的句子叫做子叫做命题命题，正确的命题称为真命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。错误的命题称为假命题。2、在数学中，许多命题是由、在数学中，许多命题是由条件条件、结论结论两两部分组成的。条件是已知事项；结论是由部分组成的。条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项已知事项推出的事项 3、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立

3、，即只要举出一举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为以了，在数学中，这种方法称为“举反例举反例” 4、数学中有些命题的正确性是人们在长期、数学中有些命题的正确性是人们在长期实实践中总结出来的践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实，基本事实，也叫也叫公理公理 ,不用证明，也无法用推理进行证明。不用证明，也无法用推理进行证明。5、数学中有些命题可以、数学中有些命题可以从从基本事实

4、或其他真基本事实或其他真命题命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做依据，这样的真命题叫做定理定理 。一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题如果把其如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它

5、的逆命题命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角对顶角相等相等”的逆命题为的逆命题为“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”，此命题就是，此命题就是假命题假命题如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理 原命题：条件原

6、命题：条件 + 结论结论互逆命题互逆命题逆命题：条件逆命题：条件 + 结论结论全等三角形全等三角形：1.1.什么是全等三角形？一个三角形经过什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？哪些变化可以得到它的全等形？2.2.全等三角形有哪些性质？全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。它的全等形。 （1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。）全等三角形的周长相

7、等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。高线分别相等。3.知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：(1)(1)定义（重合）法；定义（重合）法；(2)SSS(2)SSS；(3)SAS(3)SAS；(4)ASA(4)ASA；(5)AAS.(5)AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法4.回顾知识点：回顾知识点：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形

8、全等（三边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“SSS”SSS”) )边角边边角边:两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等（它们的夹角对应相等两个三角形全等（可可简写成简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（等（可简写成可简写成“AAS”)斜边斜边.直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个斜边和一条直角边对应相等的两个直角直角三三角形全等（可简写成角形全等（可简写成“HL”)

9、HL”)注意：边边角注意：边边角(SSA)不能判定三不能判定三角形全等，如：角形全等，如：边1边2角边1边2角角不夹在两边的中间，形成两边角不夹在两边的中间，形成两边一对角一对角（简称（简称SSA）不不一定全等一定全等5.方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边- 找第三边找第三边 (SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SA

10、S)找这边的对角找这边的对角 (AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)6.注意：注意：学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “ “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；字母要写在对应的位置上；（3 3）：要记住）：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有

11、两边及有两边及其中一边的对角对应相等其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（4 4）：时刻注意图形中的隐含条件，如）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “ “公共角公共角” ” 、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”、“对应边的公共线段对应边的公共线段”、“对对应角的公共部分应角的公共部分”。（5 5）：要正确区分：）：要正确区分：“公共边公共边”与与“对应边的公共线段对应边的公共线段”；“公共角公共角”与与“对应角的公共部分对应角的公共部分”。 在几何里在几何里, ,把限定用直尺和圆规来画图把限定用直尺和圆规来画图, ,称为称为尺规作图尺规作图. .最基本最基本,

12、 ,最常用的尺规作最常用的尺规作图图, ,通常称通常称基本作图基本作图. . 其中其中, ,直尺是直尺是没有没有刻度的刻度的; ; 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的成的. . 3、平分已知角、平分已知角作图原理是作图原理是4、经过一已知点作已知直线的垂线、经过一已知点作已知直线的垂线5、画已知线段的垂直平分线、画已知线段的垂直平分线作图原理作图原理是是五种基本作图五种基本作图三角形全等三角形全等线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和两点确定一条直线相等和两点确定一条直线角平分线定理及逆定理角平分线定理及逆定理

13、角平分线性质定理角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的两边的距离相等 角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上离相等的点，在这个角的平分线上 线段的垂直平分线定理及逆定理线段的垂直平分线定理及逆定理 性质定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等两个端点的距离相等 逆定理：逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上1、如图：在、如图：

14、在ABC中，中，CC =900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE= 。12cABDE三.练习：4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条在一条直线上求证：直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明证明： ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ AC

15、E即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS) BE=AD5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2， 3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证

16、明。等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）7：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知： EGAF 求证：求证：GFEDCBA2.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平

17、分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，

18、连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ； 4 3 2 1 F E （第18题） D C B A4.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.5.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证： ADG 为等腰直角三角形。 G H F E D C B A6.已知：如图21，ADBAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC四四.总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “ “对