模板14 圆（解析版）备战2022年中考数学专项解题方法归纳探究

1、圆解题方法指导一、怎样解垂径定理及其应用的问题垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).在应用垂径定理及其推论进行计算时,通常利用圆的半径r，弦心距d,拱高h，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量.根据上述公式,在,d,r,h这些量中,知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.在圆中，一般利用垂径定理,过圆心作弦的垂线段,连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解.例题演练例题1（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，AB是O的弦

2、，点C是的中点，连接BC，过点A作ADBC交O于点D，连接CD，延长DA至E，连接CE，使CDCE（1）求证：CE是O的切线；（2）若AB9，AE6，求AD的长【答案】（1）见解析；（2）7.5【详解】（1）证明：连接OC，CD=CE，E=D=B，ADBC，ABCE，AB是O的弦，点C是的中点，OCAB，OCCE，CE是O的切线；（2）解：连接AC，ADBC，ABCE，四边形AECB是平行四边形，CE=AB=9，AB是O的弦，点C是的中点，AC=BC，CAB=B=D，ABCE，ACE=CAB，ACE=D，又E=E，EACECD，,解得AD=7.5例题2（2021·长沙市开福区青竹湖湘

3、一外国语学校九年级二模）如图，已知AB是O的直径，直线AC与O相切于点A，过点B作BDOC交O点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E（1）求证：CD是O的切线（2）求证：；（3）若，求线段AD的长度【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】解：（1）直线AC与O相切于点A，OAAC，即，AB是O的直径，即BDAD，BDOC，OCAD，AC=CD，OA=OD，OC=OC，AOCDOC，CD是O的切线（2），OB=OD，又，EDBEAD，；（3），OCAD，即，设BD=x，则AD=2x， ，EDBEAD，解得x=，例题3（2021·安徽九年级三模）如图，为圆直径，为圆上一点，连

4、接，（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若，在（1）的条件下，求的长【答案】（1）答案见解析；（2）【详解】解：（1）如图，作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点：（2）连接BD，如图：，为圆直径，解题方法指导二、怎样解圆周角定理的应用问题(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同国中可以利用圆周角定理进行角的转化;(2)在证明圆周角相等或弧相等时,通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”;(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角例题演练例题1（2021·吉林省第二实验学校九年级二模）如图，中，点从点出发，以每

5、秒个单位长度的速度沿向点运动，到点停止同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到停止，以为边向右或右下方构造等边，设的运动时间为秒，解答下列问题：（1）填空：_，_（2）当在上，落在边上时，求的值（3）连结当在边上，与的一边垂直时，求的边长当在边上且不与点重合时，判断的方向是否变化，若不变化，说明理由【答案】（1）1，；（2）；（3）或；BR的方向不变，QBR=60°，理由见解析【详解】解：（1）中，故答案为：1，；（2）如图：过点Q作QDAB于D，由题意可得， ，此时D，P重合，QPA=90°，三角形QPR是等边三角

6、形，QPR=60°，RPB=30°，又B=180°-C-A=60°，PRB=90°，解得（3）由（2）可得QPAB，当点R在BC上时，此时BRAC，此时，QPA=90°，此时如图当BRAB时即PBR=90°由（2）得，三角形QPR是等边三角形，QPR=60°，QP=PR，RPB=30°，PR=2RB，又即，解得，综上所述，PQR的边长为或；BR的方向不变，理由如下：如图所示：QPR是等边三角形，QRP=60°，ABC=90°-A=60°，QBP=QRP=60°，Q、

7、P、B、R四点共圆，QBR=QPR=60°，BR的方向不变例题2（2021·杭州市十三中教育集团（总校）九年级三模）如图，在ABC中，BABC以AB为直径作O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若EDAC（1）求证：ADCEBA；（2）求证：AFCF；（3）若CECF，BD1，求O半径【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O半径为【详解】证明：（1）ABBC，BACACB，ECAD，ADCEBA，（2）如图，连接BF，AB是O的直径，AFB90°，又ABBC，AFCF；（3）由（2）知，AFCF，CECF，AEAF+CF+CE

8、3AF，ABBC，AFB90°，AC2AF，由（1）知，ADCEBA，BD1，ABBC，AB3，O半径为AB例题3（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级其他模拟）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，D是AB上一点，过D作AB的垂线交线段BC于点E点F在线段DE的延长线上，且满足FCFE（1）求证：CF是O的切线，（2）当直径AB13，EBCB，tanA时，求线段CF的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）证明：OBOC，BOCB，CFEF，FCEFEC，BEDFEC，BEDFCE，DFAB，BDE90°，B+BED90°

9、，OCB+FCE90°，OCF90°，CF是O的切线；（2）解：AB是O的直径，ACB90°，AB13，tanA设BC12x，AC5x，AB13x13，x1，BC12，AC5，EBCB，BE4，ACBBDE90°，BB，BDEBCA，DE，过F作FHCE于H，CFEF，EHCE4，EHFBDE90°，FEHBED，EFHEBD，EF，CFEF解题方法指导三、怎样解弧长公式的应用问题(1)在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°(2)在弧长公式中，已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量例题

10、演练例题1（2021·长沙市北雅中学九年级二模）如图，在锐角ABC中，以BC为直径画O交AC于点D，过点D作DEAB于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）当，时，求劣弧的长【答案】（1）见详解；（2）【详解】（1）证明：连接OD，BD，BC为O的直径，BDC=90°，AB=BC，CBD=ABD，OD=OB，ODB=OBD，ODB=ABD，ODAB，DEAB，ODDE，DE是O的切线；（2）解：BDAC，ABBC，ADCD，AC4AE，AD2AE，AED90°，ADE30°，A60°，ABDCBD30°，COD60°，OD=

11、OC，OCD为等边三角形，在RtADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，（2AE）2=（）2+AE2，解得AE=1，ADCD2AE2，劣弧的长例题2（2021·河北唐山市·九年级三模）如图，在中，延长到点，使，延长到点，使以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结（1）求证：；（2）设小半圆与相交于点，当取得最大值时，求其最大值以及的长；当恰好与小半圆相切时，求弧的长【答案】（1）见解析；（2）4，；【详解】解：（1）在和中，；，（2）当时，取得最大值，最大值，在中，；当恰好与小半圆相切时，在中，弧的长例题3（2021·福建九年级其他模拟）如图，在中，以

12、为直径的交边于点，为中点，连接（1）求证：与相切；（2）为的中点，连接，若，求劣弧的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，连接，为的直径，在中，为的中点，即，即是的切线，即DE与 相切（2）解：如解图，连接，过点作，垂足为，中，BOD=2BAD=120°在中，为的中点，FOAB，在中，解题方法指导四、怎样解圆锥的侧面展开图问题在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即”来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径,l为母线长)来

13、解决问题.例题演练例题1（2021·全国九年级课时练习）如图所示是一个几何体的三视图(1)写出这个几何体的名称；(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程【答案】（1）圆锥；（2）16；（3）3【详解】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，S表S侧S底 r l r212416(cm2)；（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD为所求最短路程设BAB的度数为n，则由可得：，解得：，点C为的中点，BAC=60

14、°，又AB=AC，ABC是等边三角形，又D是AC的中点，ADB=90°，sinBAD=，BD=AB·sin60°=6×=（cm），蚂蚁爬行的最短路程是cm.例题2（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，在等腰中，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h【答案】（1）；（2）.【详解】在等腰中，AD是的角平分线，由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.（2）设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，解得，这个圆锥的高例题3（2010·广西河池市·中考真题）如图，已知在O中，AB=4，AC是O的直径，ACBD于F，A