球的内切和外接问题(1)

1、整理ppt球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接球的半径球的半径r的棱长的棱长a有什么关系？有什么关系？.ra整理ppt二、二、 球与多面体的接、切球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表

2、面积343VR 球球24SR 球球面面多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球整理ppt正方体的内切球直径正方体的内切球直径正方体的外接球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2整理ppt图3图4图5整理ppt长方体的外接球的球心是体对角线的长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半交点，半径是体对角线的一半 设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c 则对角线长为则对角线长为 a2+b2+c2整理ppt设为设为1 1214=SR 甲甲例例1

3、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. C. D.1: 2: 31: 8: 27331: 4: 9甲球为内切球直径=正方体棱长图3图4图5整理pptABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径的对角线等于球的直径=224=2SR 乙乙.球内切于正方体的棱球内切于正方体的棱a2整理pptABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面设为设为1 1223R 球的内接正方体的对角线等于球直

4、径。球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR 丙丙球外接于正方体球外接于正方体3整理ppt有三个球有三个球, ,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面, ,一球切于正方体的各棱一球切于正方体的各棱, ,一球过正一球过正方体的各顶点方体的各顶点, ,求这三个球的体积求这三个球的体积之比之比_._.33:22:1整理ppt1例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。62过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 )在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O

5、1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高62BC 21 EO3AE 且且 26243362213S 全全9 26 3解法解法1：O1ABEO CD作作 OF AE 于于 FF设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 312rr 26 r 6258S球球 1624331V2BCDA 26r 6258S球球OAB CD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD32 全全Sr31 r3223 解法解法2：例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边

6、长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。62内内切切球球全全多多面面体体rS31V 注意：割补法，注意：割补法，PAO1DEO 例例3 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积的外接球的表面积过侧棱过侧棱 PA PA 和球心和球心 O O 作截面作截面则则截球得大圆，截正四面体得截球得大圆，截正四面体得PADPAD，如图所示，如图所示, ,G连连 AO AO 延长交延长交 PD PD 于于 G G则则 OG PD，且，且 OO1 = OG Rt PGO Rt PO1D aRaaR633623 aR46 a23

7、a63a362a23S 表表解法解法1：整理pptABCDO求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径解法解法2：的外接球的表面积的正四面体求棱长为ABCPaaRaRa46,2232,22正方体外接球的直径正方体的棱长为223aS表整理ppt球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。整理ppt正四面体的三个球正四面体的三个球一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便