牛吃草问题例题及练习

1、牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的 天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同， 草又是天天在生长的， 所以草的存量随吃的天数不断地变化。基本思路： 假设每头牛一定时间内吃草的速度为 “1份”，根据两次不同的吃法， 求出其中的总 草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：(1) 草的生长速度=(对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X

2、吃的较少天数)十 (吃的较多天数吃的较少天数) ；(2) 原有草量=(牛头数X吃的天数)一(草的生长速度X同一个吃的天数)；(3) 吃的天数=原有草量十(牛头数草的生长速度);(4) 牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。例 1 牧场上有一片匀速生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天，那么这片牧 草可供多少头牛吃 12 天？解：27头牛6周的吃草量 27X6 = 16223头牛9周的吃草量 23X9 = 207每天新生的草量 (207 162)十(9 6) = 15原有的草量207 15X9 = 72吃12天牛的头数： 72-12+15=21(头)例 2 一只船

3、发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果派 10 人淘水， 6 小时淘完； 如果派 6 人淘水， 18 小时淘完。如果派 22 人淘水，多少小时可以淘完？解：10人6小时淘水量10X6= 606人18小时淘水量6X18 = 108漏进的新水(108 60)十(18 6) = 4原有漏进的水 604X6=3622人需要时间： 36-(22-4)=2 时例 3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检 票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？解：等候检票的旅客人数在变

4、化， “旅客”相当于 “草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的 解法求解。假设一个检票口一分钟能检票的人数看成 “1份”。30分钟的总量： 4X30=12020分钟的总量： 5X20=100每分钟新增的量：( 120-100) -(30-20) =2原有的量： 120-2X30=60 或 100-22X0=60 7个检票口需要时间： 60-(7-2) =12(分)例 4 两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走 3 级台阶，女孩每秒可走 2 级台阶，结 果从滚梯一端到达另一端，男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒，该滚梯共有多少级？解：男生走了： 3X100=300 (级)

5、女生走了： 2X300=600 (级)每秒新增的量：( 600-300) - (300-100) =1.5(级) (自动滚梯的速度)原有的量(自动滚梯原有的级数)：300-1.5 1X0=150 (级) 或600-1.5 300=150 (级)例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了 0.5分钟到达楼上，女孩用了 0.6分钟到 达楼上.问：该扶梯共有多少级？每分钟减少的量：(80X0.5-60 >0.6) - (0.6-0.5 ) =40 (级/分)(自动扶梯的速度)原有的量：80X0.5+40 X

6、 0.5=60 (级)例6由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少.已知某块草地 上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天.照此计算，可供多少头牛吃 10天？ 解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少.但是，我们同样可以利用 例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。每天减少的量：(20X5-15 X6) - (6-5) =10原有的量：20X5+5X 10=150吃10牛的头数：150- 10-10=5(头)解决方法二J利用公式解方程草地原有草量=(牛数-每天长草量)x天数作为等量关系式。y=(N-X)* T其中，丫代表原有草量，N代表牛的

7、头数，X代表草生长速度，T代表天数。【例1】一片牧场，假设每天的长草量相同。9头牛吃3天，5头牛吃6天，多少头牛2天吃 完?( )A.12 B.13 C.14 D.15解析：题目给了 2个条件，将两个条件分别代入公式中，得到两个方程：y=(9-X)*3=(5-X)*6两个方程可以解得x=1, y=24。将x=1, y=24带入并将题目要求的问题再列个方程 24=(N-1)*2，可以解得N=13选B【例2】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供 16头牛吃20天，或者供 80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于 4只羊一天的吃草量，那么这片草地可供10头 牛和60只羊一起吃多少

8、天?()A.6 B.8 C.12 D.15解析：虽然题目涉及到了牛和羊，但是给出了1头牛相当于4只羊的换算关系，因此可以将羊换算为牛。即16头牛可以吃20天，20头牛可以吃12天。10头牛和60只羊可换算成25头牛。 题目可变成求25头牛可以吃多少天。将两个条件分别带入公式y=(N-X)* T，可以得到两个方程：y=(16-X)*20 =(20-X)*12两个方程可以解得 x=10， y=120。将x=10，y=120带入后题目求的问题可列方程得到： 120=(25-10)*T。解得 T=&选 B2014 年 10 月 19 号课后作业1. 一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧

9、场可供 10头牛吃 20天，或可供 15头牛吃 10 天，问：可供多少头牛吃 5 天？2. 有一片牧场 , 草每天生长的速度相同。草地上的草可供 10头牛吃 10周，或可供 24 只羊吃 20 周。已知每周 1 头牛和 3只羊的吃草量相同，那么 10头牛和 12 只羊一起吃草，可以吃多少周？3. 船有个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏水时，船已进一些水。若12个人来舀水， 3 小时可舀光， 5 个人来舀水， 10小时才舀光。现在要 2 小时舀光，需安排多少人？4. 一水库原有水量一定，河水每天均匀入库。用 5 台同样的抽水机连续 20 天可将水抽干；用 6 台同样的抽水机连续 15天可将水抽

10、干。若想 6 天将水库里的水全部抽干，需要多少台抽水机？5. 客运站早上 5点开始售票， 但早就有人排队等候买票了， 每分钟来的旅客一样多， 从开始售票 到等候买票的队伍消失，若同时开 5个售票口需 30分钟，同时开 6 个售票口需 20 分钟。如果让 队伍 10 分钟消失，要同时开几个售票口？6. 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩 20秒走了 27 级，女孩走了 24 级，按此速度 男孩子 2 分钟到达另一端，而女孩需 3 分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级 ?20 头牛吃 57. 由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 天，或可供 16 头牛吃

11、6 天，则 11头牛可以吃多少天？例 7 有三块草地，面积分别为 5 ，15 和 24 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一 块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天问：第三块草地可供多少头牛 吃 80 天？把一头牛吃一天的草量 看成 “1份”第一块 （5公顷30天的总量）：10X30=300第二块 （15公顷45天的总量）：28X45=1260提示：先 “归一”，都变成 1 公顷：1公顷30天的总量：300 -H5=601公顷45天的总量：1260勻5=841 公顷每天增长的量：（84-60） - （45-30） =1.61 公顷原有的量： 60-1.6 X30=12应用“归一”的结果：用到中第三块（ 24 公顷 80 天）：24 公顷每天增长的量： 1.6X24=38.424公顷原有的量： 12X24=288288 十80+38.4=42（头）10. 有三片草地，面积分别为 4 公顷， 8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一片草地 上的草可供 24 头牛吃 6 周， 第二片草地上的草可供 36 头牛吃 12 周问： 第三片草地上的草可供 50 头牛吃 几天？11. 有一片匀速生长的牧草