泊松分布及其在实际中的应用

1、柏松分布及其在实际中的应用为松今寺是法陶威身家为松孑/交无耳引入的，是槐率裙中的几大壹 要今布之一。作名一种希见的离款型随机变量的今布，其在实际中有密旅有广泛的应用。张晓东、郑茂元、刘文涛、除亨身斤1 .泊松分布的定义及基本知识1.1 定义：(1)若随机变量X的分布列为 则称X服从参数为 的 泊松分布，并用记号XP()表示。(2)泊松流：随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构 成的序列。若质点流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该质点 流为泊松事件流(泊松流)O例如某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落 的飞机数;一个售货员接待的顾客数等这些事件都可 以看作泊松流。1 .泊松分布的

2、定义及基本知识L2有关泊松分布的一些性质(1)满足分布列的两个性质：P(X=k) >0(k=0,l,2,.) , 00co jA - ACD OK且有Z尸5=幻=2*=/2备=，"=1 .A-0ko K!"0 K!(2)若随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的 期望和方差分别为：E(X)= dD(X)=4.2 .泊松分布的定义及基本知识(3)以np为参数的二项分布，当IW8,尸0k!时，使得np=4件持为正常数，贝可 。3(1-尸一5对于k=0a2,一致成立。由如上定理的条件" =/知，当n很大时,p很小时，有下面的近似公式2人P,仆)= Cpk(i pyi

3、f个k2泊松分布的应用对孑铁脍闽功规率很小而锹球法裁 很多的成机过程，都可a很育慈的成用孑 鸿融今的理卷。在鸿融力市中的标率 表达式只合一个参救，成夕了对参裁的 确定易修改工作量，模型相盘业较简阜， 真,很重要的实标忐文。2泊松分布的应用（1）泊松分布在经济生活中的应用：泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤 其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订 单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港 发货船期的调度等等都需要用到泊松分布。例1：下面讨论一个泊松分布在商场现代化管理中的应 用。某商场一天内来的顾客数、天内顾客购买的商品数等均服从或近似服从泊松分布实例：若

4、商场一天内来k个顾客的概率服从参数为 的 泊松分布，而且每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其 概率为P。讨论一天内有顾客买东西的概率：设二“商场一天内来k个顾客” （0,1, r, ）,B="商场一天内有r个顾客购买商品”,则 p（4）= F-（k=0,l,，r,）; k'P（A I8） = c；p（l-p）rk=r,.）则 _ss 纪一工p（3）= zp（&）p（m4）=Z -c;Pr（i-p/-r = k=0k=r士主二7,尸（i 户），二京c,（%）”（i-p）reY 二（即当“jczua-?）r 二（w）-，0-初： （i + r）!Zo（i +）！Zo （

5、i + “！r 台 i!讨论一天内买东西的顾客数的数学期望： 设商场内一天购买东西的顾客为X,则 p（x =）= ""）：, （r=0,l/）,r即XP（即），所以£（X） = ",所以商场一天内 购买商品的平均顾客数为：加.例2：接下来讨论泊松分布在事故发生预测的 应用。通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p =0.0001,假设在某路段时间内有1000辆汽车通 过此路口，则求在此时间段内发生事故次数X 的概率分布通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可以看成片1000次伯努利试验，所以X服从二项分布，由于d1000很大，且 =0.0001很小，且P=

6、O.1,所以X服从泊松分布，P(x =m) = C： p： (1 - p)i *注 e-叩(m =()，)° ml此段时间内发生2次以上事故的概率为:2泊松分布的应用(2)泊松分布在生物学中的应用:在生物学研究中，服从泊松分布的随机变量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数计数器小方格中血球数,单位空间中某些野生动物 或昆虫数等都是服从泊松分布的。泊松分布 在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生 物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指导作用。例：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应 用判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组DNA是 从大量细胞中提取的，每个细胞中均含有全部基因组 DN

7、A,那么每一种限制性片段的数目是大量的，因此可 以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中， 基因组DNA用限制性酶切割后与载体混合反应以及 随后的过程均是随机的生化反应过程。一，对克隆来 说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆，只有这 两种结果;第二，由于总体限制性片段是大量的，被克 隆的对总体影响很小；第三，在克隆中一片段被克隆的 概率为f(f较小)，不被克隆的概率为1 4且克隆时这 两种概率都不变。综上所述，基因克隆过程符合泊松 分布。设P为基因被克隆的概率；N为要求的克隆的概率为p 时一个基因文库所需含有重组DNA的克隆数;f为限 制性片段的平均长度与基因组DNA总长度之比,若 基因

8、组DNA被限制性酶切割成n个DNA片段,f即匕。 则在克隆数为N时，任一段被克隆一次或一次以上 的概率为0 = 1-0(0) = 1-”可推出Nn(l-p),f一般要求目的基因序列出现的概率P的期望值定为 99%,那么 N = -nln(l-p) = -nln(l-0.99) = 4605?o在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所 需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重 要意义。2泊松分布的应用(3)泊松分布在物理学中的应用：泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电 子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分 布。例：对某一放射性物质而言,各相邻原子群体之间， 其中一个原子核的衰变,对

9、相邻的原子核而言,可 视为外界的变化，而这种外界的变化，不会影响相 邻原子核的衰变过程。即在某一放射性物质中， 各个原子核的衰变过程，互不影响，相互独立。因 此衰变过程满足独立性。放射性原子核的表支过程坦一个相互彼此无关的过 程，所以放射性瓯子杖表支的统计计数可以看成是 一种伯势利试验J司题。若在一个原子板体系中，单 位时间原子核发生表支的概率为 =1-6一力，则没有 发生表支的概率为“ = l-p = eY 由二项分布毋到， 在t时间内的械衰支数为n的概率为P5) = CQ(l p)S。(1)由于在放射性表支中，麻子核数目No很大，而P 相对很小，并且满足 加 « 1, 所以上式可以近似化 为泊松分布，因为此时m = N(>p « N立 对于根附近的N带入(1)式中得到：p()= 3-p5N° n令"2 = NoB得至I】：p()= eni，即为泊松分布。并 ！且有 E") = m,cr2