人教版七年级数学下精英版讲义

1、相交线、直线的相交1 .两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行.【注】两条直线：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线.2 .直线的相交一一两线四角(1)邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长 线的两个角，互为邻补角.【例】如图1, 和 ， 和 ， 和， 和 互为邻补角.【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角.(2)对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角.【例】如图1, 和 ， 和 ，互为对顶角.【注】互为对顶角的两个

2、角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角.图1图3、垂直1 .垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.【例】如图2, AB CD ,垂足为O,可记为“ AB CD于点O”.2 .性质：(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.三、三线八角1 .同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(即两个角分别在两条直 线的同一侧，并且在第三条直线的同侧)，叫做同位角.【例】如图3,和， 和， 和

3、， 和 都是同位角.2 .内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的 一对角(即两个角分别在第三条直线的两侧)，叫做内错角.【例】如图3,和 ， 和 都是内错角.3 .同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条 直线的同侧的一对角，叫做同旁内角.【例】如图3, 和 ， 和都是同旁内角.4 .角的计数技巧：(3) “U”字型中的同旁内角，如下图所示:(1) “F”字型中的同位角，如下图所示:模块一 直线的相交例题1(1)在同一平面内的两条直线的位置关系有()A.平行或垂直B.垂直或相交C.平行，垂直或相交D.平行或相交(2)判断正误：两

4、条直线的位置关系只有两种：平行或相交()平面内，两条线段不相交，则平行.()平面内不平行的两条射线必定相交.()【解析】(1) D; (2)错误，异面；错误；错误.例题2(1)下列图中和)C. 2对(2)成邻补角的是(3)下列各项中，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；如果两个角是对顶角，则这两个角相等；相等的两个角是对顶角； 如果两个角不是对顶角， 则这两个角不相等;如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有 .(填序号)【解析】(1) A； (2) C; (3).(1)如图 3-1, AB、CD、EF 交于点 O, AOE , DOF 和邻补角的度数.,求 AOD的对顶角(2

5、)如图3-2,直线AB、CD交于 O, OE平分 AOD , 度数.BOC BOD ,求 COE 的图3-2【解析】(1)由对顶角相等可知，COE DOF ,故AOCAOE COE.由AOC、AOD互为邻补角可知，AOD由对顶角相等可知，AOD的对顶角 BOC .(2)由BOC、BOD互为邻补角可知，BOCBOD又 BOC BOD ,故 BOD , BOC 由对顶角相等可知，AOD BOC .又OE平分 AOD ,故 AOE ., 从而可知， COE .【提示】两线四角倒角，规范书写.如图，直线 AB、CD相交于点 O, OE平分COF(1)若 BOE ，求 AOF的度数；(2)若 BOD :

6、 BOE :,求 AOF 的度数.【解析】| (1); (2).例题5 求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上.【解析】如图，AB、CD交于点O,则 AOC与 BOD成对顶角.设OE、OF分别为 AOC、 BOD的平分线，则AOE COE AOCBOF DOF BOD , AOC BOD , AOE BOF .又 BOF DOF AOD , AOE DOF AOD ,即 EOF ,，OE、OF在同一直线上.【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直.模块二 i 垂直例题6(1)下列说法中正确的是()点到直线的距离是点到直线所作的垂线；两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直；

7、两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短A.B.C.D.(2) P为直线外一点，点 A、B、C为l上的三点，且 PB l ,下列说法错误的是()PABCA. PA、PB、PC三条线段中，PB最短B.线段PB叫做点P到直线的l的距离C. PB是点P至|J l的垂线段D.线段AB的长是点A到PB的距离【解析】(1) D; (2) B.例题7BOE(1)如图7-1 ,直线AB与CD相交于点O, OE CD , OF AB , DOF ,求 和 AOC的度数.AOE , COF(2)如图7-2,已知直线 AB和CD相交于点 O, OE OC ,

8、OF平分 求 BOD的度数.图7-1【解析】（1）OF AB , / DOFBOD（垂直定义）AOCBOD（对顶角相等） OE CD ,BOE（垂直定义）（2） COE 是直角，COE又 COF , FOECOECOF OF 平分AOE , AOFFOE.AOCAOFCOF BOD AOC , BOD【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习.例题8如图所示，在一个面积为 1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE.现有一辆装满货物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁?【解析】由垂线段最短，可知比较D到AE的

9、垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论.如右图所示，汽车由 D到AE的最短距离是由 D向AE引的垂线DH ,连结DE.贝U S»A AED S正方形 ABCD一'又 Saaed -AE DE -DH DH ，解得 DH（米）而卡车行驶11分钟的路程为（米）（米），所以11分钟内不模块三能将这车货物由D点运到铁路线旁.三线八角例题9与是两条直线与.被第三条直线所截构1* jT成的角.X与是两条直线与.被第三条直线所截构/成的角. 与是两条直线4被第三条直后所截构成的_角.与是两条直线与.被第三条直线所截构成的角. 与是两条直线与被第三条直线所截构成的角.【解析】与

10、 是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角.与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角.如图，填空:l 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角. 与 是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角. 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同旁内角.非常挑战过点O任意作7条直线，求证：以 。为顶点的角中，必有一个小于如图所示，点。把7条直线分成14条射线，记为OA OA .相邻两射线组成14个角，记为 ，其和为一个周角：若结论不成立，则 i >, (i , ,|,相加，得这一矛盾说明，在 ， 中，复习巩固1的邻补角是4 A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对演练

11、1(1)如图1-1所示，AB与CD相交所成的四个角中,.若 1 25 ,则 2(2)如图1-2,直线AB、CD、EF相交于O,图中对顶角共有(1)如图2-1,已知直线a、b、c相交于点O,(2)如图 2-2,直线 AB、CD相交于点 O, OE平分AOD ,若 BODC图1-1【解析】(1)2和 4, 155 , 25 , 155 . (2) D.演练2AOE图2-2【解析】(1)由题意，得如图，已知直线 AB和CD相交于点O ( AOC为锐角)(1)写出 AOC和BOD的大小关系；判断的依据是 (2)过点O作射线OE、OF,若 COE , AOE ,求 AOF COF的度数，说明你的理由.(

12、3)在(2)的条件下，若 AOD，请计算度数.【解析】(1) AOC BOD ;对顶角相等.(2) AOFCOF(3) COF .如图，已知/ACB. CD AB ,垂足为D,则点A到直线CB的距离为线段 的长；线段 DB的长为点 到直线 的距离.已知：如下图A、O、B三点共线，OC为任意一条射线, 证：OD OE .OE平分 BOC , OD平分 AOC .求【解析】AC, B, CD.【解析】A、O、B三点共线， AOB , . OE 平分 BOC , OD 平分 AOC ,COE BOC , DOC AOC ,COE DOC BOCAOC ( BOC AOC)AOB 又. DOE COE

13、 DOC ,DOEOD OE .演练6 如图，A点处是一座小屋，BC是一条公路，一人在 。处.(1)此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么?(2)此人要到公路，怎么走最近？理由是什么?【解析】| (1)走线段OA最近，因为两点之间线段最短；(2)如图，过点。作OD BC ,垂足为D,则走线段OD最近，因为垂线段最短.如图，判断下列各对角的位置关系： 与 ： 与 ： 与 ： 与 BCD ;【解析】与 是同位角， 与 是内错角， 与 是 对顶角，与 BCD是同旁内角，与是内错角.平行线、平行线1 .平行线：2 .平行公理 【例】如图在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线.用“/”表示.:经过直线

14、外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.1,过直线 a外一点 A作b/a , c/a,则3 .平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行,b与c重合.那么这两条直线也互相平行.简记为：平行于同一条直线的两条直线平行 【例】如图2,若b/a, c/a,则b/c.A一- ba图14 .平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等.如图(2)两直线平行，内错角相等.如图(3)两直线平行，同旁内角互补.如图5.平行线的判定(1)同位角相等，两直线平行.如图(2)内错角相等，两直线平行.如图(3)同旁内角互补，两直线平行.如图3,若 a/b,3,若 a/b,3,若a/b,3,若3,若3,若,则 a/b.,

15、则 a/b.,则 a/b.二、平行的构造 .如图4,若ab,贝U .如图5,若a/b,则模块一 卜,平行线O例题10下列说法中：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.正确的是.【解析】.【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理.（1）如图2-1 , 一个含有30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若1 25 ,则2的度数是（）A. 155B. 135C. 125D. 115(2)如图 2-2,已知 AB/CD , EF

16、分别交 AB、CD 于 M、N, EMB , MG 平分 BMF , 交CD于G, MGN的度数为 .图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180【解析】（1） D; （2）（3）证法1 :如右图，过 4ABC的顶点A作直线1/BC .则 B, C （两直线平行，内错角相等）又因为 BAC.（平角的定义）所以 B BAC C（等量代换）.即三角形三个内角的和等于证法2:如右图，延长BC,过C作CE/AB,则 A （两直线平行，内错角相等）B （两直线平行，同位角相等）又 BCA,BCA A B即三角形三个内角的和等于180【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充

17、，这个结论和平行公理是等价的.另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后再证明，重点强调格式.例题12(1)根据图在(!) B CEF .AB/CD (!) BBEDAB/CD ( BCEBAB/CD (）内填注理由:（已知），（已知），（已知），（2）已知：如图所示， ABC ADCAED EDC .求证：ED/BF .证明： BF和DE分别平分 ABC和 ADC）；）；).BF和（已知）DE分别平分 ABC和 ADC ,EDC FBA 又 ADC ABC又 AED EDCABC （已知），FBA （等量代换）.（已知），（等量代换）).ED/BF (【解析】（1）同位角相等，两

18、直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行.（2）;角平分线定义；EDC; AED;FBA;同位角相等，两直线平行【提示】这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是各学校的必考题型.例题13如图，已知EF BC ,证明:AD BC .【解析】'GD/ACCADI I又I（已知）（同位角相等，两直线平行）.（两直线平行，内错角相等）CAD,（已知）.（等量代换）AD/EF ,（同旁内角互补，两直线平行）ADC EFC .（两直线平行，同位角相等） i,EF BC ,（已知）ADCAD BC.【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点.例

19、题14 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.(1)如图5-1 ,已知：AB/CD ,直线EF分别交AB, CD于M, N, MG , NH分别平分 AME , CNE ,求证：MG/NH .从本题我能得到的结论是：.(2)如图5-2,已知：AB/CD ,直线EF分别交AB, CD于M, N, MG , NH分别平分 BMF , CNE ,求证：MG/NH .从本题我能得到的结论是：.(3)如图5-3,已知：AB/CD ,直线EF分别交AB, CD于M, N, MG , NH分别平分 AMF , CNE ,相交于点 O.求证：MG NH .从本题我能得到的

20、结论是：.图5-1图5-2图5-3【解析】(1)两直线平行，同位角的角平分线平行.(2)证明： AB/CD , BMF CNE ,又. MG, NH分别平分 BMF , CNE ,GMF BMF CNE HNM ,MG/NH ,从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行.(3)证明： AB/CD , AMF CNE ,又. MG, NH分别平分 AMF , CNE ,GMF HNE AMF CNE ,MONGMF HNE ,MG NH .从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直.【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角.模块二 卜.行线的构造01例题15

21、(1)如图6-1,已知直线a/b,则 等于.(2)如图 6-2, ll ,= ，则 .(3)如图 6-3, AB/CD , ABE , ECD ,则 E .【解析】(1); (2); (3).【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型.例题16(1)如图 7-1, AB/CD , BAF 一 EAF , FCD 一 ECF , AEC ,则 AFC 的(2)如图 7-2,已知:AB/CD , 平分线相交于点 F, BFD度数为CDE的ABP和 CDP的平分线相交于点 E, ABE和,贝U BPD , BED .图7-1图7-2【解析】(1); (2)【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合.(

22、1)如图 8-1, AB/CD , A , C(2)如图 8-2, AB/CD , E , C,则 F .,则 EAB的度数为【解析】(1); (2).【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形.例题18 -如图，直线AC/BD ,连结AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA、PB,构成 PAC,APB, PBD三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角)PAC PBD ;PBD是否成立(直接回答成立不成立)？APB,PBD之间的关系，并写出动点(1)当动点P落在第部分时，求证： APB(2)当动点P落在第部分时，AP

23、B PAC(3)当动点P在第部分时，全面探究PAC,P的具体位置和相应的结论.选择其中一种加以证明.【解析】(1)过P点做平行线即可证明；(2)不成立，结论是 APB PAC PBD ;(3)过P点做平行线即可证明当 P在AB左侧时 PAC APB PBD ;当P在AB右侧时 PBD APB PAC .【提示】模型的探究.非常挑战如图，已知 AB/CD , EAF _ EAB , ECF _ ECD ,求证： AFC AEC .【解析】如右图所示，分别过点 E, F做AB和CD的平行线；易得： AEC EAB ECD EAF ECF ( EAF ECF)；AFC FAB FCD EAF ECF

24、 ( EAF ECF)即有： AFC AEC .复习巩固模块演练8 卜列结论正确的是（A.不相交的两条直线叫做平行线B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行D.平行于同一条直线的两条直线互相平行【解析】D.演练9如图：已知 证明：求证： AB/CD ; ADBC .C CBE (又 C A (A (),).【解析】已知；AB, CD;内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE;等量代换；AD, BC;同位角相等，两直线平行.演练10如图，已知 BAPAPD，那么 E与F相等吗？说明理由.【解析】 BAP .AB/CD BAP 又 BAP

25、即 EAP .AE/PFEAPD（已知），（同旁内角互补，两直线平行 ）.CAP （两直线平行，内错角相等（已知），CAPAPF （等量代换）（等式的性质）（内错角相等，两直线平行），F （两直线平行，内错角相等）演练11如图，A,EGFB, C和D, E, F分别在同一直线上，AF分别交CE, BD于点G, H .已知 C D ,BHA .求证： A F .【解析】 EGFBHA .CE/BDC又 CABD . DF/ACABHAAGCABD D , D演练12(1)如图4-1,(2)如图4-2,a/b, M、N分别为a、b上，P为两平行线间一点，则AB/CD , B占八、(3)如图已知 A

26、B/CD ,4-3,N 图4-4题F在其外部,则【解析】(1)；(3)演练13如图所示，直线l /l , AB l ,垂足为 O, BC与l相交于点 E,演练14如图，ABDE,ABC , CDECEC 作 CF/AB , ,BCFCDEBCF DCF【解析】如图，过点 ABC 又 AB/DE .CF/DE ,DCF BCD线与角1.基本概念：(1)直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线.表示方法：直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序；直线也可以用一个小写字母来表示.【例】如图1:可以记为直线 AB或直线BA;如图2:记为直线1.A B1* 图1图2(2)射线

27、：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点.表示方法：射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点；射线也可以用一个小写字母来表示.【例】如图3:记为射线 OA,但不能记为射线 AO;如图4:记为射线1.OA1 图3图4(3)线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.表示方法：线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序； 线段也可以用一个小写字母来表示.【例】如图5:可以记为线段 AB或线段BA;如图6:记为线段1.AB11 «图(

28、5)图66(4)中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点.【例】如图7:点O是线段AB的中点，此时 AO BO - AB .A O B图72.公理：(1)两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线； (2)两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短.1.定义:(1)静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸.(2)动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角.处于 初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.表示方法：通常用三个字母表示： 两条边上的点的字母写在两旁，顶点上

29、的字母写在中间.用一个大写字母来表示： 这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个.用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母(，)表示角的大小。为避免混淆，符号兀一般不用来表示角度。a aa aAOB «AOBBOA2.角的相关换算： 1 度=60(1( )( ) =601),1周角 36 , 1平角(4)4)(4)(4)1周角 2平角，1平角 2直角.3.相关概念补角：如果两个角的和是,那么这两个角互为 补角，简称互补.等角或 同角的补角相等.如果 1+ 2=，则 1与 2互补；反之，如果1与2互补， 则 1+ 2=.CA<1AOB (8)余角：如果两个角的和是

30、9 ,那么这两个角互为 余角，简称互余.等角或 同角的余角相等.如果1+2=9 ，则1与2 互余；反之，如果1与2互余， 贝 U 1+ 2 = 9 .O03B角平分线：从一个角的顶 点出发，把这个角分成相 等的两个角的射线，叫做 这个角的平分线.射线OC是AOB的角平分线，2 - AOB .A 上： O B模块例题19(1)下列说法正确的是()A.直线AB和直线BA是两条直线B.射线AB和射线BA是两条射线C.线段AB和线段BA是两条线段D.直线AB和直线a不能是同一条直线(2)下列四个生活、生产现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；

31、从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有()A.B.C.D.(3)如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D.按要求作图：A?B画射线CD;画直线 AD;连结AB;直线BD与直线AC 相交于点O.D?不【解析】(1) B;D; (3)略.C【提示】主要考查线的基本概念， 练习基本作图技巧.“两点确定一条直线” 是直线的性质, “两点之间，线段最短”是线段的性质.例题20(1)补全下面解题过程.已知：如图，B、D是线段AC上两点，D是BC的中点，BD -AC,BD cm , 求线段 AB 的长.*?*AB D

32、 C解：: BD AC, BD cm,(已知) AC BD cm . D是BC的中点，(已知)BC BD cm.(线段中点的定义)AB AC cm.(2)如图，在直线l的同侧有A、B两点，在直线l上找？B点C、D,分别使AC CB最小，DB DA最大.(不用说理由，保留作图痕迹即可)A?【解析】(1) 2, 4, BC, 6; (2)略.例题21 (1)如图3-1,线段AC 6cm,线段BC 15cm ,点M是AC的中点，在 CB上取一点 N, 使得 CN:NB 1:2,贝U MN .(2)如图3-2已知线段 AB cm,点M为AB的中点，点 P在MB上，点N为PB的中 点，且NB cm ,求

33、PM的长.A M C N图3-1A*BP图3-2【解析】(1) 8cm;(2) AB cm,点M为AB的中点，(已知). BM -AB cm .(线段中点的定义) 点N为PB的中点，且 NB cm (已知) BP NB cm.(线段中点的定义) PM BM BP cm .【提示】练习书写.例题22(1)如图，M是线段 AB上一点，AB cm, BM cm , C、D分别是 AM、BM的中点. 求 CD 的长.A C M D B(2)若把上题中的条件“ BM cm”去掉，其它条件不变，你能求出CD的长度吗？若能，请求出CD的长度，若不能请说明理由.AB acm , C、D 分别是 AM、 的代数

34、式表出).BM的中点，请画出(3)若M是线段AB延长线上一点， 相应的图形，并求出 CD的长(用含a【解析】(1) CD cm; (2) CD = cm;(3)如图，C、D分别是AM、BM的中点,CM AM, DM -BM (线段中点的定义) . CD CM DM -(AM BM) -AB acm.【提示】探究题型.例题23(1)延长线段AB到C,使BC AB,反向延长线段 AB至IJD,使DA AB ,若AB cm, 则线段CD的长为.(2)已知A, B, C三点在同一直线上， 线段AB , D是线段 AB的中点，且BC : AB :, 则线段CD的长为.(3)已知 A, B, C, D四点

35、共线，若 AB cm , BC cm , CD cm ,画出图形，求 AD的长.【解析】(1) DC cm ; (2) 1.5cm 或 7.5cm；(3)情况 1 :如图(1) ADcm .情况2:如图(2) ADcm .情况3:如图(3) AD () cm .情况4:如图(4) AD () cm .A D B C(2)A C B D(4)IllIAB CDDAC B 【提示】锻炼孩子根据题意自己画图和分类讨论的能力.例题24已知关于m的方程m (m )的解也是关于x的方程(x ) n 的解.(1)求m, n的值；(2)已知线段AB m ,在线段AB所在直线上取一点 P,恰好使-AP n,点Q

36、是PB的中PB点，求线段AQ的长.【解析】(1) m , n ;(2)如图1,点P在线段AB上时，_ AP AB , -AP PBAP ,PB AB AP .点Q为PB的中点，PQ -PB -.如图2,点P在线段AB的延长线上时, AB,BPBPAPPB,得BP点Q为PB的中点,BQ -BP -.A AQ AB BQ .综上，线段AQ的长为一或一.【提示】方程与线段综合.,则 COB；若(2) 一个角的补角比它的余角的4倍少,则这个角的度数为AODAOC,OE平分 BOD ,则(3)如图7-2, O是直线AB上的一点,图中彼此互补的角共有对.【解析】(1)(2)(3)余角相等，130;55;根

37、据题意可得，BOEEODDOCBOD EOC补的角只需满足和为AOE与这个数量关系即可，与位置无关，所以共有6对:EOD , AOE 与 DOC , AOD 与 BOD ,AOC 与 BOC .例题26如图，已知 BOCAOCOD平分 AOB ,且 COD【解析】设AOCAOB,则AOCBOCBOC OD平分AOBAODCODAODAOCCODAOB【提示】利用角平分线倒角，设小角.,AOEAOD与AOB的度数.,求AOB例题27如图所示，已知OM平分 AOC ,ON平分 BOC .(1)当若AOBAOB,求 时，求MON的度数;MON的度数.【解析】(1) AOB ,AOC AOBBOCBO

38、C又OM平分 AOC ,MOCAOC又 ON平分NOCBOCNOCMON(2) AOBAOCMOC , BOC AOB BOC OM平分MOCAOC -().又BOC,ON 平分 BOC ,又NOCBOCMONMOCMONMOCNOC -()探究题型.例题28已知 AOB所成的角的度数为,从。点弓I射线OC,若 AOC： COB求OC与AOB的平分线【解析】 分OC在 AOB的内部和外部两种情形讨论.(1) OC在 AOB内部，如图1,则 AOCAOBAOD故 COD AOD AOC(2) OC在 AOB外部，如图2,则 AOCAOBAOD故 COD AOC AOD非常挑战1已知 、 中有两个

39、锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 一（）的值时,有三位同学分别计算出了、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，则.【解析】、中有两个锐角和一个钝角，故，从而 一（），三个结果中只有 是正确的，此时演练15(1)下列说法正确的是(A.射线PA和射线AP是同一条射线B,射线 OA的长度是12cmC.直线ab、cd相交于点MD.两点确定一条直线(2)如图1-1长度为 线段AC的长度为(A. 10cm(3)已知：如图 1-2复习巩固12cm的线段AB的中点为M, C点将线段MB分成MC : CBC. 6cm中点，ED ,求线段AB ，点C为线段AB上一点，点D、E分别为线段AB、AC的AC的

40、长.图1-1图1-2【解析】(1)(2)D;B;(2)由E是AC的中点可知,AE同理可知，AD - AB.故 DE AD AE AB又DE , AB ，故AC演练16线段AB上有两点P、Q, AB , AP , PQ ，求BQ的长.【解析】情况1,如图(1)情况2,如图(2)BQ BP PQBQ BP PQP(2)A Q P(1)演练17如图所示，把一根绳子对折成线段AB,从点P处把绳子剪断，已知 AP:BP :,若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,求绳子的原长.LAP【解析】设AP x ,则BP x .(1)若A是绳子的对折点，则最长一段为AP ,解得AP由 AP x ,可得 x ,

41、BP x , 绳子的原长为 (AP PB) () (cm)(2)若B是绳子的对折点，则最长一段为BPBP ，由 BP x ,可得 x , AP x .绳子的原长为 (AP BP) () (cm),综上，绳子的原长为150cm 或 100cm.演练18 如图所示，已知 AOB和 COD都是 BOC的余角，OE、OF分别为 AOB和 COD的角平分线.若 BOC ,求 EOF的度数.E 8【解析】|由题意知， AOB COD, |" /由于OE、OF分别为 AOB和 COD的角平分 线,故 BOE AOB ,。COF - COD,所以 EOF BOEBOC COF.演练19 Ik如图所示

42、，OM是 AOC的平分线，ON是 BOC的平分线.(1)如果 AOC , MON ，求 AOB的度数；(2)如果 MON n ,求 AOB的度数.当 MON的大小改变 时，AOB的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？【解析】(1) OM平分 AOC , ON平分 BOC ,MOCAOC, NOC BOC,MON NOCMOC -( BOC AOC)AOB.又 MON , AOB MON .(2)同上，AOB MON n° .AOB MON当 MON的大小改变时，AOB的大小也随之改变,演练20如图，是一个【解析】的正方形网格，则平行线的性质和构造模块一平行线折线模型拓展1.平

43、行线折线模型模型示例剖析a若 a / b ,则 123 ;b 3若 123 ,贝 U a / b .a若 a / b ,贝U 123 360 ;3Z若 123 360 ,贝U a / b .b2.平行线折线模型拓展模块二等积变形（利用平行线来转化面积）1 .平行线间距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.推论：平行线间的距离处处相等.2 .如图，AB/CD,则 S*A ACD SA BCD，S*A AOC S*A BOD -模块平行线折线模型拓展CDE的平分线相交于 F, BED 140°,求 BFD的如图所示，已知A

44、B II CD , ABE和 度数.过点 E 作 EM II AB, MEB ABE 180° .又 AB II CD , ME II CD .， MED EDC 180° . MEB ABE MED EDC 180° 180° 360°.又 MEB MED BED, BED 140°, ABE CDE 360°BED 360° 140° 220° .BF、DF 分别平分 ABE , CDE ,1- FBE FDE - 220110 .2BFD 360° ( FBE FDE) BED

45、110°.【教师备课提示】 这道题主要考查平行线的“铅笔”和“猪蹄”模型综合.(1)如图 2-1,已知 MA1 / NAn, (2)如图 2-2,已知 MA / NAn , 的关系.探索A、%、探索A1、A2、An之间的关系.An,巳、B2、Bn 1之间(3)如图 2-3,已知 MA1 / NA,，AN An探索 A、A2、A3、图2-2A4,B1、B2之间的关系.图2-3图2-1冤解析(1)AA2A3Wa (n 1) 180 ；A1A2 (IIAnBiB2 I"Bni；(3)AA2A3 A4 巳 B2 180 .【教师备课提示】这道题主要考查平行线折线模型的拓展.例 31

46、(1) (2014 树德实验半期) 如图 3-1, AB/EF,1 113 , C 35 ,2 105 ,则 DEFAFGH 90 , HMN 30 ,(2)(初二希望杯二试)如图3-2 ,直线AB II CDCNP 50 ,则 GHM的大小是图3-1EA 30、FB90 GC 50 N DP图3-2(1)过C作平行线，73°.(2)过点G, H作AB, CD的平行线， 则 AB / OG / HQ / CD . OGE AFE 30 ,MQR HQP CNP 50 OG / HQ , GHQ OGH HGE EGO 60 在 4MHQ 中MHQ HMQ MQH 180又 MQR M

47、QH 180 , MHQHMQMQR MHQ 503020 , GHMGHQMHQ 40A BO90 G0xcMR50 N例7(1)如图4-1所示,B E D 360 ,求证：AB II CD .(2)如图4-2所示,AEC A C ,求证:AB II CD .图4-1图4-2BEF图2解析(1)如图1,过点E作EF / AB ,则 BBED 360 , B BEF DEF D 360 , D DEF 180 , EF II CD , AB II CD .(2)证法一：如图 2,过点E作EF II AB ,则 A AEF ,. AEC AEF CEF A C ,C CEF , EF II CD , AB II CD .证法二：如图3,过点E作EF II AB,则 A AEF 180 ,AEC AEF CEF 360 , A C AEF CEF 360 , C CEF 180 ,EF II CD .【教师备课提示】这道题主要考查平行线折线模型的逆应用，证明平行.AB II GF如图，已知，CD II